特征标五元组的线性约化

郑慧娟

(山西大学 数学科学学院,太原 030006)

特征标五元组的线性约化

郑慧娟

(山西大学 数学科学学院,太原 030006)

研究了特征标五元组的线性约化的定义及性质, 推广了Loukaki和Dade关于线性极限的相关定理, 得出了一些特征标五元组相关性质, 为研究单项特征标和本原特征标提供了一种新的技术。

线性约化;不可约特征标;特征标五元组

0 引言

本文中所使用的符号和术语大多是标准的,可参考[1]。

设G为有限群,N◁G且ψ∈Irr(N),则称T=(G,N,ψ)为一个三元组。记Z(T)=Z(ψG),称为三元组的中心。Isaacs和 Dade在“稳定子极限[2]”概念提出后给出一系列相关结果[3-5],在研究M-群的猜想[6]时,Dade和Loukaki又提出了一种特殊的稳定子极限,即线性极限[7],并给出其一系列相关性质。实际上，早在2001年Lowkaki在研究M-群猜想过程中就得到了一个重要的结果[8]：

如果一个M-群G的阶|G|=paqb，其中p,q为两个奇素数，则G的每个正规3群仍为M群。

这其中已经提到并应用了线性极限的技术，把M-群猜想转化为何时T=(6，N，4)有幂零的线性极限，此后又发表文献[9]对该结果进行了特殊情况下的简化。同年Lewis在[10]中给出了重大简化。我们知道利用[7]中命题7.2和7.8知当三元组T线性不可约且N/Z(T)为幂零群时可得到一个特征标五元组(G,N,Z,ψ,ζ),其中Z=Z(T),ζ∈Irr(Z)是G-不变的线性特征标。在研究M-群的极大子群的本原特征标[11,12]时也可利用线性约化技术和特征标五元组性质得到简化。本文结合了特征标五元组性质对线性约化的相关定理进行推广,为研究单项特征标和本原特征标提供了新的技术。

我们知道对三元组T=(G,N,ψ)线性约化就是取A◁G,A≤N且α∈Irr(A)为ψ下方的一个线性特征标,应用Clifford定理得到T(α)=(G(α),N(α),ψα),其中G(α)为α在G中的惯性群,故N(α)=G(α)∩N为α在N中的惯性群,而ψα为ψ关于α的Clifford对应。对T=(G,N,ψ)重复线性约化过程可以得到一个三元组序列:

T=T0,T1,…,Tn=T′,

使得Ti为Ti-1,i=1,…,n的一个线性约化,则称T′为T的一个多重线性约化。线性极限就是重复约化过程得到“最小”的线性约化,“最小”表示线性不可约(其任意线性约化只能是其本身)。

我们类似地给出特征标五元组的线性约化的定义。

如果L≤K均为G的正规子群,且K/L为交换群,设φ∈Irr(L)是G-不变的,并且ε和φ关于K/L完全分歧,即εK=eφ和φL=eε,则称(G,K,L,ε,φ)为一个特征标五元组。给定一个特征标五元组C=(G,K,L,ε,φ),设A◁G,A≤L且令α∈Irr(A)是φ下方的一个线性特征标,则称C(α)=(G(α),K(α),L(α),εα,φα)为C的一个线性约化,其中K(α)=G(α)∩K,L(α)=G(α)∩L分别为α在K，L中的惯性群,而εα,φα分别为ε,φ关于α的Clifford对应。我们在本文定理A中将证明特征标五元组C的线性约化C(α)仍是特征标五元组。

如果对任意A,α满足条件

A◁G,A≤L,α∈Irr(A)在φ下方且α(1)=1,

总有C(α)=(G(α),K(α),L(α),εα,φα)=C, 则称C是线性不可约的。

假设C线性可约,记C0=C,C1=C(α),接着做C1的一个线性约化C2,重复该过程即得到一个线性约化序列C=C0,C1,…,Cn=C′,称C′为C的一个多重线性约化。若C′是C的多重线性约化且线性不可约, 则称C′是C的线性极限。

如果只从线性约化技术来考虑,特征标五元组C=(G,K,L,ε,φ)的线性约化可看作对三元组(G,L,φ)进行线性约化,设C′为C的一个多重线性约化,若L≤H≤G,θ∈Irr(H|φ),则存在唯一的θ′∈Irr(H′|φ′)可诱导到θ,我们仍称θ′是θ的T′-对应(可参见[13])。

定义特征标五元组C=(G,K,L,ε,φ)的中心Z(C)为Z(T),核Ker(C)为Ker(T),其中T=(G,L,φ)。这样,根据对三元组中心的刻画,我们知道Z(C)是包含在L中的G的极大的正规子群,使得ζ是φ下方的Z(C)的G-不变的线性特征标,而我们知道在特征标五元组中φ是G-不变的,故Z(C)=Z(φ),Ker(C)=Ker(φ)。

为便于叙述,在此重述特征标五元组相关定义及性质。给定一个特征标五元组C=(G,K,L,ε,φ),定义K/L上的一个二元复值函数〈x,y〉φ∈C×,对任意x,y∈K/L(在不引起混淆时可以省略下标φ),记E=K/L,Isaacs在[14]中证明了该二元函数满足下述条件:

(1) 双乘法性: 〈xy,z〉=〈x,z〉〈y,z〉及〈x,yz〉=〈x,y〉〈x,z〉,对任意x,y,z∈E;

(2) 交错性: 〈x,x〉=1, 任意x∈E;

(3) 非退化性: 若对任意y∈E都有〈x,y〉=1,则x=1。

且该二元函数是G-不变的,即〈xg,yg〉=〈x,y〉,对任意x,y∈E,g∈G,此时称E为一个辛G-模。

假设E′=K′/L′也为一个辛G-模,φ′∈Irr(L′),如果存在一个同构ϑ∶E→E′对任意u,v∈E有〈uϑ,vϑ〉φ′=〈u,v〉φ,则称ϑ为一个从(E,〈-,-〉φ)到(E′,〈-,-〉φ′)的等距同构,也称E与E′是等距的。

以下为本文的主要定理:

(1) 多重线性约化C′=(G′,K′,L′,ε′,φ′)仍是特征标五元组。

(3) 若C=(G,K,L,ε,φ)是互素或可控的特征标五元组,则其多重线性约化C′=(G′,K′,L′,ε′,φ′)也为互素或可控的特征标五元组。

由于Ψ是逐点定义的,故ΨG′∈Char(G′)有意义,从该定理中可以看出magic特征标是特征标五元组的约化过程中的一个不变量。

设L◁G,χ∈Irr(G),如果存在子群N满足L≤N≤G且ψ∈Irr(N)使得ψG=χ,ψL∈Irr(L),则称χ是关于L的相对M-特征标。如果不存在子群J满足L≤J≤G且δ∈Irr(J|φ)使得δG=χ,其中φ∈Irr(L),我们称χ是关于L的相对本原特征标。

下面我们给出一个简单的推论。

据介绍，印度是一个美丽神奇的国度，中印两国具有密切的地缘关系和丰富的人口资源。作为发展中大国，两国经济持续快速发展，人民生活水平不断提高，中印两国迎来了旅游业发展的黄金时期。印度已经成为中国重要的新兴客源市场，中国也是印度增长潜力最大的客源市场之一，两国旅游市场发展前景广阔。

推论B 设特征标五元组C′=(G′,K′,L′,ε′,φ′)是C=(G,K,L,ε,φ)的多重线性约化,若χ∈Irr(G|φ)是关于L的相对M-特征标,则χ的T′-对应χ′是关于L′的相对M-特征标;若χ∈Irr(G|φ)是关于L的相对本原特征标,则χ′是关于L′的相对本原特征标。

在约化过程中还发现一个重要的不变量:a(χ)。Lewis在[12]中给出了a(χ)的定义,它是诱导χ的子群的不可约特征标的最小次数。方便起见,我们称其为χ的Lewis次数。关于Lewis次数,我们看两个极端情形:

当a(χ)=1,则χ为单项特征标;

当a(χ)=χ(1),则χ为本原特征标。

定理C 设特征标五元组C′=(G′,K′,L′,ε′,φ′)是C=(G,K,L,ε,φ)的多重线性约化,且假设χ∈Irr(G|φ),χ′是χ的T′-对应,则a(χ)=a(χ′)。特别地,χ是单项特征标当且仅当χ′是单项特征标。

1 主要定理的证明

为便于叙述,下文中Lin(A)表示A的线性特征标集合,Lin(φ|A)表示φ下方A的线性特征标集合。

由于Z(φ)是包含在L中的G的极大的正规子群,使得ζ是Z(φ)的φ下方的G-不变的线性特征标,则对任意A,α满足条件

A◁G,A≤L,α∈Lin(φ|A),且α是G-不变的,

有A≤Z(φ)且α是ζ在A的限制,容易得到φA=φ(1)α,因此可取A≥Z(C)对特征标五元组C进行线性约化,得到C(α)=(G(α),K(α),L(α),εα,φα),可以看出

Z(φ)=Z((φα)L)≤Z(φα),Ker(φ)=Ker((φα)L)≤Ker(φα)。

以下证明定理A。

定理A的证明 由多重线性约化的定义,我们只需对线性约化进行证明即可。

由于φ是G-不变的,则α的G-轨道就是α的L-轨道, 即L传递作用在α的G-轨道, 由Frattini引理知G=G(α)L,则容易看出G/L同构于G(α)/L(α)。

(1) 验证C(α)=(G(α),K(α),L(α),εα,φα)是特征标五元组。

(2) 显然H(α)∩K(α)=H∩K∩G(α)=L(α)。观察LH(α)K(α)=HK=G,由此可得

即H(α)是C(α)=(G(α),K(α),L(α),εα,φα)的补子群。

下验证(χα)H(α)=ΨH(α)θα。

(3) 由于G=G(α)L,则当C=(G,K,L,ε,φ)是互素的特征标五元组,结论显然。当C=(G,K,L,ε,φ)是可控的特征标五元组,设K≤M◁G且(|M∶K|,|K∶L|)=1,令Q=M∩H,实际上只需证明若有CK/L(Q)=1则有CK(α)/L(α)(Q(α))=1,其中Q(α)=G(α)∩Q。由于Q=Q(α)L且K/L交换,则CK/L(Q(α))=1。同(2),构造同构映射可得到CK(α)/L(α)(Q(α))=1,结论成立。

特别地,特征标五元组C的线性极限也是特征标五元组。

从线性约化角度考虑来看,特征标五元组C=(G,K,L,ε,φ)的线性约化相当于对三元组(G,L,φ)进行线性约化,故可给出特征标五元组等价的定义,并且得到特征标五元组的线性极限是等价的(参见[7]中的定理6.4)。

设L′≤J′≤G′,δ′∈Irr(J′|φ′)使得δ′G′=χ′,由于χ′G=χ,故δ′G=χ。令J=J′L,取δ∈Irr(J|φ),则δ′J=δ,从而δG=χ,这与假设矛盾,故χ′是关于L′的本原特征标。

接下来证明定理C,在证明之前,我们先给出一个引理。

引理1.1 设H≤G,θG=χ,其中χ∈Irr(G),θ∈Irr(H),且θ本原。如果存在A◁G,且α∈Lin(A)在χ下方,则存在H′使得A≤H′≤G且θ′∈Irr(H′|α)满足(θ′)G=χ,θ′(1)=θ(1)。特别地,当θ(1)=a(χ)时,θ′也本原。

证明 不妨设A≤/H。令G1=AH,A∩H=B,令χ1=ϑG1∈Irr(G1).

由A◁G,则B◁H,而θ本原,则可令β∈Irr(B)是θ下方唯一的不可约特征标。由Clifford定理可令(χ1)A=f(α1+α2+…+αt),其中f≥1,可以看出存在1≤i≤t使αi在β上方。注意到αi在χ下方,而α也在χ下方,则αi与α是G-共轭的。由于α线性,则αi线性,从而β也线性,即可得(αi)B=β。不妨设αB=β,则[αB,β]=1=[α,βA],由Mackey定理知(θG1)A=(θB)A,从而f=θ(1),βA=α1+α2+…+αt。注意到αi都是β的扩张,由此也可看出βA(1)=tα(1)=t,我们还知道βA(1)=|A∶B|β(1)=|A∶B|, 从而得到|A∶B|=t。

令H′=G1(α),且设θ′是χ1的α-Clifford对应,则(θ′)G1=χ1,从而(θ′)G=χ。

注意到|G1∶H′|=t=|A∶B|=|G1∶H|,则θ(1)=θ′(1)。

若θ(1)=a(χ),则θ′(1)=a(χ)。若θ′非本原,则a(χ)<θ′(1),与假设矛盾。

定理C的证明 令A,α满足A◁G,A≤L,α∈Lin(φ|A),只需证a(χ)=a(χα),即要说明此时Clifford对应保持Lewis次数。

取H≤G,令θ∈Irr(H)有θG=χ,且θ(1)=a(χ)。显然,θ本原。由引理1.1,不妨设A≤H≤G,且θ在α上方。因为θ本原,所以H≤G(α)。设θG(α)=γ,由Clifford对应可以得到γ=χα,即χα是χ的α-Clifford对应,因此θ(1)≥a(χα)。这样可得到a(χ)=θ(1)≥a(χα)≥a(χ),从而得到a(χ)=a(χα)。

当χ是单项特征标,则a(χ)=1,从而a(χα)=1,即χα是单项特征标。反过来,当χα是单项特征标,χ也是单项特征标。

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Linear Reductions of Character Fives

ZHENG Huijuan

(School of Mathematical Sciences,Shanxi University,Taiyuan 030006,China)

We mainly study linear reductions of character fives and gives some properties of linear reductions of character fives, which generalizes the theorems about linear limits due to Dade and Loukaki. Furthermore, it provides a kind of new technology for the study of monomial characters and primitive characters.

linear reduction;irreducible character;character five

10.13451/j.cnki.shanxi.univ(nat.sci.).2017.02.002

2016-08-30；

2016-12-22

国家自然科学基金(11671238)

郑慧娟 (1987-),女,博士研究生,研究方向为有限群表示论,E-mail:zhenghj-@hotmail.com

O152

A

0253-2395(2017)02-0216-05