二项式定理常见题型及解法

■陕西省武功县教育局教研室 李 歆(特级教师)

二项式定理常见题型及解法

■陕西省武功县教育局教研室 李 歆(特级教师)

二项式定理是高中数学的一个重要定理,在历年的高考试题中,常以选择题和填空题的形式出现,主要求解二项式的展开式中项的系数、常数项、有理项、最大项等问题。而它的通项公式则是求解这类问题最基本的工具,下面给出几种常见题型及其解法。

一、求项的系数

A.16 B.70 C.560 D.1120

点评:在二项式的展开式中,“项的系数”与“项的二项式系数”是两个截然不同的概念,如(x+6)6的展开式的第4项的系数是·63=4320,而第4项的二项式系数却是=20。

二、求常数项

解:由Tr+1=(2x)6-r(-1)rx6-2r·26-2r,令6-2r=0,得r=3。则常数项是(-1)3=-20,故答案为-20。

三、求有理项

点评:此题容易出错的地方是将有理项当成了有理项的系数。

四、求系数和

(x-y)10的展开式中,x7y3与x3y7的系数之和等于____。

解:Tr+1=x10-r(-y)r=(-1)r· x10-ryr。令10-r=7,得r=3,所以x7y3的系数是(-1)3=-120。又令10-r=3,得r=7,所以x3y7的系数是(-1)7= -120。所以x7y3与x3y7的系数之和等于-240,故答案为-240。

点评:此类问题常用“待定系数法”求解,其中为r待定的数。

五、求最大项

当r=0,1,2,…,12时,ar+1ar+2,所以a1a15,由此可知第14项的系数最大。

T14=a14x13=513x13=C(5x)13,故答案为A。

点评:此题是二项式定理与函数、数列知识的交汇题,其中渗透了求数列最大、最小项的常用的单调性法,即通过作差比较相邻两项ar+1,ar+2的大小,得到数列{ar+1}的单调性,从而确定最大、最小项。

六、求特殊项的值

若(1-2x)2017=a0+a1x+a2x2+…+a2017x2017(x∈R),则的值为( )。

A.2 B.0 C.-1 D.-2

点评:此题看上去很复杂,但将条件式与问题式进行对比,容易想到用赋值法求解。

七、含有三项问题

(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数是( )。

A.10 B.20 C.30 D.60

解:由题意知,可将三项式(x2+x+y)5的展开式看成为二项式[(x2+x)+y]5的展开式,则由Tr+1=Cr5(x2+x)5-ryr知,x5y2项应在T2+1=C25(x2+x)3y2=C25(x+ 1)3x3y2的展开式中。

因此所求问题转化为求C25(x+1)3的展开式中x2的系数。

因为C25(x+1)3的展开式的通项公式为Tk+1=C25·Ck3x3-k,令3-k=2,得k=1,所以C25(x+1)3的展开式中x2的系数是C25· C13=30,即x5y2的系数是30,故答案为C。

点评:含有三项的展开式问题可采用转化思想,三项化两项的方法进行解决,但并项后需要二次展开,这里要特别注意两次展开后各项系数的正确计算,不可出错。

八、两个二项式相乘问题

A.-40 B.-20 C.20 D.40

解:令x=1,由题意得(1+a)(2-1)5= 2,解得a=1。

由此可知,要求该展开式的常数项,只需求(2x2-1)5的展开式中x4和x6的系数。

已知Tr+1=Cr5(2x2)5-r(-1)r=(-1)r· 25-rCr5x10-2r。

令10-2r=4,得r=3,所以(2x2-1)5的展开式中x4的系数是C35(-1)3·25-3= -40;令10-2r=6,得r=2,所以(2x2-1)5的展开式中x6的系数是C25(-1)2·25-2=80。

所以该展开式的常数项是-40+80= 40,故答案为D。

练一练:

2.(x-y)(x+y)8的展开式中,x2y7的系数是____。(用数字作答)

参考答案:1.8 2.-20 3.20

(责任编辑 徐利杰)