伪补对称扩张Ockham代数

张雄盛,方捷

(广东技术师范学院数学与系统科学学院,广东 广州 510665)

伪补对称扩张Ockham代数

张雄盛,方捷

(广东技术师范学院数学与系统科学学院,广东 广州 510665)

研究peO代数类中的子类pe2,0K1,1，即满足恒等式 f3=f和 k2=idL的peO-代数.利用同余和代数的次直不可约,有如下的主要结果:如果L∈pe2,0K1,1,则L是真次直不可约当且仅当Con L≃{ω}⊕[G,Φ]⊕{ι}.这里 ω和 ι分别表示相等关系和泛关系,Φ表示由f(x)=f(y)确定的一个同余,G表示Glivenko同余.

p-代数;Ockham代数;扩张Ockham代数

1 引言

一个p-代数（或称伪补代数）是指一个具有最小元0的格L且赋予映射∗:L→L使得对任意 x∈L存在 x∗=max{y∈L|x∧y=0};等价地,x∧y=0⇔ y 6 x∗.一个 Ockham代数是一个有界分配格L并赋予对偶自同态f:L→L.在Ockham代数(L;f)中,K1,1-代数是它的一个重要的子类,其中f满足条件:f3=f.有关p-代数和Ockham代数的基本性质,见文献[1-2].

在文献 [3]中,作者介绍了 pO-代数.确切地来说,一个 pO-代数是代数 (L;f,∗),其中 (L;f)是 Ockham代数,(L;∗)是p-代数.同时,一元运算f和∗可相互交换.随后在2008年,文献[4]研究了扩张Ockham代数簇eO;即代数(L;f,k),其中L是有界分配格,f和k是 L的两个一元运算,使得 (L;f)是一个 Ockham代数,k是 (L;f)上的自同态.特别地,当k2=idL时,这样的代数(L;f,k)称之为对称扩张Ockham代数.他们在该文中特别刻画了对称扩张Ockham代数类中的一个子类e2,0M,即称为对称扩张de Morgan代数(L;f,k)的次直不可约性.这里的一元运算f和k满足条件:f2=idL和k2=idL.有关这些代数类的基本性质,见文献[2-4]或文献[6-8].

本文将考虑包含对称扩张Ockham代数和p-代数的一个代数类.定义如下:

一个伪补对称扩张K1,1代数,是指代数(L;f,k,∗).其中L是有界分配格,f,k和∗是L上的三个一元运算并且满足如下条件:

(1)(L;f,k)是一个扩张Ockham代数;

(2)(L;∗)是一个p-代数;

(3)f3=f且k2=idL;

(4)f,k和∗可相互交换.

我们将用pe2,0K1,1表示伪补对称扩张K1,1-代数类.

例 1.1[4]每个有限布尔格 (B;∧,∨,′,0,1)都可以被看作一个 pe2,0K1,1-代数.实际上,令A={a0,a1,···,an}为B的所有原子组成的集合,而且定义映射f:B→B使得

和映射k:B→B使得对于x∈B有k(x)=[f(x)]′.于是,如文献[4]例1.4所示,f2=idB和k2=idB.从而知,(L;f,k)是对称扩张de Morgan代数.显然,

例 1.2考虑下面所给出的代数L如图1,表1所示:

表1 代数L

图1 代数L

2 同余的性质

设(E;6)是一个有序集,a,b∈E.如果a?b同时b?a,则称a和b不可比较;否则称为可比较.我们将用a∥b表示a和b不可比较,用a∦b表示a和b可比较.

下面是文中所需要的引理:

引理 2.1(见文献[4,6]) 如果(L;f,k)是一个对称扩张Ockham代数,则

(1)(∀x∈L)x=k(x)或x∥k(x);

(2)对于x,y∈L并且x6y,如果x∧k(x)=y∧k(y)同时x∨k(x)=y∨k(y),则x=y.

引理 2.2(见文献 [2]) 如果 (L;∗)是一个p-代数,则

定理 2.1如果L∈pe2,0K1,1,则下面论断成立:

证明(1)如果 x ∈ L 则 x 6 x∗∗,所以 f(x)>f(x∗∗)=[f(x)]∗∗>f(x),由此可得 f(x∗∗)=f(x).

(2)令x∈L,由(1)可得

由此推知,(f(L);∗)是布尔代数.类似地,(fk(L);∗)也是布尔代数.

为了术语上的便利,将 f(x)记为 x◦,k(x)记为 x+并且将 pe2,0K1,1-代数 (L;f,k,∗)记为 (L;◦,+,∗).同样,将 f(L)记为 L◦={x◦|x∈L}和 fk(L)记为 L◦+={x◦+|x∈ L}.

pe2,0K1,1-代数(L;◦,+,∗)上的一个同余,是指一个格同余 ϑ使得

设 (L;◦,+,∗)是一个 pe2,0K1,1-代数.用 ConL表示 L的同余格;用 ConlatL表示格 L的格同余格.用符号 ω和 ι分别表示 L的相等关系和泛关系.正如文献 [1,6]所见,Glivenko同余 G,给出由 (x,y)∈ G ⇔ x∗=y∗,是 p-代数 (L;∗)的一个同余.同时,由(x,y)∈Φ⇔f(x)=f(y)给出的关系Φ是K1,1-代数的一个同余.我们有如下的定理:

定理 2.2设 (L;◦,+,∗)∈pe2,0K1,1.则 G 和 Φ 都是 L的同余并且 G 6 Φ.

证明如文献 [6],G是一个 ∗-同余.为证 G也是一个 (◦,+)-同余,令 (x,y)∈G则有 x∗=y∗.故有

从而推知

因此,G是(◦,+)-同余,从而它是L的一个同余.类似可证,Φ也是L的同余.

最后,设 (x,y)∈G.则 x∗=y∗.由定理 2.1,有

因此,(x,y)∈Φ.从而得到 G 6 Φ.

定理 2.3设 (L;◦,+,∗)∈pe2,0K1,1.则下列论断成立:

(1)G=ω⇔ (L;∗)是布尔代数;

(2)Φ = ω ⇔ (∀x ∈ L)x∗∗=x◦◦=x;

(3)Φ =G ⇔ (∀x ∈ L)x∗∗=x◦◦.

证明(1)如果 G=ω,则对任意 x∈L,有 (x∨x∗,1)∈G=ω.于是得 x∨x∗=1.因此(L;∗)是布尔代数.反过来显然成立.

(2)如果 Φ= ω,则由定理 2.2知,G=ω.因此由 (1),对任意 x∈L,有 x∗∗=x.由于 (x,x◦◦)∈Φ=ω,于是有x◦◦=x.故结论成立.反过来显然成立.

(3)如果 Φ=G,则对 x∈L,由于 (x,x◦◦)∈ Φ=G,因此有

故由定理2.1(1)知,

反之,对于任意x∈L,如果

则

现若 (x,y)∈ Φ 则 x◦=y◦,由此推知

故(x,y)∈G.从而有Φ 6 G.因此由定理2.2推知,Φ=G.

给定a,b∈L并且a 6 b,用θ(a,b)表示关于a和b的主同余;即由a和b生成的(L;◦,+,∗)上的最小同余;用θlat(a,b)表示相应地格L上的主格同余;用θ∗(a,b)表示(L;∗)的主∗-同余;用 θ◦(a,b)表示 (L;◦)的主 ◦-同余.正如文献 [1,6]中所述,有

下面给出pe2,0K1,1-代数的主同余表示:

定理 2.4若 (L;◦,+,∗)∈pe2,0K1,1及 a,b∈L 并且 a 6 b,则

证明令 φ(a,b)为 (†)中右边的第一个等式.显然有 φ(a,b)6 θ(a,b).如文献 [6]的 41页 (3)和定理 5.9 中所见,θ◦(a,b)∨ θ◦(a+,b+)是 (◦,+)-同余,θ∗(a,b)和 θ∗(a+,b+)是 ∗-同余.因此为证 φ(a,b)是一个同余,只需证明 θ◦(a,b)∨θ◦(a+,b+)是 ∗-同余同时 θ∗(a,b)∨θ∗(a+,b+)是 (◦,+)-同余.为此,只需观察如下事实:

则

后者给出 x∗∧q◦∗=y∗∧q◦∗,从而由定理 2.1 推知 x∗∨q◦=y∗∨q◦.前者给出

因此得到 (x∗,y∗) ∈ θlat(p◦,q◦).

则

从而推知

因此得到 (x∗,y∗)∈ θlat((a∗∧ b)∗+,1).

类似地,如果

于是有

因此由定理2.1可得

再由定理2.1,有

从而得到

综上所述,可推知φ(a,b)是一个同余.故θ(a,b)6 φ(a,b).显然,有

和

故 φ(a,b)6 θ(a,b).因此等式成立.

推论 2.1设L∈pe2,0K1,1.如果a,b∈L◦使得a 6 b,则

证明因为 (L◦;∗)是布尔代数,所以有

注意到 a∗∗=a 和 b∗∗=b,于是有

类似地,可证 θ∗(a+,b+)=θlat(a+,b+).因此由定理 2.4,等式 (‡)成立.

推论 2.2设L∈pe2,0K1,1.如果a,b∈L并且a 6 b使得(a,b)∈G,则

证明设 (a,b)∈G 并且 a 6 b,则 a∗=b∗.因 G 6 Φ,故 a◦=b◦.从而由定理 2.4,等式成立.

3 次直不可约性

本节中,我们将考虑次直不可约pe2,0K1,1-代数.我们说一个代数L是次直不可约,如果存在L的一个同余α使得对于所有θ∈ConL且θ≠ω,都有α>θ.这样的一个同余α被称为L的唯独元.余唯独元可对偶地定义.一个次直不可约代数是单纯的,如果其同余格ConL是一个2-元素链ω<ι,即ConL={ω,ι}.称一个次直不可约代数是真次直不可约,如果它不是单纯的.

设Fix+(L)={x∈L|x+=x}.

定理 3.1设L∈pe2,0K1,1.若L是次直不可约,则有

(1)ω≼G;

(2)(∀x∈L)|[x]G∩Fix+(L)|6 2;

(3)(∀x∈L)|[x]G|6 4.确切地说,[x]G是一个单元素集,或是以下两种形状中的一种,如图 2,图3所示:

图2

图3

证明(1)假设G̸=ω.因L是次直不可约的,故存在L的一个唯独元α使得

因而有a,b∈L且a

不妨假定a∧a+̸=b∧b+,则

因此由推论2.2推知

令

则在ConlatL中,有

不难看出,β∧G是L的同余.从而得

后面一种情况是不可能的,因为它给出α=α∧β∧G=α∧β=ω,一个矛盾.因此必有β∧G=ω.于是得

故G是L的唯独元.

(2)用反证法.假设存在一个 [x]G,它至少包含 Fix+(L)中的三个元素,即a,b,c∈L且a

则由定理2.4,有

这与L的次直不可约性相矛盾.因此必有|[x]G∩Fix+(L)|6 2.

(3)假若存在xi∈L(i=1,2,3,4)使得

则有

以及

由 (2),存在某个i∈{1,2,3}使得

从而由引理 2.1推知,xi=xi+1,这与假设矛盾.因此必有|[x]G|6 4.再由(2),得到所要求的Hasse图.

记

定理 3.2设L∈pe2,0K1,1是次直不可约.则有

证明设

则

故由定理2.1知x∗和x是互补元.如果x/∈Fix◦(L)

则

由推论 2.1,有

由L的次直不可约性推知,

故 x∧x◦=0,因而

又由L的分配性,得x◦=x∗.再由推论2.1,有

由此知

因而有x∈{0,1},从而得

相反的包含关系是显然的.题设的等式成立.

定理 3.3若L∈pe2,0K1,1是次直不可约,则S(L)是单纯代数.

证明只需证明,对任意x,y∈S(L)及x

假设

则

由引理 2.1,有

不妨假定x∧x+

或者

或者

这三种情况都蕴含着 θ(x∧x+,y∧y+)=ι,由此推知 θ(x,y)=ι.结论对 x∨x+≠y∨y+的情况同样成立.因此,S(L)是单纯的.

推论 3.1若L∈pe2,0K1,1是次直不可约,则Φ是L的余唯独元.

证明因为L/Φ≃S(L),所以有

由定理 3.3可知,区间 [Φ,ι]是一个 2-元素链.故结论成立.

设A和B是两个不相交的有序集.将用A⊕B表示由A∪B生成的线性和,其序关系由下面所给出:

定理 3.4设L∈pe2,0K1,1.则L是真次直不可约当且仅当ConL≃{ω}⊕[G,Φ]⊕{ι}.

证明(⇒:)设L是真次直不可约,则由推论 3.1有 Φ≺ι,同时由定理2.3和定理3.1,Φ≠ω.由后者,存在L的一个唯独元α使得ω≺α 6 Φ.有x,y∈L且x

如果G=ω,则由定理2.3知(L;∗)是布尔代数,因而有

故

类似于定理3.1(1)中的证明,可得

从而有

另一方面,若G≠ω,则由定理3.1和定理3.3,结论成立.

(⇐:)这是显然的.

例 3.1例1.2中所描述的两个pe2,0K1,1-代数(L;f1,+,∗)和(L;f2,+,∗),它们都是次直不可约.其中(L;f1,+,∗)的同余格是一个3-元素链:ω≺G=Φ≺ι,这里G=Φ=θ(a,d);(L;f2,+,∗)的同余格是一个4-元素链:ω≺G≺Φ≺ι,这里G=θ(a,d)和Φ=θ(0,d).

例 3.2考虑由下面的Hasse图所确定的pe2,0K1,1-代数(L;◦,+,∗),如图4,表2所示:

图 4 pe2,0K1,1-代数

表 2 pe2,0K1,1-代数

显然,L是次直不可约的且ConL诱导出一个3-元素链:ω=G≺Φ≺ι,其中Φ=θ(0,c).

例 3.3考虑由下面 Hasse图所确定的 pe2,0K1,1-代数 (L;◦,+,∗),如图 5,表 3所示:

图 5 pe2,0K1,1-代数

表 3 pe2,0K1,1-代数

可以看出,L的同余格ConL具有如下形式,如图6所示:

图6 L的同余格

[1]Blyth T S,Varlet J C.Ockham Algebras[M].Oxford:Oxford University Press,1994.

[2]Fang Jie.Distributive Lattices with Unary Operations[M].Beijing:Science Press,2011.

[3]Blyth T S,Fang Jie,Varlet J C.Ockham algebras with pseudocomplementation[J].Communications in Algebra,1997,25(11):3605-3615.

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[8]Gratzer G,Lakser H.The structure of pseudo-complemented distributive latticeⅡ,Congruence extension and amalgamation[J].Trans.Amer.Math.Soc.,1971,156:343-358.

Pseudocomplemented symmetric extended Ockham algebras

Zhang Xiongsheng,Fang Jie
(School of Mathematics and System Science,Guangdong Polytechnic Normal University,guangzhou 510665,China)

In this paper,we particularly study of the peO algebras that belong to the subclass pe2,0K1,1,characterised by the identities f3=f and k2=idL.By using properties of congruences on such an algebra and the subdirectly irreducibility,the main result obtained in this paper is if L∈pe2,0K1,1,then L is properly subdirectly irreducible if and only if ConL ≃ {ω} ⊕ [G,Φ]⊕ {ι},where ω and ι stand for the equality relation and the universal relation respectively,Φ denotes the relation determined by f(x)=f(y)and G denotes the Glivenko relation.

p-algebra,Ockham algebra,extended Ockham algebra

O153.1;O153.2

A

1008-5513(2017)03-0314-12

10.3969/j.issn.1008-5513.2017.03.011

2016-11-03.

张雄盛(1991-),硕士生,研究方向:格论与序代数

2010 MSC:06B10,06D15,06D30