到底该怎样进行数学核心概念的教学
——以张齐华老师“分数的意义”教学为例

◇张良朋

众所周知，在数学教学中，应当格外重视数学概念的教学。但对这种说法不宜作绝对化的理解。原因很简单，不同的数学概念在地位和功能上存在诸多差异，有的是居于中心地位、功能强大的核心概念，有的则是居于从属地位、起辅助作用的一般概念。这表明，在数学教学实践中，对核心概念和一般概念应当做到适合其教学价值的有区别的对待。对核心概念，我们应舍得花费时间，想方设法凸显其在培育学生数学素养过程中的主导地位，充分体现它所具有的基础性和统领性价值；对一般概念，则要适度淡化，以防大量细碎、散乱的一般概念过分消耗、挤占了学生宝贵的精力和学习时间，最终损害了学生数学素养的养成质量。事实上，“重视核心概念，淡化一般概念”正是当前国际数学教育中的一个重要发展趋势。

然而，真正做到“抓大放小”并不容易，相关的教学实践暴露出不少问题。比如，分数是公认的数学核心概念，老师们一向很看重“分数的意义”的教学，获得“精彩、成功”评价的课例也有不少。但跟进的一些调研反馈的信息是，学生学得并不理想。这里列举两例。

案例1：分数是一个“数”吗？

案例2：分数的意义没学到位吗？

学完“分数的意义”一课后，教师通常会要求学生做到熟练说出分数的定义，即“把单位‘1’平均分成若干份，表示这样1份或几份的数就是分数”，并作重点检查。但在后面继续学习分数运算、用分数知识解决问题、比和比例等内容时，学生却出现了很多困难，一而再再而三地遭遇各种麻烦。此时再往回看，我们才发现，学生对“分数的意义”学得其实并不够好，在后续学习中并没有发挥出其应有的作用。

到底该怎样进行数学核心概念的教学呢？这是亟待我们努力探索的一个重要课题。最近有机会观摩张齐华老师执教的“分数的意义”一课，让我对这一课题产生了一些新的思考。

一　合理铺垫，激活核心概念的固着点和生长点

在“分数的意义”一课的起始阶段，教师惯用的做法有两个：一是通过几个具体的例子先来复习三年级学过的“分数的初步认识”，然后循序渐进地改变要分的“物”的数量（比如，从一个蛋糕、一个图形、一个计量单位发展到几个圆片组成的一个整体），逐步扩充学生对分数意义的认识；二是直接从建构单位“1”的意义入手，由表示一个具体物的自然数1引入，继而过渡到可以表示一些物体组成的整体 “1”，“1”的内涵获得了一次重要的拓展和提升，为接下来单位“1”概念的建立奠定重要的基础。比较而言，第一种做法主要是为归纳“分数的定义”服务的，而第二种做法则直击本课的教学难点单位“1”。

课始阶段到底该铺垫些什么呢？张老师做出了富有新意的尝试。

在接下来的教学对话中，张老师引领学生承接刚才的思路继续对学习材料进行分析、梳理、提炼、概括。且看张老师如何运用恰到好处的语言来串接和推动学生的思维活动：

（1）的确，“1”是我们计数的基本单位。只有确定了“1”，我们才能够准确地对这些正方形或其他任何东西进行计数。所以，数学上，我们把这里的“1”看作计数的单位，也叫单位“1”。

（2）数学上，整数就是单位“1”的叠加，有几个单位“1”，就可以用整数几来表示。如果不满1个单位“1”，或者比几个单位“1”还多一小部分，我们又该用怎样的数来表示？

（3）整数是单位“1”的叠加，分数则源自对单位“1”的等分。这样看来，整数也好，分数也好，其实都和谁有关？

（4）是单位“1”把整数和分数联系在了一起，单位“1”是整数和分数之间的桥梁！（结合学生发言，教师相机板书如下）

笔者认为，这样的铺垫是十分高明的。

首先，教师用一个看似简单实际上内蕴丰富的开放题引发了学生多样化的观点，学生的思考热情迅速高涨起来。

其次，也是更重要的，教师用若干个前后衔接的小问题所构成的问题串引导学生持续地思考，使学生不断对那些多样化的观点进行再认识、再加工、再提炼，由此，学生初步形成了对单位“1”的新认识：整数源自单位“1”的叠加，分数源自单位“1”的等分；无论整数也好，分数也罢，都和单位“1”有关；是单位“1”将原本没有关联的整数、分数建立了内在关联。在以往的一些课例中不少教师只看重“1”（仅完成了由1到“1”的扩充，即由 1只表示一个，到1也可以表示由多个事物组成的整体）而忽视“单位”的内涵相比，张老师此处做得更好的原因在于，帮助学生实现了由1到单位“1”的实质性跨越，单位“1”作为标准量、单位量、计数单位的数学本质获得了鲜明生动的揭示：“整数是单位‘1’的叠加，分数则源自对单位‘1’的等分。是单位‘1’把整数和分数联系在了一起，单位‘1’是整数和分数之间的桥梁！”这些都是挺有深度的观点，张老师的学生领会起来却十分轻松，足见张老师认识之深刻、引导之巧妙。张老师能这样设计源自他对整数和分数关系的深刻洞察，即分数可以看作是自然数的直接延续，而单位“1”是整数和分数之间有机贯通的桥梁！这里学生所收获的不仅是一个叫单位“1”的新名词，他们还感悟到了单位化的数学思想，而这将引发学生数学思维视角的改变。

二　多元表征，让学生参与核心概念多重意义的建构过程

分数概念具有多重意义。出现在小学数学教材中的分数定义大致有5种，分别为：①份数定义——部分/整体（包含子集/集合）关系；②数轴定义（数轴上的一点）；③商的定义（整数相除）；④比/比值定义（部分/部分）；⑤测量定义（将分数理解为分数单位的累积）。这些不同的定义，反映了分数概念在不同数学场域和学习阶段中所具有的不同意义。

有专家指出，造成学生理解分数概念困难的主要原因就是它包括了多重意义。笔者认为，这种看法尚未抓到关键症结。分数之难主要不在其意义的多样，而在于我们的教材设计和教学实践一直没有真正处理好分数所具有的多样化意义之间的关系，没有实现不同意义之间真正意义上的有机关联和自然沟通。试想，分数之所以能成为数学核心概念，不正是由于其所具有的多样化意义所赋予的多样化功能吗？

本节课中，张老师就如何实现分数不同意义之间的有机关联和自然沟通做了很好的尝试。他的做法就是，以每一个具体的分数为载体，抓住多元表征这一细节，让学生思维在不同表征间反复穿梭勾连，以此打通份数定义、测量定义和数轴定义间的思维壁垒（另外两种分数意义需要在以后的学习中逐步掌握）。具体来说，张老师的做法分为三个层次。

第一层次——求多。

图1

张老师浓墨重彩地借助不同题材表征分数，有一个潜在的好处，那就是学生在观察、比较、分析的过程中，会自然而然地自觉剥离每一个具体分数的非本质属性，比如单位“1”的具体内容、各自的颜色、形状等，从而使学生真正认识到，分数的本质含义并不在于具体的单位“1”究竟是什么，而在于单位“1”被平均分成多少份，表示出了这样的几份。

第二层次——求联。

张老师没有让学生停留在多样化表征的丰富性上，而是更进一步，引导学生将多样化表征的成果作为学习对象，积极寻求各种表征背后的意义表达和意义关联。学生充分利用单位“1”的新视角，在生生、师生的多维对话中，不断生成关于分数意义的新认识，进而达成对分数意义更为综合和整体的把握。诚如张老师在教学反思中提到的：“不同表征……有利于我们摆脱之前单向度认识分数的局限。学生的感受会更丰富、认识会更全面，最终建构起的分数的意义，也会更立体、更丰满。而在不同表征之间寻找关联，则又进一步引导学生在分数的不同形态之间存异求同。这样的活动设计，可以让学生体会到不同形态分数之间的结构性相似，为学生最终抽象出分数的意义奠定坚实的基础。”这也印证了郑毓信教授的观点：“就有理数的理解而言，不能停留于某种特定的解释，也不能将所说的各种解释看成互不相关、彼此独立的；恰恰相反，只有将有理数的各种解释(或者说，相应的心理建构)很好地联系起来才能达到真正的理解。”

第三层次——求法。

在张老师的教学中，如下的教学语言很值得品味：

（4）学习数学就像我们认识一个人一样，我们需要从不同的侧面去了解、发现它，这样，我们的认识才会更全面、更丰富。不过，在这些不同的表示方法之间，你能找到它们的联系吗？任意选择两种方式，试着比一比、说一说。

这些教学语言体现了张老师课堂教学的一个显著特色，那就是特别注重学法渗透和学法指导。就本节课而言，这表明张老师在引导学生求多、求联的基础上，还展现了元认知层面的引导功力。为什么在张老师的课堂上，学生参与热情高涨、思维积极活跃、表达从容且颇有主见？这与他一贯重视学生认知能力和元认知能力的协调发展肯定是密不可分的。

三　有机对接，体现 “过程阶段”和“对象状态”的自然互通

学生在三年级已经初步认识过分数，他们已经建立起“分数是表示部分与整体关系的”这一较为牢靠的认识，但“分数首先应该是一个数”的观念却十分模糊。这种状况与我们的教材设计思路和教学实践重心都是有关系的。尽管学生心理上不太认同“分数是一个像整数那样实在的数”，我们却早已要求（似乎没讲什么道理）学生把分数当成一个数来参与计算和比较大小了，在三年级学生已经学了简单的同分母分数加减法、分数大小的比较。这中间似乎存在着一条难以逾越的鸿沟。

我们是有意回避，还是无力解决？

这节课上，张老师成功化解了这个数学教师很头疼的教学难题，让学生充分认识到——分数是一个名副其实的“数”。他的做法就是，引入数轴，把分数定义成数轴上的一个点。张老师采取了“三步走”策略：

我们看看此环节的教学过程：

②全班展示，暴露思维，辨析交流，统一认识。课堂上出现了如下两种不同的表示方法（如图2）。这是学生思维状况的真实反映，学生对分数的意义和数轴的特性都还存在着一些不够明晰的地方。这也正是此处教学的切入点和着力点所在。

图2

事实上，分数概念具有二重性，它既体现为一种动态的过程操作（先均分单位“1”找到分数单位，再累计分数单位的个数），也体现为一种静态的对象结构（一个具体的数）。如果分数概念停留在过程阶段，思维所考虑的因素呈动态序列，不易全面掌握，较难抓住要害和实质。当分数概念进入对象状态时，便呈现为一种静态结构，这种静态结构包含的节点多，层级丰富，信息容量大，而且便于检索，使得学生可以从整体上把握概念的本质。可以说，引入数轴实现了分数概念从“过程阶段”向“对象状态”的自然转化和有机对接，在扩展分数意义的同时也提升了分数意义的抽象程度。一旦学生完成了这两个阶段的自然对接，就很有可能自如协调二者的关系，提高对分数意义的理解深度和应用能力。

四　整体建构，形成概念体系的系统化和网络化框架

任何数学概念都不能孤立存在，总是存在于一定的概念体系中。而数学核心概念位居概念体系的中心点，拥有十分强大的自我生长能力，与其他概念形成的联系更加丰富和有力。因此，数学核心概念的教学并非单纯教概念的内涵和外延，而应引导学生围绕核心概念建立概念系统，并视需要调用上位的数学思想方法、下位的一般概念（或具体例证）以及并列概念，并建立起它们之间相互作用的活动机制，进而实现对教学材料的结构化组织，对教学信息的意义性联结，提高学生自主进入概念系统模式的能力和水平。

在“分数的意义”这节课的教学中，张老师充分展现了其系统关照和整体把握的深厚功力。

课始阶段，他就引导学生利用单位化思想将整数和分数关联起来，架构起了一个基于单位“1”的数的体系。在教学进程中，他组织的学习任务具有综合性，学生在分数的多元表征间寻找关联、进行“互译”，学生仿佛拥有了一双观照分数的“复眼”，不仅摆脱了之前单向度认识分数的局限，还建构起了更全面、更立体、更具统领价值的分数的意义。数轴的运用是本节课里的一大亮点。借助数轴，学生不仅完成了对分数从无量纲性到有量纲性的跨越，还实现了整数、小数、分数在同一数学情境中的协同登场。这样的设计，使学生体验到整数、小数和分数之间既有相同之处，又有相异之妙。

关于本节课最后张老师引导学生结合数轴体会分数与小数的联系和区别这一环节，我很欣赏“让学生带着问题走出课堂”的做法，但对题目的设计和用意有不同的看法。

从教学实录看，在同一数轴上分别表示4个不同分母的分数和4个不同的小数，两者形成对比是要引导学生形成“分数看起来要更乱一些”的感受，再辅之以生活中“小数比分数更容易找到”的现象，以共同说明 “因为分数的分母各不相同，导致分数的单位各不相同，从而给我们的比较、计算、解决问题等带来巨大的麻烦”，最终引出“对分数进行了一些改造，并发明一种全新的数”，这就为后面引进百分数做了孕伏。

就题目的设计而言，教师选择4个不同分母的分数和4个一位小数来进行对比有些刻意，如果把4个不同分母的分数换作4个同分母分数，或者把 4 个一位小数换作 0.13、0.2、0.501、0.96，学生就很难得出“小数井然有序，分数看起来要更乱一些”的结论。就题目的用意而言，让学生借此体会“因为分数的分母各不相同，导致分数的单位各不相同，从而给我们的比较、计算、解决问题等带来巨大的麻烦”显得证据不足，较为牵强。这在一定程度上也偏离了本节课的主题——分数的意义。学了一节课的分数，本应该感受到分数更多的魅力和价值，到最后却留下个因为优胜劣汰已经“被边缘化”的印象，是不是有误导之嫌？

下面提供几种不同的处理方案，供老师们继续研究：

最后要说明的是，数学核心概念的教学是一个复杂的系统工程，需要一个螺旋上升、循序渐进、层层深入的长期过程。作为教师，我们面对的挑战还有很多，比如怎样筛选和确定数学核心概念，怎样帮助学生围绕数学核心概念建构、组织头脑中的知识，怎样加强对数学核心概念的深度理解和迁移应用，怎样为学生良好数学素养的养成打下坚实的基础。张齐华老师执教的“分数的意义”一课为我们做出了很好的引领，愿我们从中学到更多并继续前进，尽快掌握数学核心概念的教学要领。