高中数学中的数形结合教学的思考

叶琪飞

[摘 要] 梳理高中数学知识中的数形结合教学主线，可以让数形结合的重要思想一以贯之地体现在数学学习的过程当中. 教师要做的工作就是发现数形结合教学契机的存在，并决定是采用显性还是隐性的教学方式. 其中，识图能力的培养是重要的思路，而作图又是识图能力形成的关键. 此外，数学应用中的学习反思需要重视数形结合思想的发掘.

[关键词] 高中数学；数形结合；教学反思

数形结合是一种重要的思想，在当前学科核心素养的讨论视界中，数形结合被赋予了更为重要的意义. 在整个高中数学教学中，寻找数形结合的主线，可以让数学认知体系的构建更为顺利，同时可以让学生形成更为有效的数学学习方法. 这种学习方法如果迁移到其他学科的学习或者生活中，可以为学生面对未知领域提供一种有效思维. 即使从数学本身来看，数形结合作为一种数学思想，其也可以让学生在抽象的高中数学知识中，发现到貌似孤立的知识之间的联系美，看到抽象的数学表面之下的形象美. 本文试以高中数学教材中的主要知识为基础，梳理其中的数形结合成分，以为同行高中数学教学提供一些参考.

[?] 数形结合思想下高中数学知识的梳理

数形结合是一种数学思想，而思想从来就不是单独存在的，其一定是依赖于数学知识而存在的. 高中数学知识中，从刚开始的集合知识起，其实就有着丰富的数形结合思想的存在. 考虑到整个高中数学的知识太多，因此这里仅挑选其中的几个例子，这些例子未必是最典型的，但一定是能够说明数形结合思想的价值与特征的.

首先，就是集合的知识. 学生在义务教育阶段就学过在数轴上表示数，这已经是一种初步的数形结合思想的体现. 到了集合知识的学习中，可以利用在数轴上表示数集，用Venn图来形象地描述比较抽象的集合，给学生着力强调数形结合. 这个时候的强调可以是显性的，明确告诉学生数形结合就是抽象的“数”与形象的“形”结合在一起，描述数学概念或规律. 这样的朴素描述，可以让学生有效地建立数形结合的认识. 而之所以在这里强调显性教学，就是考虑到集合这一知识难度并不算很大，学生建构起来没有太多的思维上的困难，因此可以将教学的重心适当偏移到数形结合这一思想方法上来.

其次，函数知识的学习. 在函数知识的教学中，一个基本的动作就是让学生在基本相同的思路之下去学习多种函数. 这里所说的相同思路包括函数的概念、定义、定义域、值域、图像、单调性、奇偶性等. 如果只从知识积累的角度来看，那教学可以在多个函数教好之后，用表格来罗列不同函数的上述特征. 而如果有了数形结合的思想，则可以引导学生在数形结合中认识不同函数的特征，尤其是不同函数的图像比较，可以让学生将不同函数联系起来，从而形成一个较大的知识组块，这对于促进学生对函数知识的记忆是极有好处的. 因此，函数可以说是高中数学教学中的一个极为重要的数形结合教学的契机. 包括后面的基本初等函数、三角函数等，都具有数形结合的教学价值.

再次，几何知识的教学. 传统上的高中数学教学曾经有过立体几何与解析几何的分开教学，现行教材没有将这两种几何截然分开，个中原因在此不再讨论. 但需要认识到的是，作为以“形”为主要学习对象的数学知识，需要基于“形”去引导学生认识“数”是如何用来描述这些“形”的. 高中几何是在学生熟悉的点、线基础上，去描述面、体的关系的，这种描述的手段除了“形”的空间关系之外，主要就是“数”的运用. 因此，几何知识的学习是一个重要的渗透数形结合的机会.

最后，向量知识的教学. 这是高中阶段的新学知识，学生此前几乎没有一点相应的数学基础，而且将大小与方向集中到同一个数学概念上，这对于学生来说是非常陌生的，学生构建起来也是非常困难的. 尽管这是一个明显的具有数形结合特征的知识，理论上来说是形象与抽象并存，学生学起来应该很容易. 可事实证明，这一知识在渗透数形结合思想的时候是需要注意的，一定要在学生成功建构了向量概念的基础上，再去分析其中的数形的并存. 这可能是高中数学知识中为数不多的例外.

[?] 基于识图能力培养数形结合的意识

数形结合从概念解构的角度来看，“数”与“形”没有先后主次之分，但从学生知识建构的难易角度来看，还是要注意先后顺序的. 尽管高中学生的抽象思维能力比较强，但在很多时候尤其是他们遇到构建知识困难的时候，还是会凭直觉利用形象思维去解决问题. 而高中数学知识建构过程中，凡是遇到数形结合的，都要考虑“数”与“形”的先后顺序，尤其是对于部分知识而言，要先培养学生的识图能力.

在现实教学中遇到的一个问题是，识图能力从哪里来？通常情况下，对于这一问题或许可以有两个答案：一是从已有图形的分析中来，如在学习向量知识的时候，通常都是教师先给出某个向量，然后与学生一起去分析. 这样的教学中，“形”在前而“数”在后，学生是在给出图形的基础上赋予其“数”的意义的. 这也是构建相对较难的数学知识时常常采用的方法. 而很多情况下尤其是在新构建某些知识的时候，可以将识图再前置一步，即从学生的作图开始就培养学生的识图能力，进而培养学生数形结合的思想. 这里可以看一个例子.

在函數知识的教学中，有一个重要的学习环节，就是根据函数的解析式去让学生作出函数的图像. 在实际教学中笔者注意到一种情况，那就是有的教师为了增加教学的容量，在课堂上采用了多媒体去作图，有的还花了大量的力气，利用一些程序语言去开发了可以输入系数的对话框，以让学生比较不同系数下同一函数的图像的异同. 这样的教学设计常常受到专家的肯定，认为课堂容量大，且教学手段的运用比较充分，符合现代教学理念；而学生也很喜欢，因为这样的课堂“声光电”俱全，容易吸引他们的注意力；模仿的教师也多，因为这样的设计，可以让图像的得出非常准确，省掉了学生学习中因为各种各样的原因导致的画图不准的情形. 但在笔者看来，这样的高效背后存在着忽视学生体验的问题，而最直接的“恶果”就是失去了培养学生数形结合能力与思想的机会.

试想，让学生用最基本的描点法去作图，确实会消耗时间，确实会面对学生各种各样的错误的情形. 但在这个过程中，学生的思维难道是无效的吗？认真分析学生在此过程中的思维可以发现，他们需要根据解析式去给函数进行多次赋值，而每次赋值后的计算又是在重复对应的思路（对应可是函数最重要的思想）. 在坐标上找点是培养学生对坐标感知能力与数学精确性的绝好时机，而描点之后形成的图像则可以让学生获得一种成就感. 这样的过程被所谓的现代教学手段代替了，这显然不见得是什么好事.

因此在这样的教学中，笔者一直强调要还学生的学习以原生态，需要让学生自己动手去做，自己动脑去想，通过自己的努力去发现并改正错误，直到最终得到一个完美的函数图像. 要知道，这看起来是一个作图的过程，实际上是数形同时运用的过程，这个过程中所获得的数形结合的体验是极为丰富的. 而有了这样的基础再去跟学生一起研究数形结合思想，那学生此时的思维基础该是多么的坚实，效果自然就会很好.

这里需要指出的是，数形结合的一个重要理解就是以“数”描“形”，以“形”助“数”. 说得更通俗一点，就是当学生感觉到“数”的抽象时，就用“形”来帮助学生进行理解（这是利用学生形象思维的能力），而当所学的知识比较形象需要以简洁语言描述时，“数”也就有了存在的价值.

[?] 数学应用深化学生数形结合的理解

数学应用无论是在传统的数学教学语境中，还是在课程改革以来的语境里，都是一个极为重要的话题. 最直接的原因，就是学生在高考中的分数，就是靠应用得来的. 尽管这个应用不是数学应用的全部，但数学应用的价值是任何人也无法忽视的. 那么，数学应用对于数形结合的理解有什么帮助呢？笔者发现这个问题非常具有研究价值.

笔者主要是从学生的思维角度去分析的，因为数学应用就是学生应用数学知识解决数学问题的过程. 在这个过程中，学生会回忆所学过的数学知识，会选择所用过的问题解决的策略，也会利用自己的解题经验去判断问题解决是否有效. 此中，数形结合有时候几乎是无处不在. 什么意思呢？因为当前高中数学考试评价中的问题，基本上都是“数”与“形”的复合体（这里主要是指考试中能够拉分的问题），因此学生解决这些问题的时候，必然存在数形综合应用的过程.

笔者想强调的不是这个过程，因为这个过程几乎所有高中数学教师都有经验，没有重复的必要. 笔者想強调的是，在顺利地解决了问题之后，一定要回过头去跟学生一起分析其中的数形结合的思路，因为这样的问题解决一般都是发生在综合性的复习之后，学生有了显性认识数形结合思想的基础. 这里教师唯一要做的就是让学生发现在不同题目中，是如何以“数”描“形”的，是如何以“形”助“数”的. 解决了这两个方向相反的问题，就可以完整理解数形结合了.