半线性Emden-Fowler微分方程的振动性

李文娟, 汤获,李书海, 俞元洪

(1.赤峰学院数学与统计学院,内蒙古 赤峰 024000;2.中国科学院数学与系统科学研究院,北京 100190)

半线性Emden-Fowler微分方程的振动性

李文娟1, 汤获1,李书海1, 俞元洪2

(1.赤峰学院数学与统计学院,内蒙古 赤峰 024000;2.中国科学院数学与系统科学研究院,北京 100190)

主要研究了一类半线性Emden-Fowler微分方程的振动性.利用广义Riccati变换和积分平均技巧建立新的振动准则,推广和改进了一些文献中的结果.此外,给出每个定理所相对应的例子,用来说明其相对于已有文献中的定理具有一定的优越性.

Emden-Fowler方程;半线性微分方程;振动性

1 引言

Emden-Fowler方程在核物理、神经网络等方面都有着重要的应用并出现了大量的研究成果,参见文献[1-15].近年来,半线性Emden-Fowler型时滞微分方程以其多样的形式及其广泛的应用受到很大的关注.如文献[1]研究了半线性Emden-Fowler微分方程:

文献[2]考虑了Emden-Fowler型泛函微分方程:

其中 λ>0是常数,r,p,q,g∈C([t0,∞),R+),r(t)>0,g(t)≤t,g′(t)≥0和

本文主要考虑半线性Emden-Fowler型微分方程:

其中α和β是常数,且在本文中总假设:

注意到,当方程(3)中p(t)=0和α=β时,方程(3)即为方程(1).当方程(3)中α=1时,方程(3)即为Emden-Fowler方程.方程(1)和(2)已得到很好的研究.本文目的是考虑形式更为广泛的方程(3).利用适当的Riccati变化和积分均值技巧得到方程(3)的解的振动准则,所得结果将推广和改进已有文献的结果.

设 Tx=σ(t1),t1≥t0,如果函数

使得

且在[Tx,∞)上满足方程(3),则称x(t)为方程(3)的一个解.本文仅考虑方程(3)的平凡解,即对一切T≥Tx,有sup{|x(t)|:t≥T}>0.如果方程 (3)的解有任意大的零点,则称它为振动的.否则,称它为非振动的.方程(3)的一切解均振动,则称方程(3)为振动的.注意到如果x(t)是方程(3)的一个解,则y(t)=−x(t)也是方程(3)的一个解.因此,在考虑方程(3)的解的振动性时,只需考虑其最终正解.

令

用 φ(t)乘以方程(3)的两端,则(3)式变为

令R(t)=φ(t)r(t),Q(t)=φ(t)q(t),由上式可得

下面分两种情况讨论方程(3)的解的振动性,即

2 主要结果及证明

为证明定理,需要下面的引理.

引理 2.1设x(t)是方程(3)的最终正解且条件(4)成立,则x′(t)>0.

证明因为 x(t)是方程 (3)在 [t0,∞)上的最终正解,则存在 T≥t0使得当 t≥T时有 x(t)>0,x(σ(t))>0.由方程 (3),得到

因此 φ(t)r(t)|x′(t)|α−1x′(t) 是非增函数且 x′(t) 的符号仅有两种可能. 我们断言 x′(t)>0

当 t≥T时.否则,假设x′(t)<0当t≥T时,由(6)式知,存在常数h,使得

即

从T到t积分上式,得

上式中令t→∞,由条件(4)得x(t)→−∞.此式与题设x(t)>0矛盾,故假设不成立.

引理 2.2设x(t)是方程(3)的最终正解且条件(4)成立,令

证明因为x(t)是方程(3)在[t0,∞)上的最终正解,则存在 T≥t0使得当t≥T时,有 x(t)>0,x(σ(t))>0.由引理 2.1知 x′(t)>0.方程 (3)变为等价方程

由方程(9)和W(t)的定义,可知

当α≤β时,由方程 (9)知 R(t)(x′(t))α为减函数,即

综上,有

其中 m=min{mα,1,mβ},λ=min{α,β}.

定理 2.1设(H1)-(H3)和条件(4)成立,存在函数ρ(t)∈C1([t0,∞),R+)使得条件

则方程(3)振动.

证明设 x(t)是方程 (3)的非振动解.不失一般性,设 x(t)为 [t0,∞)上的最终正解(x(t)<0的情况类似的分析成立),则由引理2.2,有

(14)式两边同时乘以ρ(t)并从T到t积分,可得

上式与条件(13)矛盾,故x(t)是方程(3)的振动解.

推论 2.1当α=β时,方程(3)可化为半线性微分方程

此时,方程的振动条件(13)变为:

注 2.1文献[1]中的定理2.1和定理3.1是推论2.1的特例.推论2.1推广并改进了文献[12]中的定理2.1和定理2.4.

推论 2.2当α=1时,方程(3)可化为Emden-Fowler型中立时滞微分方程:

故振动条件(13)可变为:

注 2.2推论 2.2推广并改进了文献 [2]中的定理 2.1.文献 [2]中的定理 2.1仅得到当α=1和β>1时方程的解振动准则,而得到对任意α>0和β>0时方程的解振动准则.

推论 2.3

方程(9)是方程(3)的特例.如取ρ(t)=1,则振动条件(13)可化为

注 2.3推论2.3推广了著名的Leighton振动准则.

例2.1考虑下面的二阶时滞微分方程

上述方程是文献[2]中的例2.4.利用文献[2]中的定理2.1可得,对一切λ>1,方程的每一解振动或满足x(t)→0(t→∞).但是,利用推论2.3易知,对一切λ>0,方程的每一解振动.

定理 2.2设(H1)-(H3)和条件(4)成立,如果

则方程(3)振动.

证明设 x(t)是方程 (3)的非振动解.不失一般性,设 x(t)为 [t0,∞)上的最终正解(x(t)<0的情况类似的分析成立).由引理2.2,有

成立.

证明设 x(t)是方程 (3)的非振动解.不失一般性,设 x(t)为 [t0,∞)上的最终正解 (x(t)<0的情况类似的分析成立),则存在 T≥t0,使得当 t≥T时,有 x(t)>0和 x(σ(t))>0.x′(t)最终保号且仅有两种可能.

情形 1设当t足够大时x′(t)>0.方程(3)变为等价方程

又回到定理1的情况.由定理1的证明得出矛盾,知方程(3)在[t0,∞)上无最终正解.

情形 2设当t足够大时x′(t)<0.方程(3)变为等价方程

因为 x(t)≤ x(σ(t)),则

引理 2.4设x(t)是方程(3)的最终正解且(13)成立,则存在常数l使得

证明由方程 (27) 知,(R(t)(−x′(t))α)′≥ 0,故可得

证明设 x(t)是方程 (3)的非振动解.不失一般性,设 x(t)为 [t0,∞)上的最终正解(x(t)<0的情况类似的分析成立),则由题设和引理2.3,可知

由于(39)式与条件(36)矛盾,故方程(3)振动.

例2.3考虑下面的二阶时滞微分方程

注意到,若取ρ(t)=1,则由定理2.3得,当α≥β>0时,方程的每一解振动.

[1]Sun Y G,Meng F W.Note on the paper of Dˇzurina and Stavroulakis[J].Appl.Math.Comput.,2006,174:1634-1641.

[2]Bohner M,Saker S H.Oscillation of damped second order nonlinear delay di ff erential equation of Emden-Fowler type[J].Adv.Dyn.Sys.Appl.,2006,1(2):163-182.

[3]Liu H D,Meng F W,Liu P C.Oscillation and asymptotic analysis on a new generalized Emden-Fowler equation[J].Appl.Math.Comput.,2012,219:2739-2748.

[4]Erbe L,Hassan T S,Peterson A.Oscillation of second order neutral delay di ff erential equations[J].Adv.Dyn.Sys.Appl.,2008,3(1):53-71.

[5]Waltman P.A note on an oscillation criterion for an equation with a functional argument[J].Canad.Math.Bull.,1968,11:593-595.

[6]Takasi K,Yoshida N.Nonoscillation theorems for a class of quasiliear di ff erential equations of second order[J].J.Math.Anal.Appl.,1995,189:115-127.

[7]Xu R,Meng F W.Some new oscillation criteria for second order quasi-linear neutral delay di ff erential equations[J].Appl.Math.Comput.,2006,182:797-803.

[8]Ye L H,Xu Z T.Oscillation criteria for second order quasilinear neutral delay di ff erential equations[J].Appl.Math.Comput.,2009,207:388-396.

[9]Li T X,Han Z L,Zhang C H.On the oscillation of second-order Emden-Fowler neutral di ff erential equations[J].J.Appl.Math.Comput.,2011,37:601-610.

[10]Xu R,Meng F W.Oscillatia criterion for second order quasi-linear neutral delay di ff erential equations[J].Appl.Math.Comput.,2007,192:211-222.

[11]Han Z,Li T,Sun S,Chen W.On the oscillation of second-order neutral delay di ff erential equations[J].Adv.Di ff er.Equ.,2010,2010:1-8.

[13]林全文,俞元洪.三阶半线性时滞微分方程的振动性和渐近性[J].系统科学与数学,2015,35(2):233-244.

[14]Grace S R,Lalli B S.Asymptotic and oscillatory behavior of solutions of a class of second order di ff erential equations with deviating arguments[J].J.Math.Anal.Appl.,1990,145:112-136.

[15]Hardy G H,Littlewood J E,Polya G.Inequalities[M].2nd ed.Cambridge:Cambridge University Press,1952.

Oscillation of the half-linear Emden-Fowler di ff erential equation

Li Wenjuan1,Tang Huo1,Li Shuhai1,Yu Yuanhong2
(1.School of Mathematics and Statistics,Chifeng University,Chifeng 024000,China;2.Academy of Mathematics System Sciences,Chinese Academy of Sciences,Beijing 100190,China)

In this paper,we study the oscillation of a half-linear Emden-Fowler di ff erential equation With the help of the generalized Riccati transformation and integral averaging technique,we establish some new oscillation criteria for the above equation.These results extend and improve some existing results in the cited literature.Also,our results are illustrated with some examples.It is shown that the theorem has some advantages over the existing literature.

Emden-Fowler equation,half-linear di ff erential equations,oscillation

O175.27

A

1008-5513(2017)03-0274-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.007

2017-03-10.

国家自然科学基金(11561001);内蒙古自然科学基金(2014MS0101).

李文娟(1981-),硕士,讲师,研究方向：稳定性理论及应用.

2010 MSC:34C10,34C15