“圆来”如此简单
——“借圆”来求锐角三角函数值

2016-12-22 06:21
初中生世界 2016年47期
关键词:引例共圆锐角三角

“圆来”如此简单
——“借圆”来求锐角三角函数值

赵军

一、课本引例

【引例】苏科版九年级《数学》上册第52页,习题2.3第3题:如图1,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°.经过A、B、D三点作⊙O,检验点C是否在⊙O上,并说明理由.

图1

【说明】在引例中,连接BD,取BD的中点N,连接NA、NC,在Rt△BCD中,NB=NC=ND;Rt△BAD中,NB=NA=ND,所以NA=NB=NC= ND,故A、B、C、D四点在以N为圆心,NA为半径的圆上.由此我们可以得到这样一个结论:有一组对角均为直角的四边形四个顶点共圆.为叙述方便,我们把它称为基本结论.

二、结论运用

例1如图2,在正方形ABCD中,点E、F分别为边AD、CD的中点,BE,AF相交于点G,连接CG,则tan∠CGF=.

图2

图3

【常规思路】如图3,延长AF、BC交于一点H,由E、F分别为边AD、CD的中点,可证得△ABE≌△DAF,∴∠ABE=∠DAF,由正方形ABCD得:∠BAG+∠DAF=90°,∴∠BAG+∠ABE= 90°,即:∠BGH=90°.容易证得△DAF≌△CHF,所以AD=HC,∠H=∠DAF,∵AD=BC,∴BC= HC,∴在Rt△BGH中,CB=CG=CH,∴∠CGF=∠H,∴∠CGF=∠H=∠ABE.∴tan∠CGF=tan∠ABE =

【“圆来”如此】如图4,在求得∠BGF=90°、∠BCF=90°后,由基本结论可知:B、C、F、G四点共圆,∴tan∠CGF=tan∠CBF=

图4

例2(2013·黑龙江哈尔滨)如图5,矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O作OE⊥AC交AB于E,若BC=4,△AOE的面积为5,则sin∠BOE的值为.

图5

图6

【常规思路】如图6,连接EC,由题意可得OE为AC的垂直平分线,

∴CE=AE,S△AOE=S△COE=5,

所以S△AEC=AE·BC=10,

∵BC=4,∴AE=5,∴CE=5,

在Rt△BCE中求得:BE=3,∴AB=8,

【“圆来”如此】如图7,由题意可知:∠EOC= 90°,∠EBC=90°,

∴B、C、O、E四点共圆,

图7

∴∠BOE=∠BCE,

∴在Rt△BCE中,

三、题后反思

在求锐角三角函数值的过程中,有时我们会陷入“绝境”.事实上,求一个锐角的三角函数值,无非两种思路,一种是原角不动,想办法构造直角三角形去求;另一种是对原角进行转化,找出与它相等的角进行替换,间接来求.在第二种方法中,我们特别要注意隐形圆的存在,找到了圆就可以考虑运用圆周角定理对角进行转化,这就要求我们能够准确地判断出哪四点共圆,因此要抓住课本引例中基本结论:“有一组对角均为直角的四边形的四个顶点在同一个圆上.”这很关键,进一步我们还可以将基本结论推广为:“对角互补的四边形四点共圆.”有兴趣的同学可以做进一步的探究,并希望同学们在学习过程中注意这个基本结论的灵活运用.

(作者单位:江苏省东台市新街镇中学)

责任编辑:彭深

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