反思在数学化教学中的应用

秦海慧

数学化，是指人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，以发现规律的过程。弗赖登塔尔首先提出把“数学化”作为数学教学的基本原则之一。作为教育任务的具体数学，数学化教学的课堂，其实就是让学生经历将实际问题抽象成数学模型的过程。在这一过程中，孩子像专家一样思考，经历知识的来龙去脉，尤其突出反思能力的培养，使反思成为一种生长的力量。

一、数学化教学需要与反思结伴而行

反思习惯只是数学习惯的一部分，为什么数学化教学对此情有独钟？究其原因，是数学化教学过程中的高度抽象特点决定的。

弗赖登塔尔把数学化分为两种类型，一种是“横向数学化”，即强调生活问题到数学模型，这一过程是建模的过程，如1个苹果加上1个苹果等于2个苹果，诸如此类的生活问题，都可以抽象地用算式1+1=2表示，形成一种数学的符号模型；另一种是“纵向数学化”，即强调数学符号到数学符号，这一过程是变模的过程，如根据乘法算式12×3=36，可以写出两道除法算式36÷3=12和36÷12=3，从乘法模型变化成除法模型。学习的过程是两种数学化交织的过程，抽象不离其中，困难与机遇并存。

进一步说，孩子浸润在两种类型的数学化过程中，如果不反思建模和变模的全过程，只是囫囵吞枣地接受一些精密的数学结果和事实，其过程必然是痛苦的，学习结果可想而知。所以，为了孩子的终生发展，数学化教学拒绝单向知识“传播”，着重引导经历知识发生的过程，从无到有，从粗糙到精细，从外显到内化。可以确定的是，没有反思在场，学习很难像呼吸一样自然。

二、反思促进数学化教学纵深推进

1.从无到有，反思知识的发生

数学本身就是最好的数学化例证。很多知识“为什么是这样的”，也就是说，知识发生的原因是什么，如果不能追根溯源弄明白，困扰就会纠缠左右。数学化教学着重引导孩子经历知识从无到有的过程，并从反思走向理解。

例如在《升的认识》一课中，先通过比较两只玻璃杯盛水量的多少，自然过渡到装水多的，其容量就大的事实，直观感知容量大和小的存在；接着再比较与两个容量比较接近的水壶的容量，通过“小包大，小的吃不下”和“大包小，大的有剩余空间”的视觉冲击，初步建立整体的、模糊的容量表象；然后将研究的视角聚焦到大水壶上，“这个水壶容量到底是多大呢？”借助大小两个不同的杯子，左边倒满5杯，右边倒满4杯，尽管没有剩余，但是到底选择哪个来代表水壶的容量呢？顺势引导反思：“如果再换不同的杯子，其结果又会怎样？”孩子在积极思考中发现，原来对于相同的水壺，如果用不同的标准去计量它的容量，其结果不统一，不方便交流，这样做也就没有现实意义。基于这样的情感积淀，自然过渡到“为了准确测量或计量容器的容量，要使用同一的单位。”最后，升的出场，认识和了解它变得水到渠成。

2. 从粗到细，反思知识的经过

教材呈现的知识，有些是过程性的，而有些只是结果。孩子的学习不能只有“告诉”，被动接受粗糙的知识，还应该有入木三分的精细解读。换句话说，就是怎样将静态的文本知识有序地转化为动态的问题，并引导孩子积极参与。

例如在《垂线和平行线》的第一课时，主要是引导孩子从已知的线段出发，线段向一端无限延长，得到的图形就是射线；而向两端无限延长，得到的图形就是直线，然后，再比较三种图形的相同点和不同点。显然，这样的课堂，是把距离当成事实性知识在传授，孩子被动接受的痕迹明显。当追问“为什么从这个点到另一点的线段就是两点之间的距离？”更多的是师者不明白，孩子更糊涂。其实，教师可以借助书中的主题图，通过三种不同颜色线的对比，引导孩子反思对比，“两点之间的连线还可以怎样画？能画多少条？要描述两点之间的长度，选择哪一条线比较合适？”通过小组讨论，逐步逼近数学定律的本质，原来在这些线中，两点之间线段的长度是确定的，而其他线的长度不确定，所以为了方便交流，“两点之间线段的长度是两点之间的距离”的规定，就自然被选择和确定下来。有了反思的过程，粗糙的数学事实变成了灵动的数学思考。

3.从外到内，反思知识的联系

知识也是有其自身的结构的，尤其是数学学科逻辑性较强，其结构特征更为明显。数学化教学强调知识之间紧密的联系，提倡将知识点嵌入整个知识链中，然后纵横交错成完整的知识体系。而建构完美的知识大厦，需要反思来助力。

例如在《多边形面积计算的复习》中，一般情况下，课堂从复习图形面积公式开始，注重公式的背诵和运用。而图形之间的联系，也只是参照书中的主题图，以学习的先后顺序，通过图形的变化来感知公式内在的联系。看似每个图形面积都复习了，由表及里细细分析，其实只是“炒冷饭”，思考没有深度，对图形面积的掌握，只会是费时却不达标。缺少了反思，知识之间恰似一盘散沙。可以引导思考“面积计算中最基本的图形是谁？”“未知的图形都转化成了已知的图形，转化的过程一样吗？”“为什么三角形和梯形的面积公式中要除以2，而平行四边形的公式却不需要？”“圆的面积转化又有什么有别于其他转化的地方？” 通过不同层次和不同角度的反思，有力地促进了孩子对转化本质的把握。◆（作者单位：江苏省如皋市外国语学校）

□责任编辑：潘中原