“构造法”在高中数学解题中的应用

王力强

摘要：高中阶段的学习非常重要，要在短时间内积累足够多的知识才能更好的应对“高考”。高中数学对于学生来说本身学习起来就很吃力，尤其是到了后期复习过程中，常规的数学思维方式很难顺利求解一些数学题。因此，要善于引用新的方法来对求解高中数学题，构造法是一种比较实用的解题解题方法，能够帮助学生将抽象的数学知识、数学公式更加巧妙的结合起來，从而更加准确更加有效率的解决数学难题。本文对“构造法”在高中数学解题中的应用展开分析，旨在提升高中数学教学的针对性。

关键词：高中数学；构造法；解题

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常规的解题思维就是根据数学问题中已经给出的条件，向结论方向进行定向思考，然是目前很多数学难题通过常规的思考方法很难得出最后的正确的答案，尤其是某些数学难题在常规解题思路之下甚至会毫无头绪。这就和我们走路一样，遇到障碍清除继续行走是常规的思维方式，但是有些时候有些障碍没有办法清除，那么就需要一个新的方法进行解决，才能更好的通行。面对无法用常规的解题方法进行解题的情况时，我们可以尝试新的思路，例如：构造法，能够帮助学生将抽象的数学知识、数学公式巧妙的结合起来从而寻求新的解题思路将数学题解决。

一、构造法在数学解题中的应用基础

目前，构造法在解决数学难题中所展现出来的作用非常明显，但是如果要熟练的使用构造法解决数学难题，学生必须要有丰富的数学知识作为基础，还有学生具有一定的观察能力，形成一定的数学思维，能够看出和挖掘出已知条件与结论之间的内在关系。使用构造法解决数学难题，还要求学生必须具备一定的综合能力，能够灵活运用数学中的方程、几何等等数学知识，同时还需要培养学生一定的创造能力，这样是学会使用构造法的关键之处。在利用构造法解决数学难题时，可以发现题中有很对形式多样的对象能够用来进行构造，根据这些对象的特点将之划分为图形、方程、函数等等。还需要注意的是利用构造法解决数学难题时，不能生搬硬套，其实我们需要先了解什么是构造法，才能在实际解题的过程中更好的运用构造法。简单来说，构造法本身是没有特定的套路的，这是一种非常灵活的解题方法，所谓构造法重点在于怎么构造，构造没有通用的法则，但是凡事都有一定的规律可循，构造法也不例外。构造法首先必须要明确构造的目标，其次就是要分析问题，掌握问题的特点，然后再根据具体的情况，明确构造的方案，从而解决相应的数学难题。

二、构造函数应用

函数是高中数学中非常重要的知识，高中学生一般能够对函数知识灵活运用的话其实可以解决很多数学难题。若要灵活运用，首先得掌握函数的基本特征，函数特征中含有的界性、单调性、周期性、连续形象、复合函数、反函数等等，这些特性都必须掌握才能在实际解题中灵活的运用。通常我们在解决数学难题时，可以根据题目中已经给出条件的特征与结论的特征，对函数的特性进行灵活的使用，从而构造出相应的函数，将一些不等式证明等等问题转变为函数的特征进行分析，能够将所解问题简单化，还能一定程度上提升解题的效率和解题的准确率。需要特别注意的是，利用构造函数的方法解决数学问题有这些难点：第一，数学题多种多样，如果要分辨出那种题型比较适合运用函数构造法来进行解决，对于高中学生目前来说难度还是很大的。第二，使用构造法本身具有较高的难度，学生具体使用过程中需要教师进行引导。第三，解题过程中，哪一个阶段要使用构造法学生也很难分清楚，有些数学题一开始需要进行构造，还有一些数学题解到一半才需要构造，这些客观的因素也就体现了构造法的难度。例如：已知a、b、c∈（0，1），求证a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）<1.分析：从题目来看，这道题的条件和结论有一定的对称性，直接证明难度比较大，推荐采用构造法，就能提高解题的效率。证明：通过构造函数f（a）=（b+c-1）a+（bc-b-c+1）.因为b，c∈（0，1），所以f（0）=bc-b-c+1=（b-1）（c-1）>0，f（1）=（b+c-1）+（bc-b-c+1）=bc>0.而f（a）是一次函数，图形是一条直线，因此，当a∈（0，1）时，恒有f（a）>0，也就是（b+c-1）a+（bc-b-c+1）>0，整理之后得出：a（1-b）+b（1-c）+c（1-a）<1。

三、构造方程应用

对于高中学生来说方程已经不陌生，所谓方程就是含有未知数的等式，解方程就是求未知数的值，或者求未知数的表达式。实际解题过程中，我们知道很多数学问题当中有很多未知的条件，为了更好的避免逆向思考，可以直接将方程式列出来，可以将未知数利用数学符号来进行替代，从而列出等式，然后根据等式之间的关系来求未知数，这样可以提高解题的效率，还能省去很多不必要的麻烦。高中很多数学题计算量比较大，而且未知量的数量增加与未知量之间的关系变化也是非常的复杂，如果利用常规的方式去解答很多时候学生感觉无从下手，但是通过分析题目中给出的条件与结论之间的关系，构造对应的方程，不仅能够让问题更加简单，还能开阔学生的思维，培养学生的观察能力与数学知识灵活运用的能力。例如：（m-n）2-4（n-x）（x-m）=0，求证：m，n，x为等差数列。针对这道题如果直面思考，感觉很难下手，经过观察可以发现这个等式与解方程式的 中的b2-4ac的格式是一样的，正好就可以利用这个特征，构造对应的方程（n-x）t2+（m-n）t+（x-m）=0，设W=（m-n）2-4x（n-x）（x-m），w=0，所以构造的方程两个实数根是相等的，从而得知（n-x）+（m-n）+（x-m）=0，得知t=1，也得知另外一个根等于1，然后根据韦达定理，m+n=2x，由此解出m，x，n都是等差数列。

综上所述，构造法就有一定的创造性，将这种创造性思维融入到解题思维当中，能够解决更多数学难题。构造法还可以运用更多的数学问题当中，在实践中不断提高学生利用构造法解决数学难题的能力。构造法能够发散学生的思维，让学生对所掌握的数学知识进行融会贯通，一旦真正让学生掌握了这种方法，笔者相信很多问题都能够迎刃而解。因此，在高中数学教学中加强培养学生使用构造法的能力是值得深入研究的重要课题。

参考文献：

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[2]刘显奋. “构造法”在高中数学解题中的应用——以等差数列教学为例[J]. 广西教育，2016，14：155-156.

[3]王鸾. 高中数学解题教学中如何巧用构造法[J]. 新课程（下），2016，03：154.