高中数学教学需要研究学生的学习过程

胡智

[摘 要] 在高中数学学科核心素养的视角下，研究数学教学的有效性，就必须关注学生的学习过程. 从教学设计时预设学生的学习过程，到教学过程中观察学生的学习过程，再到教学反思中理解学生的学习过程，可以将学生的数学学习全程把握在教师的手里，从而保证学生的数学知识构建. 此中从数学文化以及思想方法角度再进行渗透，也就可以培养学生的核心素养.

[关键词] 高中数学；学习过程；知识建构；核心素养

在传统的高中数学教学中，存在着一个基本的认识，那就是数学知识的学习是为数学应用服务的，而这个数学应用往往又是指利用数学知识来解题. 显然，这样的认识主要来源于当前的评价机制，从客观角度来看，这一现状是难以改变的. 但长此以往的教学方式，带来的最大不足就是有意无意地对学生学习过程的忽视，尤其是新知构建过程中学生的一些具体思考细节的忽视，而这对于当前讨论得非常热烈的数学核心素养的培养来说，是一个明显的缺陷. 无法想象，在对学生学习过程缺乏关注的情况下，学生的数学核心素养还能够有效提升. 高中阶段的数学学习，具有内容繁杂且思维要求高的特征，而这其实正是数学学科的核心素养培养的重要时机，因为在笔者看来，只有经由缜密甚至是复杂的思维，数学才能更近地靠近其核心素养内核. 从这个角度来讲，研究学生的学习过程，是每一个数学教师的基本功. 而基于这样的认识，笔者在教学中也特别关注学生的学习过程以及学习细节，并从中揣摩到了学生在数学学习中呈现出来的一些基本特点. 下面就以“任意角的三角函数”教学为例，谈谈笔者的实践与思考.

[?] 教學设计中预设学生的学习过程

教学设计的过程，可以有两种基本理解，一是为自己的教学过程搭建一个框架；二是对学生的学习过程做一个预设. 显然，前者是指向教师的，是为了教师的“教”服务的，某种程度上来讲其保证了教师教学任务的完成；而后者则是指向学生的，是为了学生的“学”服务的，其是为了保证学生学习任务的完成. 虽然从教学关系的角度来看，两者并没有矛盾，但后者显然更能保证“以生为本”教学理念的落实，也能让数学教学更好地落到实处. 当前高中数学教学有一个最基本的原则，那就是“以学定教”，显然，学生的“学”更应当成为教师在教学设计中关注的重点. 而笔者的实践表明，在教学设计的过程中预设学生的学习过程，可以为教学流程的把握奠定基础.

任意角的三角函数的教学，笔者设计了这样的三个基本环节：首先，通过一个问题的提出，如画出一个任意的锐角，让学生判断正弦、余弦、正切等. 这一步设计的目的是让学生在原有知识的基础上，复习巩固这三个三角函数的基本定义，同时判断学生在面对任意角的三角函数时，会有什么样的直觉反应. 比如说看学生在计算任意角的三角函数的时候，会不会认为函数的值与所取的点的位置有关. 其次，在单位圆的基础上，笔者设计用几何画板，将原先给出的任意锐角进行变化，以使这个角更具有“任意”的特征，让学生去思考如何有效地定义这个角的正弦、余弦与正切. 这是一个在学生原有认知基础上进行拓展，以任意角的三角函数的定义为抓手，培养学生数学概念理解的过程. 最后，在形成定义的基础上，结合此前函数学习的认识，去判断任意角三角函数的定义域，并学会用弧度表示这一定义域.

在这一教学设计过程中，笔者预设学生在第一个步骤里，学生可以根据给出的那个任意的锐角，从直角三角形的角度去求得三个三角函数的值，因为从直角三角形的角度定义三角函数，是学生建立函数认识的基础，学生应当有比较扎实的经验. 而在此基础上将参考系从直角坐标系转换为单位圆，则是结合高中数学学习的特点，进行的一种三角函数概念建立的体系转换. 第三个步骤实际上也具有同化特征，因为此前学习过的关于函数的知识，可以让学生认识到定义域是三角函数的基本组成部分，唯一需要努力的可能是在弧度制的运用上. 笔者进一步预设学生的学习顺利程度：第一个环节应当是最顺利的；第二个环节是难度较大的，需要教师的引导；第三个环节相对也要容易一些.

[?] 教学过程中观察学生的学习过程

到了实际教学的过程中，对学生学习过程的观察，决定了这一节课教学的有效程度，也决定了学生在数学学科的核心素养培养的道路上能够走多远. 这个观点从理论角度来理解是没有任何问题的，毕竟其有着显然的合理性. 但从教学实践的角度来看，却有着挑战性，因为教师在更多的情况下，关注的是自身的教学思路是否能顺利实现，骨子里期待的是学生的学习过程能够像自己所想象的那样顺利. 但事实并不尽然如此，当然也因为这种“意外”，数学教学研究才有了更大的意义.

比如第一个教学环节，让学生用已有的知识去判断一个任意角的三个三角函数值的时候，笔者发现以几何画板任意给出的锐角，对于学生来说却是一个较大的挑战，因为学生熟悉的是特殊角的三角函数值，是通过记忆在思维里形成了印象. 而任意角的三角函数值的计算，却成了问题，几乎很少有学生能意识到可以通过直角坐标系来解决问题. 这个时候怎么办？笔者的做法是帮学生复习三角函数此前的定义，让学生认识到直角三角形是解决问题的思路. 这一步比较顺利，学生一经提醒，就知道了问题的关键所在. 而下一步就比较关键，笔者提出可不可以将直角三角形纳入到直角坐标系当中去. 学生起初感觉迟疑，因为直角三角形与直角坐标系还是有不同的，学生最大的不适应，就是将直角三角形中的直角边、斜边的大小，要转换成坐标系中的坐标. 这个时候就进入了教学的第二个环节，此过程中教师的引导很重要，当然教师引导的依据也是学生实际的学习情况. 根据笔者的观察，学生此时表现出的最大困难，就是“长度”向“坐标”的转换，而这一步又是下一步利用单位圆构建任意角的三角函数的基础，因此要引导好. 事实上，学生理解的困难主要在不适应坐标可以比较长度上，而笔者的引导则是帮学生进一步认识坐标系的作用，尤其是坐标系在确定某个点的位置的时候，其实也是具有长度特征的. 有了这样的认识，学生的思维基本上就可以实现转换了.

到了第二个环节，构建任意角的三角函数的定义. 此处，几何画板这一现代教学手段所起的作用非常直观——任意给出角，可以让学生认识到所研究的对象角确实是“任意”的，这也就将学生思维中原有的特殊角转换成了任意角，从而实现了从特殊到一般的学习思路的转变，而这才是本課教学的一个重点. 在此前一个环节的学习中，笔者已经通过变式训练，让学生认识到一个角的三角函数值与构建直角三角形或坐标系中位置的确定是没有关系的，关键取决于角的大小. 在此基础上笔者提出新的问题：能否将其中的某条线确定为单位长度，然后这个任意角的三角函数就可以不用计算而获得？这从结果描述上来说，自然是学生所欢迎的，但如何才能达到这个目标呢？于是“单位圆”就成为此处研究的重点了. 课堂教学的实践表明，部分学生对“单位圆”中的“单位”一词存在疑惑，而这个疑惑千万不能忽视，因为其是学生认识单位圆的基础，教师有必要向学生解释——这是教学中的一个重要细节问题. 而有了这样的铺垫，当单位圆成为学生熟悉的一个基础时，任意角的三角函数构建也就顺利多了.

最后的一个重点就是让学生适用弧度来表示函数值与定义域. 笔者注意到学生在此环节中表现出的学习困难主要在于角度制与弧度制的转换的顺利程度上，以及任意角的三角函数与单位圆的关系，也就是说学生还不大适应在单位圆上构建对三角函数的认识. 笔者以为，这决定了在近期的教学中，单位圆都不能急于放掉，而这恰恰是传统数学概念教学中的一个容易忽视的地方，总认为概念出来之后，概念形成的途径就不再需要关注了.

[?] 教学反思中理解学生的学习过程

在课后的反思过程中，笔者进一步分析学生的学习过程，发现其中存在着一些在教学设计时没有关注到的盲点. 如学生在从直角三角形向直角坐标系转换的时候，表现出来的不适应，让笔者有些着急，因为这个环节原本没有设计太多的时间，但学生表现出来的困难如果不重视，那学生后面的学习又可能会出现“空中楼阁”的情形. 因此实际教学中只好慢下来，让学生努力做好直角三角形向直角坐标系的转换. 后来想想，这与日常教学中没有强调数形结合与转换可能有一定的关系. 直角三角形更多是以“形”的形式出现在学生的面前，而直角坐标系虽然是一个图形，但其实更多的是“数”的加工，难怪学生的学习会有困难. 后面在利用单位圆的时候，实际上也有这个问题. 因此笔者在教学中即时调整，强调让学生形成数与形的认识，让他们知道数与形在此处都可以服务于任意角三角函数概念的建立. 而这样的认识对于高中生来说，理解上并没有困难，甚至可以进一步认为，他们只是缺少这一理论上的指引.

进一步反思，笔者以为高中数学教学重视学生的学习过程，实际上是把握了学生数学学习的本质，也是抓住了数学学习的细节. 有了这个细节把握，真正的数学建构就有可能高效发生，数学核心素养的培养也就有了坚实的基础.