向量观点下的高中立体几何认同研究

许雅丽

[摘要]向量在近代数学的很多领域中都有广泛的应用，特别是二维、三维的向量，它们既有数组的表现形式，又有直观的几何意义，因此能成为研究中学几何问题的有效工具。将三维向量（也称空间向量）融入立体几何已成为当前立体几何改革的重要措施。空间向量引入立体几何，对传统的教育模式以及课程结构产生了很大的冲击和影响，对空间向量与立体几何结合的重要价值和作用得到了重点关注，因此进一步加强对其的研究非常有必要。基于此本文分析了向量观点下的高中立体几何相关方面。

[关键词]向量观点下 高中 立体几何

[中图分类号]G633 [文献标识码]A [文章编号]2095-3089（2017）12-0109-01

一、概述

高中向量知识的基本内容可以从四个方面来体现。首先，其在三角函数中的内容是向量的概念、向量的平移、向量的运算及向量运算与三角形之间的关系。其次，在解析几何中，其内容是直线的方向向量和法向量、两向量的夹角与两条相交直线的夹角、向量与平面内距离的计算、向量运算与轨迹求解、向量与圆锥曲线的平移。再次，其在立体几何中的内容是，向量运算与平行关系的判断与证明、向量计算与空间中距离计算、向量内积与角计算、直线的方向向量与平面的法向量。最后，在复数中，其主要内容是向量的线性运算与复数的加减法。

二、向量观点下的高中立体几何学习的重要意义

向量是抽象的数学知识，它的几何意义很重要，向量可以描述线段和线段之间、直线和直线间的几何关系。在实际学习中，学生需要在描述向量的代数性质在几何量方面的计算上下功夫，促使学生自主总结体会，从而促使学生清楚地认识到向量的几何意义，从而利用向量的代数性质进行解题。

1.可提升学生运算能力

作为一种代数对象，向量可以用于运算，学生可以通过使用向量的代数运算完成长度、面积、体积等几何度量问题，在帮助学生将其运算难度提升运算能力的同时，能够准确地将不同类型的代数运算的特征与功能展现在学生面前。同时，利用其自身的运算律也能够帮助学生加深对数学运算意义的体会和构建完整的数学系统。

2.蕴含宝贵的思维价值

向量既是代数又是几何的研究对象，它不仅能够进行运算，也可以用于度量各种结合问题，因此向量当中体现出明显的数形结合思想，学生在学习过程中能够有效培养和锻炼自身的想象能力与创造能力、推理能力，进而有效提升自身的解题效率。

三、向量观点下的高中立体几何分析

1.明确向量几何意义

向量的几何意义主要表现为利用向量对集合对象进行描述，比方说ab=0的几何意义代表着向量a与向量b呈垂直关系，有效将向量代数运算同相应位置关系之间进行转化，从而与直线关系进行有机联系。比如说在2016年浙江理科高考数学题已知互相垂直的平面交于直线l，若直线m，n满足m||α，n⊥B试求l与n的位置关系一题当中考查的正是相等向量与相反向量以及空间平行与垂直位置关系的判定，学生通过绘制出相应的图形并用向量将已知条件表明出来便能够直观地认识到n与l为垂直关系。

2.运用数字与图形相结合的方法

在高中数学向量的学习中要运用数字与图形相结合的方法进行理论知识的学习。比如：许多的向量知识比较抽象，不易于理解和学习，所以我们可以运用数字运算和画出图形进行分析的方法进行向量题目的运算，直观化、形象化的进行向量知识的学习。比如：在向量平移、两向量夹角运算、向量与圆锥曲线平移等内容学习中，运用数字与图形相结合的方法，可以更好地把握向量的运算规律和向量与这些知识内容的关系点，有利于相关题目的解决。同时，运用数字图形相结合的方法还有利于我们意识上的正向迁移，缩短解决问题的时间，有利于数学创新意识的培养和探究能力的形成，对我们今后的数学学习具有重要的作用

3.实际应用

（1）利用向量的夹角公式求解解析几何的轨迹方程

在非共线的情况下，如何利用向量的夹角公式来完成相关解析几何问题的求解，进而提高解题速率。

题目：0点坐标为（0，0），M点坐标为（2，1），N点坐标为（1，2），OP为△OMN的一条角平分线，求直线OP的直线方程。

解答过程：设P点坐标为（x，v），可知=（2，1），=（1，2），=（x，v）。OP为△OMN的一条角平分线，可知∠MOP=∠NOP，且cos∠MOP=cos∠NOP，引入向量的夹角公式，可知，对这一式子进行化简，可得，化简后x=y，即为OP的直线方程。

向量的夹角公式，把解析几何中平面几何特征和代数运算结合，引入了转换的数学思路，复杂的解题过程简化为简单的代数运算，尤其是对于更为复杂的圆锥曲线的应用，极易造成学生无从下手的困境。向量的夹角公式提供了一个便捷的解题思路，运算简洁。且这种方法还可以应用到线性规划、立体几何等方面。

（2）利用向量的方向特征求解解析几何的轨迹方程

向量的方向特性决定了两个向量平行或者共线的时候，二者具有一定的比例关系，即，λ不为0。根据向量的方向特征可以简化复杂的平面几何关系式，也可以将解析几何问题转化为简单的代数运算。

题目：动点M是抛物线y=4×2，定点N坐标为（-1，0），点0在线段NM上，MO=30N，求点O的轨迹方程。

解答过程：设点0坐标为（x，y），点M坐标为（m，4m2），由于MO=30N，且点O在线段NM上，故和共线且，将=（m-x，4m2-y）和=（x+1，v）带入上式。可得（m-x，4m2-y）=3（x+l，v），消去m后可得到点O的轨迹方程为y=（4x+3）2。

从本节例子中，向量共线或者平行已经很好地将解析几何图形的位置和代数关系进行有机融合，通过建立向量坐标，直接建立相应的向量运算代数关系式，从而简化解题过程。

总之，向量在高考中的分量越来越重，向量法在高中数学解题中的应用，越来越被同学们所重视。向量是连接代数和几何的中介，也是重要的数学应用模型。应用向量知识能够很好地理解线性代数、泛函分析及抽象代数、几何等基本的數学模型。本文主要分析了向量观点下的高中立体几何认知，以期提供一些借鉴。