画数学,为学生提供可视化的思维路径

2017-05-15 15:10夏忠
教学与管理(小学版) 2017年4期
关键词:除数题意长方形

夏忠

数学的抽象性与小学生思维的直观形象性是数学学习的一大矛盾,是导致学生怕数学、学不好数学的主要原因。如何有效处理这一矛盾?实践证明,化抽象为直观,即把抽象的数学变成可视化的直观图,为学生的思维提供一个形象化的支撑,是一种行之有效的方法。教学中,笔者坚持引导学生把数学问题画出来,抽象问题直观教、复杂问题直观教,由浅入深、循序渐进,遵循学生的思维规律,课堂教学深得学生喜欢,教学效益事半功倍。

一、画算理,为学生提供可视化的思维路径

算理是计算的道理,是学生理解为什么这样计算的原理,是计算教学的重点和难点。以分数乘分数的计算来说,要让学生理解分子与分子相乘的积作分子,分母与分母相乘的积作分母,可借助长方形图,引导学生把算理画出来。比如, × ,先画一个长方形表示单位“1”,平均分成4份,取其中的3份,如图: ;再把其中的 平均分成2份,取1份,如图: ;最后引导学生观察直观图,把一个长方形平均分成8份,涂双层阴影的部分占3份,所以 × = 。借助直观的长方形图,为学生理解抽象的分子与分子相乘的积作分子,分母与分母相乘的积作分母,提供了可视化的思维过程,使数学算理变得看得见,摸得着,不仅难点得以突破,更增进了学生对数学的理解力和亲近感。

二、画推理,为学生提供可视化的思维路径

推理在数学中无处不在,许多概念、法则、公式、定律等都是经过归纳推理概括出来的。以平面图形的面积公式推导来说,它既是教学的重点,又是教学的难点,有经验的教师在引导学生通过动手操作,推导出面积公式后,不止步于此,而是让学生把推导过程画出来,并且边画边用自己的语言叙述推导过程。比如,圆面积的推导过程,学生是这样画的,如图1:

借助推导过程的直观图,学生是这样表述的:把圆转化成一个近似的长方形,长方形的长等于圆周长的一半,长方形的宽等于圆的半径,因为长方形的面积=长×宽,所以圆的面积=圆周长的一半×半径,用字母表示S=πr×r。从中我还发现,圆转化成长方形是等积变形,面积不变,但周长变了,长方形的周长比圆的周长多了两条宽,也就是两条半径。学生把圆面积的推导过程画出来,并且用自己的语言把这一过程描述出来,不仅进一步理解了圆的面积公式的由来,还从中发现了等积变形的两个图形,面积不变,而周长变了。一旦学生有了画推导过程的经验积累,当遇到“把一个圆沿半径剪开,拼成一个近似的长方形,长方形的长是12.56厘米,圆的面积是多少平方厘米?”或“把一个圆沿半径剪开,拼成一个近似的长方形,周长比原来多了6厘米,圆的面积是多少平方厘米?”这样的习题时,便能自如地还原圆面积的推导过程,再根据所给的条件,找到两种图形的对应关系,正确解答。

三、画意义,为学生提供可视化的思维路径

凡是意义,均是抽象的,以分数的意义来说,分数有量、率双重身份,对学生的学习来说,这始终是个难点。如何突破这个难点?经验丰富的教师是这样做的:在引导学生抽象出分数的意义后,再把它具体化、可视化。比如,用尽可能多的直观图来表示 的意义,学生的表示如下:

1.用一个图形表示的:

2.用一个计量单位表示的:

3.用一个整体表示的:

经常性地让学生把抽象的意义画出来,意义在学生的脑子里就不再是抽象的,而是直观的、鲜活的。当学生一见到分数 ,就不会看成是一个静止的分数,而是可以表示一个物体的 ,又可以表示一个整体的 ,还可以表示一个计量单位的 等; 既可以表示单位“1”的 ,又可以表示3的 。正是有了分数意义的多样化理解、表示,抽象的意义在学生的眼里,便不再是枯燥的、静止的,而是直观的、灵动的。

四、画题意,为学生提供可视化的思维路径

解决问题是小学教学教学的难点,难就难在对题意的理解、数量关系的分析上。因此,引导学生养成把题意画出来的习惯,可以有效突破这个难点。如被除数除以除数的商是3,余数是6,已知被除数、除数、商、余数的和是75。被除数、除数分别是多少?对于四年级的学生来说,这是一道相当有挑战性的问题,学生思维的障碍点是第一个条件“被除数除以除数的商是3,余数是6,”条件中没有出现含有倍的句子,不知从何入手画图。因此,理解题意的关键是引导学生把这个条件转化成“被除数是除数的3倍还多6”,再结合第二个条件,学生画图如下:

借助直观的线段图,学生不难分析出75-6-3-6的结果正好是4个除数,先求得除数,再求被除数。列式:75-6-3-6=60,1+3=4,60÷4=15,15×3+6=51,即被除数是51,除数是15。

把题意画出来,抽象的文字变成可感的直观图,为学生分析数量关系提供了观察对象,难题就不再难了。若缺少这一直观图,单从抽象的层面来分析,多数学生很难理解为什么75减去6还要再减去6,因为条件中只有一个6,另一个6是哪里來呢?笔者多次教学这道题,如果仅从抽象的层面来理解,学生对这个算式的难点始终都难以真正理解,而借助直观图,学生认知的难点便不攻自破。

把题意画出来,不仅能直观地看出数量之间的关系,还有利于学生变通解题思路、创新解题方法。如,一个长方形菜地长40米,宽是25米,现因扩建,长和宽同时增长5米。增加的面积是多少平方米?引导学生把题意画出来,如下图:

有了直观图的依托,学生很容易想到用大面积减去小面积等于相差面积的常规解法。列式:(40+5)×(25+5)-40×25=350(平方米)。如果教学就此结束,显然是不够的,习题的功能并没有得到充分开发。教师顺势借助直观图,抛给学生一个问题,转化学生的思维路径:同学们,这道题除了用大面积减去小面积的常规思路外,还可以怎样算增加部分的面积呢?是不是可以在增加的面积处分一分呢?一石激起千层浪,有的学生把增加部分的面积分成了甲、乙、丙三块,如下图:

列式:40×5+5×5+25×5=350(平方米)

有的学生把增加部分的面积分成了甲、乙两块,如下图:

列式:45×5+25×5=350(平方米);

40×5+30×5=350(平方米)。

还有的学生受直观图的启发,直接把分成的甲、乙两块拼成一个长方形,如下图:

列式:(45+25)×5=350(平方米)

把题意画出来,借助直观图为学生的思维打开了一条绿色通道。反之,若不借助直观图,有的学生就把增加部分面积直接算成5×5=25(平方米)。正是因为有了直观图的感知,避免了学生的直觉错误,用大面积减去小面积等于相差面积的常规思路才呼之欲出。同理,若没有借助直观图的分与拼,就没有学生思路的多样化,也正是借助直观图的分与拼,才有了学生把不规则图形转化为规则图形的多种解法。把题意画出来,题目中蕴含的转化思想才有了渗透的土壤,学生的思维才有了由繁到简的过程。因此,把题意画出来,是学生年龄特点的需要,是教师教学的需要,是解决复杂问题的需要,更是提高学生解决问题能力的需要。

总之,把数学画出来,化抽象为具体,有利于促进学生对所学知识的理解,有利于避免学生的直觉错误,有利于促进学生分析数量关系,有利于学生从不同的角度思考问题,突破常规,创新解法。把数学画出来,为学生提供可视化的思维过程,是让学生爱上数学的秘密武器,是让学生体会思考是快乐、数学是好玩的密码,是大面积提高教学质量的催发剂、润滑油。

参考文献

[1] 斯苗儿.小学数学课堂教学案例透视[M].北京:人民教育出版社,2003.

[2] 俞正强.种子课——一个数学特级教师的思与行[M].北京:教育科学出版社,2015.

[3] 吴正宪.吴正宪数学教学教例与教法[M].北京:人民日报出版社,1998.

[4] 钱阳辉,等.学会数学地思维——小学数学教学案例解读[M].南京:江苏教育出版社,2001.

[责任编辑:陈国庆]

猜你喜欢
除数题意长方形
“除数是整十数的笔算除法”的教学实践与反思
除法中的数学问题
小长方形找朋友
三角、数列基础训练A卷参考答案
巧替换,妙解答
一道课本习题的变式探究
寻找图形中的比
动手实践,寻找规律
商和除数可以交换位置吗
如何在除法估算中求近似数