寓教于无声，成于缄默知识

赵平

[摘 要] 教师设计核心问题展开教学，摈弃絮絮叨叨的讲解，由学生自主探究，解决核心问题赋予的任务，交流、探讨问题解决方法，然后再进一步研究探讨、巩固归纳，在这个过程中获得缄默知识，使能力得到发展和提升.

[关键词] 核心问题；自主探究；缄默知识

教师以问题引导学生学习，驱动课堂发展，这种课堂教学方式若能合理使用便可以提高课堂教学效率. 但教师的提问往往多且琐碎，学生被“驱赶”得如同在云里雾里，随之而来的便是辅以大量的举例和提问，期待学生在其中能有所发现，而结果不仅不佳，且师生皆累. 因此，有必要从整个课堂结构上进行改变，抓住问题的延伸和深化，将课堂重构，即进行基于核心问题的教学设计. 这里的核心问题是指能激发和推进学生主动活动，能整合现行教材中需要学习的重点内容，能与学生生活实际和思维水平密切相关联的、能贯穿整节课的问题或者任务. 教师应当通过核心问题的设计，使教学从教师的“讲”变成学生的体验、活动、探究、领悟.

课堂中核心问题可以是一道典型例题，也可以就是一个对整节课有启发作用的一个问题，但它必须具备生长性，即学生通过对该问题的层层深入地研究可以习得很多缄默知识；同时核心问题还必须具备开放性，即不同层次的学生可以有不同的解决方法和解决路径. 斯顿迈克认为缄默知识是不能轻易用言语进行表达，存在于人们的手头和脑海里，只有通过行动才可以将它们体现出来的知识. 其实这里可以讲所谓缄默知识就是学生的学科能力.

笔者以《椭圆的几何性质》高三复习课来说明通过核心问题的设计，可以使课堂不再以知识讲授为目的，而是以学生对核心问题的突破作为课堂发展的主线，让学生自主解决，在这个过程中获得教师讲授时不能获得的缄默知识.

[?] 环节一：给出问题

在椭圆的几何性质复习过程中，焦点三角形问题与离心率是其中重要的内容，因此课堂核心问题有必要围绕其进行选择. 设计初衷就是让学生掌握处理焦点三角形问题的方法，在这个过程中锻炼学生字母运算的能力. 但作为高三一轮复习课，问题的选取又不宜过难，必须基于班级学生的学情，学生经过努力思考是可以解决的问题，即遵循学生的最近发展区原则.

例：如图1，F1，F2是椭圆+=1（a>b>0）的左、右焦点，点M在x轴上且=，过点F2的直线与椭圆交于A，B两点，且AM⊥x轴，·=0，求椭圆的离心率.

评述：在实际教学时，教师不提示、不分析，不越俎代庖，至关重要！直接将问题交给学生进行研究. 学生独立地完成问题，从阅读、分析，到制定解題策略，最后运算得出结论，每一个过程都能很好地锻炼学生的阅读审题能力，分析问题、解决问题的能力，运算能力等，这些都是需要培养的学生重要的数学学习能力. 这些是学生的缄默知识累积提高的过程，也正是核心问题功能和价值的体现.

[?] 环节二：交流探讨

学生在学习小组内部交流后，每组的代表走上讲台，利用实物投影仪，讲解自己的解题过程.

小组一：设点A（x0，y0），

因为·=0，

所以（x0+c，y0）·（x0-c，y0）=0，

即x-c2+y=0.

而=，

所以x0=c，于是可得y0=c.

因为点A（x0，y0）在+=1（a>b>0）上，

所以+=1（a>b>0）.

又b2=a2-c2，

所以e2+·=1 （颇具“战略”眼光的字母处理！）

解之得e=.

讲解代表：我们利用点在椭圆上，构成关于a，b，c的等式，从而求出离心率.

小组二：设点A（x0，y0），

因为·=0，

所以·=-1，

化简得x-c2+y=0.

其余同小组一.

讲解代表：与小组一相同.

小组三：因为·=0，

所以点A在以点O为圆心，c为半径的圆上，

所以直接有x-c2+y=0.

其余与小组一相同.

小组四：由题意，∠F1AF2=90°，AM⊥F1F2，

根据射影定理可得AM2=F1M·F2M，

解得AM=，从而得A点的坐标.

其余与上相同（这个解法是超出教师备课时预设的）.

小组五：由焦半径公式得AF1=a+ec，AF2=a-ec.

根据勾股定理有AF+AF=F1F，

所以

从而有a2+e2·c2=2c2.

两边同除以a2得1+e4=2e2，解得e=.

讲解代表：我们的优势是不用求点的坐标，利用勾股定理依然可以得到关于a，c的等式.

小组六：根据勾股定理有AF+AF=F1F，

而AF1+AF2=2a，F1F2=2c，（AF1+AF2）2-2AF1·AF2=4c2，

所以AF1·AF2=2b2.

利用三角形的面积可得·2c·yA=·2b2，即yA=.

此时代入椭圆方程或者利用其他小组的结论=都可求得离心率.

小组七：利用焦点三角形的面积公式·2c·yA=b2·tan，

而∠F1AF2=90°，

于是也有yA=，此时代入椭圆方程或利用其他小组的结论=都可求得离心率.

……

课堂气氛活跃！

评述：北京师范大学石中英教授认为：“认识和理解教学生活中缄默知识的关键一步就是让它们‘显性化，从而才能够对它们加以检讨、修正或应用. ”学生自己做，并且让他们自己讲出来，才能使他们自己摸索的经验得到提升，在思维碰撞中知道自己的不足. 合作交流为学生提供了“再创造”的空间和时间，变信息的单项传递为立体传递，促使信息渠道宽广通畅，产生了许多出人意料的结果. 比如这里的解法四、解法七，课堂气氛活跃，形成生生之间的自由探索和热烈讨论. 学生在合作交流中缄默知识可以在学生中“流淌”，这样个体经验会成为集体智慧，这是缄默知识显性化的过程，也使核心问题的价值得以发挥.

[?] 环节三：总结追问

教师：同学们做得不错，总结得很到位，求离心率的本质就是得到关于a，b，c的等式，大家对直角条件利用得相当好，求了点的坐标. 以后再出现直角条件我们就可以从这些角度出发解决问题（此处笔者故意对小组七的解法轻描淡写地略过）. 不过这道题若将“·=0”改成“∠F1AF2=60°”，其余的条件不变，这道题的离心率又是多少呢？

学生自主完成，有的学生刚刚还引以为自豪的解法，在此时瞬间“失效”，他们再次陷入了思考、计算，教室里再次变得安静.

在关键处发挥教师主导的作用，教师放手让学生在“做”中“学”，但不等于放任不管！此时，教师怎么介入便是一门艺术，分寸必须拿捏准确. 学生已经将例题研究得很透彻了，那么有必要在其已有经验的基础上，再向前推进一步，作更深度的体验. 即在原有问题的基础上适时地提出新问题推进学生进行更深层次的探究，培养学生从特殊到一般的思维习惯，提升学生研究问题的能力. 如果我们要想抓住事物的本质，就要深入到其内部，思考潜藏于深处的分析要点. 着眼于挖掘隐藏的统一性，是抓住事物本质的唯一方法.

[?] 环节四：交流探讨

学生指出小组五的解法还是可行的，只要将勾股定理改成余弦定理.

由焦半径公式得AF=a+ec，AF2=a-ec，

及余弦定理有AF+AF-2AF1·AF2·cos∠F1AF2=F1F，

即

解得e2=.

此时e=.

同样，小组六的方法用余弦定理可得

（AF1+AF2）2-3AF1·AF2=4c2，

所以AF1·AF2=b2，

即·2c·yA=·b2·sin60°，

得yA=.

將A点的坐标代入椭圆方程有+=1，

化简得e2+=1，

从而可以解得e=.

同样，小组七的解法也是可行的，并且比较简单.

教师：通过将这道题的已知条件进行变化，同学们对焦点三角形的处理有何感受？（组织学生互评解法）

学生结论：处理焦点三角形时利用余弦定理和椭圆定义、焦半径公式是更具有一般性的方法，出现直角时可以利用勾股定理、圆来处理.

评述：教育家苏霍姆林斯基说过：“如果学生没有学习愿望的话，我们所有的想法、方案和设想都会化为灰烬，变成木乃伊. ”教师通过条件的变化，激起学生对新知的探求欲望，学生在前后的比较中形成对焦点三角形处理的通法体验，这是一种深度体验. 在这个过程中，学生通过体验能够自主地发现知识，通过比较总结出规律，学生已有的缄默知识再次升华完善，从而达成了核心问题设置的课堂目标.

[?] 环节五：巩固应用

教师：对，顶角是直角只是一个特殊情况，大家总结得不错. 小组七的解法，等式右边是一个焦点三角形面积的结论，你能证明它吗？

学生证明出焦点三角形的面积公式S=b2tan（θ为焦点三角形中非焦点的顶角），证明过程不再赘述. 将学生在探究过程中产生的问题，还给学生作为练习，当堂训练，下课铃声响起.

评述：基于核心问题设计的课堂，学生往往会产生新的问题，合理地利用课堂生成的新资源，是教师的一种教学机智，实质也是教师对课堂核心问题的把握.

纵观整节课，笔者没有絮絮叨叨的讲解，教室里有时也是绝对的安静，只是寥寥数语便将学生调动起来. 其实发挥作用的正是核心问题的设计，将学生置于数学的研究与探讨环境之中，学生连贯一体的思维没有被教师过多的问题割裂，没有被教师的问题控制，学生有了属于自己的并且是伴随着丰富体验的活动. 学生利用已有的知识先独立，后合作解决问题，继而师生共同客观地对解决问题的过程进行反思、归纳、提升、感悟，进而产生解决问题的方法，并且通过问题再探究使解决问题的通法与特殊方法得以区分体现. 由于核心问题的设置，很多的缄默知识都可以通过学生的活动体现出来，如对代数式的处理，关于字母的运算的目的性，这些只有学生在经历过的交流合作中才能获得提升.