积分计算的教学设计

◎杨 林 赵 绚

( 1.运城职业技术学院基础部，山西 运城 044000;2.运城师范高等专科学校数计系，山西 运城 044000)

积分计算的教学设计

◎杨 林1赵 绚2

( 1.运城职业技术学院基础部，山西 运城 044000;2.运城师范高等专科学校数计系，山西 运城 044000)

本文坚持“以应用为目的，以必需、够用为度”的原则，从目前高职学生的实际基础和实际需要出发，在内容的取舍和阐述方法上做了大胆的探索.

分层；分类；底层必选；中层限选

在分层、分类、分专业高职数学改革的思想指导，本文以高等数学中定积分的换元法为例，简单介绍下改革的思想(底层必选部分).

一、定积分的计算方法

我们回顾教材中介绍定积分的计算方法，教材分别从定积分的概念、意义、N-L公式来引入计算.

1.依据定义构造出一个特殊的和式极限来求定积分，虽和式的极限形式好看，但好看并不好用，也就是求积分结果是件困难的事情，而当被积函数在给定闭区间上为可积函数时，可以用特殊的分法，及ξi特殊的取法，来求和式的极限，对于简单的被积函数，如，f(x)=x或f(x)=x2等函数，能求出积分结果，但并非简单.

3.根据牛顿-莱布尼茨公式，先求出被积函数的一个原函数，再求原函数在上、下限处函数值之差，这是简便有效的方法，具有普遍适用性.因此，它是计算定积分的基本方法，学习者应该掌握.

【反思与启迪】不定积分已经解决了如何求全体原函数的问题(注意并非全然解决)，当然能求出一个原函数，因此，可以利用第三种方法求出相应的定积分.

二、问题驱动

【问题驱动】中国人的收入正在逐年提高，据统计，深圳2002年的人均收入为21 914元人民币，假设这一人均收入以速度v(t)=600(1.05)t元/年增长，这里t是从2003年开始算起的年数，估算2009年深圳的年人均收入是多少？

比较两种方法，虽求得结果相同，但后者无须回代还原不定积分变量x，过程较前者简化.需注意：

(1)引入新变量x=φ(t)必须单调；

(2)使t在区间[0，2]内变化，x在[0，4]内变化，且当x=0时，t=0，当x=4时，t=2，即0=φ(0)，4=φ(2)；

(3)换新变量时，必须改变积分上下限，简称换元必换限.

严格地,有关定积分的换元积分法定理如下：

定理 (1)f(x)在区间[a，b]上连续；

(2)x=φ(t)在区间[α，β](或[β，α])上单调，且φ′(t)也连续；

(3)t∈[α，β](或[β，α])，x∈[a，b]且a=φ(α)，b=φ(β).

我们可以做以下几点反思：

(1)换元积分法公式使用必须满足题目的所有条件，否则使用会导致错误.

(3)换限前下限要小于上限，换后也可能下限大于上限.

(4)定积分换元积公式与不定积分换元积分公式是平行的，即：

(5)换元必换限，凑元不换限.

【问题驱动回归】分析 这是由已知增长均函数求总量均函数的问题，是经济学中的收入预测问题.

解 因为深圳年人均收入以速度v(t)=600(1.05)t元/年增长，由变化率求总改变量的方法，这7年间年人均收入的总变化为

≈5006.3元.

所以，2009年深圳的人均收入为21 914+5 006.3=26 920.3元.

本文是按照高职数学改革的总体思路设计的，在分层、分类、分专业高职数学改革的思想指导下，在知识层面上采取底层必选(高数必备知识)、中层限选(按专业方向限选)、高层自选(按学生发展方向)的方式进行组织教学.主要是满足底层必选的“应用数学”部分，也有可供选择的部分，并结合应用向导及上机操作完成课堂内容.

[1]杨林，赵绚.复合函数知识的设计[J].科学中国人，2016(6)：352.

[2]高建.提高“微积分”课堂教学质量的几点思考[J].中国大学教育，2008(1)：35-37.