小样本下基于代理模型隧道锚喷衬砌稳定可靠度求解

张 鹏，梁 斌

(1.湖南省交通规划勘察设计院，湖南 长沙 410008；2.湖南工业大学， 湖南 株洲 412007)

小样本下基于代理模型隧道锚喷衬砌稳定可靠度求解

张 鹏1，梁 斌2

(1.湖南省交通规划勘察设计院，湖南 长沙 410008；2.湖南工业大学， 湖南 株洲 412007)

深部隧道工程结构极限状态方程高度非线性隐式特征及基本随机参数信息获取困难，导致在进行深部隧道工程可靠度计算时诸如一次二阶矩法和二次二阶矩法等基于概率论的常规可靠度计算方法应用困难。通过少量的样本可大致确定参数的区间分布范围，进而建立隧道超椭球凸集模型。在参数的分布区间内采用拉丁超立方试验获得有限虚拟样本点，通过Kriging代理模型拟合隧道锚喷支护结构的功能函数。最后，根据所建立的超椭球凸集模型将Kriging代理功能函数变换到标准正态空间内，即可运用蒙特卡洛方法计算失效概率和可靠度指标。通过分析某隧道工程锚喷衬砌结构的稳定可靠度，展示了该方法的应用前景。

隧道;锚喷衬砌；小样本；超椭球凸集模型；Kriging代理模型；可靠度

0 引言

基于围岩加固理念的锚喷衬砌技术已经成为隧道支护的主要手段。影响其承载性能和稳定状况的各项因素存在不确定性也已经成为共识。为了考虑这些不确定性因素，很多学者开展了锚喷衬砌可靠度分析方法的研究。徐军等[1]通过Kuper准则建立极限状态方程，计算了目标可靠度指标和分项系数。杨成永等[2]建立了喷混凝土衬砌功能函数，研究了衬砌位移、厚度、喷混凝土材料性能的变异性。边亦海等[3]采用“荷载-结构”模式，对单线铁路隧道湿喷混凝土隧道衬砌进行了可靠度分析。

隧道结构功能函数的建立方法及其解析形式和可靠度指标计算方法是隧道结构稳定可靠度研究的两个关键问题。锚喷支护在力学上是组合体系，上述研究基本是针对体系中的一个或几个单元，所以构建的功能函数一般为显式或复杂性程度不高。苏永华等[4]推导得出，锚喷支护结构整体性能的力学状态功能函数为复杂的多重非初等隐含形式，对于复杂地层甚至不能通过解析形式表达，常规的可靠度算法无法求解。因此，分别提出了响应面法[5]、Kriging插值技术[6]和差分求解法[4]。

特别地，对于深部隧道，其随机参数信息获取困难，原始样本数据非常有限，参数的分布概型难以确定，因而导致基于概率论的常规可靠度计算方法遇到极大阻碍。但是，通过少量的原始样本可大致确定参数的分布范围，即各参数服从一定的区间分布。

为此，针对以上问题，本文的研究思路是：首先在小样本条件下，建立隧道超椭球凸集模型。然后在参数分布区间内，运用区间拉丁超立方试验得到虚拟样本点，代入隧道模型获得其响应值，通过Kriging代理模型拟合隧道锚喷支护结构的功能函数。最后，根据所建立的超椭球凸集模型将Kriging代理功能函数变换到标准正态空间内，即可运用蒙特卡洛方法计算失效概率和可靠度指标。尝试为解决隧道锚喷衬砌结构稳定可靠度计算理论中的上述问题提供一条途径。

1 隧道超椭球凸集模型的构建

对于深部隧道，随机参数信息获取困难，原始样本数据非常有限，因此参数的分布概型难以确定。但是，通过少量的原始样本可大致确定参数的分布范围，即参数服从一定的区间分布。设随机参数为X=(X1,X2,…,Xn)T和功能函数为Z=gx(X)。对于任意参数Xi，根据有限的样本信息确定的参数分布区间为[Ximin，Ximax]，定义δi为参数Xi的变差：

(1)

ΔXi=(Ximax-Ximin)/2

(2)

(3)

上式在多维空间中表示一超长方体，其外接椭球形式如下：

(4)

式中：ei为椭球半轴；θ为椭球半径。

转化为半径为1的椭球：

(5)

此时，外接椭球的半轴为θei,其体积为：

(6)

因为超长方体的顶点在球壳上，故有：

(7)

这样，确定式(3)的最小外接椭球转化为在已知条件式(7)下的椭球式(5)体积的最小值问题。设拉格朗日函数为：

(8)

式中：λ为拉格朗日乘子。由极值的必要条件，得：

(9)

即：

(10)

式(10)两端同时乘以θei并相加得：

(11)

将式(7)代入式(11)可得：

(12)

将式(12)代入式(10)，得：

(13)

(14)

半径为1的超椭球凸集模型可以表示为：

(15)

式中：W为加权矩阵。为简便处理，假设椭球各主轴分别与坐标轴平行，则W为一对角矩阵，且各元素均大于零。通过上述可知：

(16)

引入向量：

(17)

将式(17)代入式(15)，则原超椭球凸集模型转化为：

(18)

可知，Ec为U空间的一个单位超球集合，这样对于计算将提供了很大的方便。通过式(17)可得：

(19)

实际操作时，将式(19)代入结构功能函数，即实现了原始空间向标准向量空间的转换。

2 隧道结构功能函数非线性特征

隧道结构是岩土工程的一大典型领域，其结构功能函数体现为复杂的高度非线性隐式函数形式，对于隧道锚喷支护结构通常基于岩体承载理论建立功能函数[7,8]。文献[4]基于地下结构力学、薄壁筒理论、锚喷支护力学理论及变形协调原理，导出了半径为r0、远场应力为σ0的轴对称圆形岩体隧道工程锚喷支护结构功能函数表达式：

(20)

γr0

(21)

ur0,urc分别为r=r0(洞壁处)和r=rc(锚杆内端处)围岩的位移，按下式计算：

(22)

其中E、ν、c、φ、γ分别为围岩弹性模量、泊松比、粘聚力、内摩擦角及重度。

综合观察pi,min、ur0、urc及功能函数值Z的表达式可以看到：①pi,min是包含自身的多元函数，而且为三角指数函数，是具有较高非线性程度的隐式函数；②ur0、urc为pi,min的函数，功能函数Z的自变量除了其他参数外，也是pi,min、ur0、urc的函数。所以功能函数Z是一个高度非线性多重相互嵌套的隐式泛函。因此，隧道结构的不确定性是一个基于高度非线性隐式功能函数的可靠度分析问题，在以概率论为基础的可靠度方法中，基于解析求偏导的一次二阶矩和二次二阶矩方法对于类似状况无法适应。为此，寻求一个合理的代理功能函数表达式成为解决该问题的关键途径之一。

3 基于代理模型的结构功能函数构建

Kriging方法由南非地质学者Krige于1951年提出，是一种基于随机过程的统计预测方法，可对区域化变量求最优、线性、无偏内插估计值，具有平滑效应及估计方差最小的统计特征[9]。Kriging模型假设系统的响应值与自变量间的关系表示成如下形式：

y(x)=fT(x)ξ+z(x)

(23)

(24)

(25)

式中：ndv是已知的设计变量的数量;ρk为向量ρ的第k个元素。

给定已知的训练样本S=[x(1),x(2),…,x(m)]和其真实响应值Y=[y(1),y(2),…,y(m)]，m为训练样本的容量，则任意一个待测点xnew的估计值为:

(26)

式中：R是由R(ρ;S)构成的对角元为1，大小为m×m的对称阵；F是由m个样本点处的回归模型组成的m维向量；f(xnew)为回归多项式，由具体工程实际情况确定，一般可采用不高于二阶的多项式；r(xnew)是待测点和训练样本间的相关向量，其表达式为：

(27)

极大似然估计因子:

(28)

在高斯过程的假设下，相关模型需要通过求解未知量ρ来构造最优Kriging模型。据极大似然估计可得：

(29)

其中ρ可通过解：

(30)

的优化问题获得。

根据Kriging模型的基本原理，取功能函数的近似显示表达式为式(26)，将影响隧道锚喷支护稳定性的随机参数表达为随机变量x=[x1,x2,…,xn]，则隧道锚喷支护功能函数Z的近似表达式为：

(31)

(32)

为保证代理模型的有效性，需要验证代理模型的精度，本文采用平均相对误差作为检验的方法[11]：

(33)

式中：当Z= 0时，ε= 0.01；Z≠ 0时，ε= 0。N为检验样本的个数，通常取100即可。当满足ERR≤0.01时，建立的代理模型满足精度要求。

4 基于代理模型的可靠度求解

通过前述代理模型拟合了隧道结构功能函数，解决了可靠度求解的一大关键问题。但是，基本随机变量的分布概型未知使得诸如蒙特卡洛法、一次二阶矩法、二次二阶矩法等方法遇到了极大阻碍。为此，将式(19)代入Kriging代理功能函数，从而实现了功能函数由原始空间向标准正态空间的转化，同时实现了不确定性分析由非概率向概率可靠性的转化。

蒙特卡洛法又称为随机抽样法或统计试验法。该方法是从频率的角度出发来求解破坏概率的，首先对影响可靠度的变量进行大量抽样，然后将这些抽样值逐个代入功能函数，累计功能函数小于零的个数，由此确定隧道的破坏概率。蒙特卡洛法对求解的问题没有限制，只要随机抽样次数足够多，就可以得到精度非常高的解。用蒙特卡洛法表示的失效概率可写为：

(34)

式中Z为隧道功能函数;NMC为总抽样次数；NZ≤0为功能函数小于等于0的样本个数。

对于蒙特卡洛法，需要按照下式检验蒙特卡洛样本是否满足蒙特卡洛法需要最低样本次数[12]的要求：

(35)

综上所述，小样本条件下，结合超椭球凸集模型和Kriging代理模型的隧道锚喷衬砌稳定可靠度求解的具体实施步骤如下：

2)确定参数的均值和未确知程度，按照第1部分所述方法建立隧道结构超椭球凸集模型。

3)运用区间拉丁超立方试验得到虚拟样本点，代入隧道模型获得其响应值。

4)通过Kriging代理模型拟合隧道锚喷支护结构的功能函数，并用式(33)进行模型精度验证。

5)将式(19)代入Kriging代理功能函数，运用蒙特卡洛法根据式(34)即可求得失效概率Pf，并根据式(35)验证蒙特卡洛法所需最低样本次数的要求。

5 工程案例分析

5.1 工程概况

根据试验经验，取参数c、φ、p0、E、u0、ds作为随机变量，其表示的随机向量形式为X=(X1,X2,X3,X4,X5,X6)。根据现场实测的有限样本数据，各随机参数的原始样本信息见表1。

表1 参数样本信息

5.2 分析结果

根据以上信息，计算加权矩阵W：

所建立的半径为1的超椭球凸集模型为：

运用拉丁超立方试验得到虚拟样本点，代入隧道模型获得其响应值，通过Kriging代理模型拟合隧道锚喷支护结构的功能函数，并用进行模型精度验证。

根据式(19)，进行标准化变换的矩阵为：

代入功能函数，得到标准正态空间中的Kriging代理功能函数，采用直接蒙特卡洛法求得失效概率：Pf=0.255 9%。

6 结论

通过研究，本文在如下几个方面取得进展：

1)根据原始样本点有限性及区间分布特征，建立隧道超椭球凸集模型。

2)运用拉丁超立方试验构建样本点，通过Kriging代理模型拟合隧道锚喷支护结构功能函数。

3)将代理模型功能函数转换到标准正态空间中，通过直接蒙特卡洛法计算隧道失效概率和可靠度指标。

4)通过工程案例分析，展示了其工程应用前景。

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