基于图像钢球缺陷检测有效面积分析

向敬忠　赵成石　赵彦玲　谭玉华　姜成浩　邓洁　张士横　胡冬冬　闫钊

摘要：基于图像检测钢球表面缺陷时有效面积选择不当严重影响检测精度和效率，首先对钢球表面检测最佳范围进行研究确定理想弧长；其次基于球带理论建立了有效面积与球带重叠关系模型，以此控制展开次数来降低重叠面积；最后利用有效弧长覆盖效率公式来直观地控制弧长冗余量所带来的重叠面积，达到提高检测效率的目的，并为钢球直径系列化检测系统开发奠定了重要理论基础。

关键词：理想弧长；球带理论；重叠面积；展开次数；覆盖效率

中图分类号：TH122 文献标志码：A 文章编号：1007-2683（2017）01-0065-05

0 引言

随着自动化水平不断提高，对于机械设备的要求也在与日俱增。轴承作为机械设备中主要零部件之一，其性能好坏直接影响机械设备工作性能。钢球是滚动轴承核心元件，它在加工过程中难免会发生碰撞、摩擦、腐蚀等情况，这些不利因素容易使钢球表面产生缺陷，严重影響钢球在轴承中的运转精度、承载能力和寿命。目前所用方法为人工检测，这种检测方式对工人视力损伤较大。操作时受情绪干扰，易发生过检或漏检影响检测效率和检测效果。

为解决人工检测带来的各种弊端，国内外学者开始着力于钢球表面自动化检测设备的研究。研究趋势有两大方面，一方面是图像采集与数据处理的研究，潘洪平做了钢球表面缺陷的自动检测与识别，利用计算机图像处理，对已获得的钢球表面图像进行降噪、滤波、轮廓跟踪，得到缺陷性质、几何特征和纹理特征；Ng T W做了关于钢球表面缺陷识别的研究，提供了一种高品质的图像分析技术，能够清晰显示钢球表面各种缺陷。另一方面是钢球表面展开机构的研究，龚凌云做了正弦机构在钢球展开中的应用，利用正弦机构的特点将钢球进行展开运动，使钢球在正弦机构的驱动下延水平轴方向上进行旋转，旋转一周后将球绕垂直轴旋转一定角度，并在正弦机构的驱动下进行旋转直至整个钢球完全展开。Akano O，首先做了基于ADAMS钢球表面检测运动学分析，提出钢球表面展开的重要性；其次介绍STEP函数的用法，列出了参加展开的主要构件在ADAMS中的碰撞参数，并列举了STEP函数在主要构件工作时的具体应用。令钢球分别沿X轴、Y轴方向旋转，并分析了在此过程中的受力；最终得出碰撞、振动给钢球展开带来运动不确定性的结论。以上研究虽然提供了钢球表面光学检测方法及检测机构钢球展开工作原理，但均缺乏在漏检或过检方面的详细分析。因此需要对检测有效面积、效率进行深入研究。

本文首先对钢球表面检测最佳范围进行研究确定理想弧长，再根据球带理论得出该弧长对应球带包裹在钢球表面上的面积。利用三条球带引出球带重叠现象并计算出多条球带重叠面积和极限重叠面积。根据实际情况确定钢球理想展开次数及对应理想球带宽度，达到减少展开时间提高效率的目的。利用有效弧长覆盖效率公式来直观地控制弧长冗余量所带来的重叠面积，达到提高检测效率的目的。

1 钢球表面有效检测区域

1.1 钢球表面检测区域

在钢球表面图像采集时，因拍摄条件限制钢球表面不能够完全地被拍摄到，在图像采集过程中能够捕捉到的最大图像范围是钢球水平面直径所在圆周以上钢球表面，在这部分球面上某点切线斜率随着摄像头与某点距离增加而增大，因此球冠顶端斜率最小，接近水平面直径所在圆周上的点斜率最大。由于斜率较小点附近的钢球表面易于提供图像信息，斜率较大点处附近的表面不易提供图像信息，甚至不能够提供完整信息。综上所述将水平面直径所在圆周以上钢球表面划分为3个区域，即钢球中心区域S₁、钢球检测理想区域S₂和钢球边缘区域S₃，如图1所示。

1.2 检测区域划分

钢球中心区域S₁：根据光路可逆原理，可以通过反射光线和反射角推出入射光线位置与入射角大小。由于钢球镜面反射作用，使得部分反射光线竖直向上进入探头，并将部分反射光线所对应球冠部分称为钢球中心区域，如图1（a）所示，该部分特点为探头部分完全映现在钢球球冠上，因此，可以确定C₁、C₂点具体位置和钢球中心区域面积。

钢球检测理想区域S₂：过探头中心点向钢球表面作切线，切点位置为B₁、B₂，C₁C₂B₂B₁部分所形成的球面部分称为钢球检测理想区域，如图1（b）所示。

该区域特点是区域内各点斜率较小，对应投影面积较大，能够清晰地表达出钢球表面上该区域内信息，B₁B₂点位置可由式（1）确定，即

（1）式中：β为直线OE与直线EB₂的夹角；R为钢球半径；h₂为点B₂与点F问的距离；h₁为点O与点E问的距离。

根据式（1）可以看出，随着探头与钢球球心间距离逐渐增大B₁、B₂点沿着钢球边界圆弧向钢球水平面直径所在圆周移动，使得钢球检测理想区域面积逐渐增大，由于检测空间限制探头高度不能够无限制地增大，因此可根据实际情况将探头高度调整至合适位置。

钢球边缘区域S₃：如图1（c）所示，A₁A₂B₂B₁所围成的部分称为钢球边缘区域，该区域特点是区域内各点切线斜率随点到探头中心距离的增加而急剧增大，如图1（d）所示，投影面积随切线斜率增大而减小。虽然该区域面积较大，但投影面积较小，因此探头不能够捕捉到钢球表面上该区域内的完整图像信息，综上所述该区域图像内容不适于对钢球表面进行分析。

当钢球沿水平轴方向旋转时，上一时刻S₁区中部分点将移至下一时刻的S₂区中，同理S₂区中的部分点向S₃区域移动。在移动过程中B₁点左侧至钢球边界部分与B₂点右侧至边界部分没有被检测到，因此本文以弧B₁B₂为检测弧长，重点研究该段弧长旋转一周后的有效检测面积。

2 有效球带面积确定

2.1 球带理论

如图2（a）所示，钢球上任意两点C、D向通过圆心的x轴做垂线交于A、B两点，圆弧CD绕直线AB旋转一周所生成的图形称为球带，球带形状根据C、D两点是否关于y轴对称分为对称球带和球冠球带，如图2（b）、2（c）所示，两种球带区别在于角度积分区间不同，对称球带积分区间上、下限角度值等值异号，如图3（a）所示，角度为任意值所形成的球带称为球冠球带，如图3（b）所示。下面对两种球带进行面积求解。

对称球带面积S₁：

（2）由h₁=Rsinθ得：

S₁=4πRh₁ （3）式中：θ为直线OE与直线OC的夹角；-θ为直线OA与直线OE的夹角；h₁为点O₂与点O问的距离。

球冠球带面积S₂：

（4）由h₁=Rsinθ₁，h=Rsinθ₂得：

S₂=4πRh₂ （5）式中：θ₁为直线OF与直线OA的夹角；θ₂为直线OF与直线OC的夹角；h₁为点O₁与点O问的距离；h₂为点O₁与点O₂间的距离；h为点O₂与点O间的距离。

虽然积分区间形式不同，但两种球带面积公式推导结果相同，因此，为便于说明以对称球带结构进行球带面积求解及性质分析。

2.2 球带重叠建模及面积计算

如果采用三条球带将钢球表面全部包裹的方法，则首先将钢球圆周六等分，然后求得每段弧长为πR/3，最后将圆弧绕轴线旋转三次形成三条球带包裹钢球表面，具体操作如下：首先圆弧绕水平轴旋转一周形成第一条球带，如图4（a）所示，将旋转轴逆时针旋转60°圆弧绕轴旋转一周形成第二条球带，如图4（b）所示，最后将旋转轴逆时针旋转至120°圆弧最后绕轴旋转一周形成第三条球带，如图4（c）所示。

圆弧绕轴旋转三次，即钢球展开三次，三条球带形成，在形成过程中重叠现象发生，重叠方式包括两条球带重叠和三条球带重叠如图4（d）所示。

根据对称球带的积分特点利用单侧角度变化对多条球带包裹钢球表面时的面积和重叠面积进行计算求解，如图3（a）所示，θ的范围为[0，π/2]因此球带条数N为

（6）

由式（6）可以得出Ⅳ条球带包裹钢球表面时的面积S_n：

（7）

（8）由式（7）、（8）可以求出N条球带重叠面积S_叠：

（9）對多条球带重叠面积取极限得到极限球带包裹面积S_Nlim：

（10）因此可以求出极限球带重叠面积S_叠lim：

（11）

球带重叠现象是由球带在覆盖钢球表面过程中球带面积叠加原因造成的，此种现象的发生不可避免。

根据式（6）可以得到展开次数N，但N通常不是整数，理想情况是N为整数，若N向上取整的整数为n，则N次展开时的球带宽度e_N大于n次展开时所对应球带宽度e_n，如图5（a）所示。若e_N小于e_n则会发生漏检现象，如图5（b）所示；若e_N过大则会发生过检现象。因此，在展开次数Ⅳ确定的情况下，将e_N调整到略大于e_n达到增大检测效率的目的。

由式（7）可以看出球带包裹钢球的面积随着展开次数增加而增大，因此需要对展开次数进行控制。在球带宽度确定的情况下可适当减少展开次数，防止展开次数过多导致展开时间过长使检测效率降低。

3 有效弧长覆盖效率

在检测时，由于干扰因素如振动、相对滑动等影响，导致理想弧长发生波动，为了保证钢球全表面展开，需要增加理想弧段长度，随着理想弧长增加重叠面积也在逐渐增大，因此需要对理想弧段有效弧长覆盖效率进行分析。

球带宽度取决于探头检测弧段长度，如图6所示，理想情况是检测弧B₁B₂（对应弧长C）恰好是n次展开所对应的弧C₁C₂（对应弧长C_n），即C=C_n。

在实际检测时，由于易受干扰因素影响，因此将原理想弧段两端各增大ξ（即B₁C₁、B₂C₂弧段长度）来满足实际要求，增大的ξ量称为弧长冗余量，因此增大后的理想检测弧长C：

C=C_n+2ξ （12）

（13）

（14）

由式（14）可以看出随着ξ值增大，效率η逐渐降低，因此在能够保证完全展开的情况下，可适当缩小ξ值。虽然弧长冗余量会引起球带宽度增加，导致重叠面积增大，但可以将其限制在适当的范围内。利用η直观地了解ξ对有效弧长覆盖效率的影响及弧长有效利用率，通过控制ξ来减小重叠面积，达到提高检测效率的目的。

4 结论

本文基于钢球表面图像采集特点，对球带覆盖钢球表面面积及弧长冗余量进行分析得到如下结论：由钢球球冠成像特点，确定钢球中心区域、钢球检测理想区域和钢球边缘区域，获得理想检测弧长。利用球带表达式得到球带面积和多条球带重叠面积，在保证钢球完全展开的前提下，通过限制展开次数和实际球带宽度，达到提高检测效率的目的。根据实际检测条件控制弧长冗余量，获得理想弧长；由弧长覆盖效率直观地了解弧长冗余量的变化情况，达到提高检测效率的目的。

（编辑：温泽宇）