高中数学排列组合的解题技巧

山东省济钢高中2015级部 王致远

高中数学排列组合的解题技巧

山东省济钢高中2015级部 王致远

作为高中生，为了应对高考，在学习了高中数学知识点后会做习题来巩固，在做题时会发现同学们虽然掌握的知识点相同，但做题速度和效率却相差很多，仔细分析不难发现，效率高的原因是因为有一定的解题技巧。高考题中排列组合类问题常会出现，它的类型较多，因此需要有一定技巧才能高效解答。本文简单分析排列组合的解题技巧。

高中数学；排列组合；解题技巧

排列组合的基础知识看似简单，但越深入地学习就会发现其越抽象，许多同学的思维转化能力较差，解答起来就有难度，因此需要去寻找解题技巧，将思维问题难度弱化。我在解答排列组合问题时总结了一些简单的技巧，希望通过我的文章能给同学们一些借鉴。

一、相邻捆绑

排列组合中有一类问题很常见：两个人、两个数字等必须要挨在一起，或是一个问题中通过分析会发现大条件中必须有两种物品要相邻这类问题，在解这样的问题时，如果将所有的元素都看成单一的，然后再去考虑相邻问题，这样也能解答出来，但效率低，结果不一定准确。采用相邻捆绑解决起来就比较容易，也就是将两个相邻元素看成一个整体后再重新排列，这样可以省掉很多步骤，并且不容易混乱。例如：会议室要将10把椅子摆成一排，经理和副经理的椅子要摆在一起，其他可以随意摆放，求摆法数量。这是典型的相邻问题，解答时通过大条件我们能发现经理和副经理要挨在一起是关键，在解题时将它们两个看成一把椅子，这样就相当于是9把椅子进行排列组合，这样既不会在解答时每次都考虑挨在一起的问题，又能快速找到解答方向，通过简单的公式就可以快速解答出来。

二、特殊优先

排列组合中有一些比较特殊的问题，如果不将这些特殊问题提前考虑，解答时就会很麻烦又容易解答错误，因此在解答前就需将其中的特殊条件寻找出来，再来解答，避免带来思维乱象。例如：妈妈给彤彤买了一个保险箱，但没有告诉彤彤密码，现在彤彤只知道密码是1、3、5、7、9之间的三个数字，并且彤彤知道1是其中的一个密码，那么彤彤能找到多少种密码方案？这个题目中可以发现1是其中的特殊数字，所有每一次组合时，都需要将1放到其中的不同位置上，首先将1选入方案内，就可以少了很多次数的排列，这样解答起来更高效，节省了将1排除的时间。

三、除法

这种技巧在排列组合中也很常用，但是这种技巧在解题时需要在某一部分有固定顺序，也就是说一些固定顺序可以使用这种技巧，解答方便、快捷。例如：动物王国进行体操表演，其中选择了6只猴子和3只兔子进行表演，但为了美观，要求三只小兔子按照由瘦到胖来进行排列，共有多少种方法？在解答这个问题时，首先我们会发现，小兔子由瘦到胖已经固定，因此这个顺序不能更改，我们首先不做任何改变将9只小动物全排列得到相应的排法，而三只小兔子的排法只能是6种，那么将全排列得出的排法数量除以6就可得到最终答案。这种方法比较简单，不需要进行一一排除，只需将两种组合数量算出，最后相除就可以了。

四、相离插空

这个技巧的特征是它能高效率地解决不相邻元素问题，首先给出的条件是无限制的，允许自由排列组合，但附加的条件就有一定要求，在解决这类问题时首先要考虑的是有限制的因素，将其插入无限制因素中，解决起来更容易。例如：妈妈先买了8盆花，之后又买了3盆，阳台地方有限，需要将这三盆花插入其中，但是原来摆花的顺序不能更改。这样的题型中就可以用这种技巧来解答，首先，先买的8盆花是固定的，不用过多考虑，只需将后买的3盆花插到其中就可以了，那么就是说这3盆花可以插在中间也可插在两边，这样就能发现现在有9个位置来摆放这三盆花，将一盆摆进去之后，下一盆就又多了一个位置，等到第三盆摆进去后就能发现剩下的位置变成了11个，这样再进行乘法计算，最后就能得到答案，那么在解题时，同学们再遇到这类问题就可以用这种技巧来解答，解答速度会更快，并且得到的答案更准确，节省了大量时间，保证了解题质量。

五、多元分类

多元问题分类主要是解决元素较多、情况多种时的排列组合问题。它是在弄清题意的基础上，按结果要求将其分成不相容的几类情况加以考虑，分别计数，最后一一相加，进行总计。例如，设集合I={1，2，3，4，5}。选择I的两个非空子集A和B，要使B中最小的数大于A中最大的数，则不同的选择方法有多少种？在进行解答时首先要进行分析，最后总结出几种不同情况，因为这个题目中提到有两个结合，但不能是非空子集，所以会选择2、3、4、5四种元素来进行解答，那么2个元素时，大小区分可以容易得到10种选法，3个元素时，情况发生了变化，因为将三个元素分给两个集合也有10种，但是还需区分大小，最终得到20种方法。4个元素时，有 =5种选法，再分成1、3;2、2;3、1三组，共有3×5=15种方法; 5个元素时，有种选法，再分成1、4;2、3;3、2;4、1四组，共有4×1=4种方法。总计为：10+20+15+4=49（种）方法。

总之，排列组合问题如果找对了技巧，解答起来就容易多了，在平时的课堂上，我们要跟上老师讲题的思路，运用老师的方法，自己再总结一些方法技巧，这样我们在解答问题时就不会受到思路限制，解题会更高效，希望我的技巧能给同学们提供一点帮助。

[1]王保峰．浅谈解排列组合问题的基本分析方法[J]．学周刊，2012（24）．