高层建筑风振分析中的模态组合问题

汤昱薇， 谢霁明

(浙江大学 建筑工程学院，杭州 310058)

高层建筑风振分析中的模态组合问题

汤昱薇， 谢霁明

(浙江大学 建筑工程学院，杭州 310058)

大多数超高层建筑具有两个侧移振动固有频率非常接近的特点，使得风振响应分析中不能忽略其模态相关性。但目前普遍采用的SRSS(Square Root Squares)与CQC(Complete Quadratic Combination)模态组合方法存在理论上的不足，在实际工程应用中不能正确把握风致结构响应特点，对结构的抗风优化设计带来一定的困惑甚至误导。理论分析与数值计算证实了这两种方法的缺陷。SRSS方法完全忽略了模态相关性。CQC方法虽然在一定程度上考虑了模态相关性，但未能反映模态相关性中的相位关系，导致过于保守的计算结果。根据随机振动的基本理论，可建立基于风荷载互谱密度函数的模态组合新方法(称为“CS模态组合法”)。这一方法能够完整考虑相邻模态之间的幅值相关性与相位相关性，原理清晰，计算简单，具有实际可操作性。与时域模拟结果的比较验证了这一新方法的可靠性与精确性。

高层建筑抗风设计；结构风效应；模态相关性；模态组合法；CQC法；基于互谱密度函数的CS(Cross Spectrum)法

大多数超高层建筑采用几乎正交对称的抗侧结构系统，如图1所示。这类结构的动力特性具有一个共同特点：两个水平正交方向的振动频率非常接近，使得在结构风振响应计算中必须考虑振动模态之间的相关性。在不少工程实例中两个水平正交模态的频率比几乎为1。

图1 具有对称结构体系的高层建筑示例

以图2为例。模态1的振型位移方向与X轴成θ角，模态2的振型位移方向与Y轴也成θ角。这样在计算沿结构坐标轴X方向的风振响应(例如加速度)时就必须考虑这两个模态各自的贡献以及这两个模态之间的相关性。当两个模态的固有频率相差很大时，模态相关性可忽略不计，于是可以采用对平方和取平方根的方法(简称SRSS方法)计算随机响应的统计值。但当这两个模态的固有频率相差不大以至模态相关性不可忽略时，SRSS方法会低估实际的动力响应。类似问题在求解沿X方向与Y方向的风荷载组合(即考虑X-Y两个方向同时作用的最大荷载)时也会遇到。

图2 对称结构的典型模态

计算沿结构坐标轴X方向的风振响应(例如加速度)时必须考虑这两个模态各自的贡献以及这两个模态之间的相关性。在实际的工程实践中，这一模态相关性问题曾造成很大的困惑。设计人员在进行结构的抗风抗震设计时，通常采用一些商业软件(例如ETABS)计算结构的动力特性，包括固有频率与模态振型。但将这些计算软件应用于上述对称的结构体系时，实际得到的振型主轴方向却带有一定的不确定性。这是因为当两个侧移模态的固有频率完全一致时，振型主轴方向实际上可沿任意水平方向(类似圆杆悬臂梁)。但按目前通常采用的风振响应模态分析法，则是首先计算各模态的风振响应，然后进行模态组合。当振型主轴方向与结构坐标方向不一致时，各振型中就出现X与Y方向的耦合。这样在计算沿结构坐标的风振响应(包括动力风荷载与风振加速度)时就涉及到各模态响应中X分量或Y分量的组合。事实表明，采用传统的SRSS组合方法或CQC(完全二次振型组合)方法得到的结果将受到各参与模态中X与Y分量的耦合程度影响，这显然有悖于前述的对振型主轴方向任意性的理解。在实际工程中，初步设计的结构体系与设计深化后的结构体系可能只有微小的调整，反映在结构固有频率上也只有微小的变化，但由计算软件得到的X-Y模态耦合程度却可能有明显改变。从而按一般的风振响应计算方法得到的设计风荷载与风振加速度也会有明显改变，给设计人员带来极大的困惑。

本文作者在实际工程实践中较早注意到了这一问题。并意识到造成这一问题的根源在于缺乏对模态相关性的正确估计。为了考察模态相关性的影响，Xie等[1]对这类对称结构体系采用SRSS与CQC两种方法进行了比较计算，发现两种方法所得结果不但差异很大，而且所得结果都是振型耦合程度的函数。这在理论上是不合理的。根据对实际物理现象的研究，Xie等建议采用风向坐标对这类结构进行风振分析。按风向坐标分解得到的顺风向荷载与横风向荷载之间的相关性很小，从而可以弱化对模态相关性估计的要求。但之后的工程实践证明这一改进方法在实际应用中是有困难的。在城市中心复杂的场地情况下，高层建筑受邻近建筑物的气动干扰，风向坐标不一定完全对应顺风向与横风向激励。因此上述对称结构体系风振响应分析的问题并没有完全得到解决。

本文从基本理论出发，分析了SRSS方法与CQC方法应用于高层建筑风振分析的局限性，提出了采用互谱密度函数计算模态相关性的新方法。并以一栋超高层建筑为例，通过时域模拟验证了这一新方法的准确性。

本文中将这一基于互谱密度函数的模态组合方法简称为CS方法。

1 高层建筑风振响应分析方法

迄今为止，确定高层建筑风振响应最常用也是最可靠的方法是风洞试验与随机振动分析相结合的方法。

抗风设计中仅考虑线性弹性阶段，因此允许采用模态分解法将结构风致响应以广义坐标的形式表达，即结构风致响应可通过求解下列运动方程得到。

(1)

式(1)中与结构特性有关的参数(如质量、频率、振型等)可以通过结构动力特性分析得到，而与气动力有关的参数(即广义气动力)的数值求解非常困难，目前还没有成熟可靠的方法，所以需要通过风洞模型试验直接测定。

1.1 广义气动力的确定

风洞试验的高频测力天平方法HFFB(High Frequency Force Balance)是在20世纪80年代初建立的[2]。该方法巧妙地利用线性振型的广义气动力与基底倾覆力矩之间仅差一个常数倍的特点，通过高频天平量测基底倾覆力矩后直接求出广义气动力。这一方法适用于当时广泛采用的剪切型结构体系。在之后全球性的超高层建设热潮中，框架核心筒结构体系成为主流。对于这类弯曲型高层建筑，风工程师很快意识到由于非线性振型使得广义气动力与基底弯矩之间的关系偏离了高频测力天平方法的初始假定，从而使得高频测力天平方法的精度会大打折扣[3]。

随着电子扫描技术的成熟，20世纪90年代中期在风洞试验中已经可以做到几乎同步地对几百个压力传感器信号进行快速采样。这一技术被迅速地用于对整个建筑外表面风压的几乎同步采样，并通过对采样数据按振型函数进行加权积分的方法得到广义气动力[4]。这一方法被称为高频压力积分法HFPI(High Frequency Pressure Integration)。在某些文献中，这一方法也被不完全严格地称之为“同步测压法”。由于高频压力积分法不需要对振型函数作线性假定，理论上可以测定任意高阶模态的广义气动力，这一方法曾一度被认为在精度方面优于高频测力天平方法。但实践证明高频压力积分法的精度不一定高于高频测力天平方法。这是因为高频压力积分法蕴含了一个基本假定：即假定每个测压点的从属面积内的压力是相同的。而大多数高层建筑覆面上都会有一些非结构构件，这些非结构构件产生的局部气流扰动使上述假定无法被真正满足。此外，这一方法中的测压点布置需要结合测试人员对建筑表面风压变化梯度的估计与经验，不适当的测点布置也会明显影响试验结果。这些使得高频压力积分法的精度比高频测力天平方法更易受到人为因素的不利影响。对某些复杂外形建筑物的高频压力积分试验，往往还不得不增加基底天平试验。通过测试总的平均荷载达到验证高频压力积分试验可靠性的目的[5]。

考虑到绝大多数超高层建筑的风振响应是由其基本模态响应决定的，风工程研究人员再次将注意力放到高频测力天平方法上，试图在该方法中加入对非线性振型的修正，拓展其可适用的范围[6]。在诸多的修正方法中，Xie等[7]建立的高频测力多天平技术具有较好的实用性。这一方法不但解决了复杂连体结构的风振响应问题，而且建立了精度与适用性较好的非线性振型处理方法，对扭转广义气动力也能得到合理的估计[8]，因而被很快应用于包括台北101大楼、迪拜塔以及上海中心大厦等一系列重要工程项目的抗风设计。这一方法不需要对阵风剖面作任何假定，而是在广义气动力测定时增加基底剪力的信息，由此得到气动中心变化的时程，然后通过对阵风压剖面的瞬态拟合由以下公式计算广义气动力。

(2)

目前高频测力天平方法与高频压力积分方法已成为两个互为补充的基本方法，用于测定高层建筑的外部风荷载。

1.2 风振响应计算

在确定气动力之后，可采用时域分析方法或频域分析方法求解式(1)的运动方程。

时域方法采用逐步数值积分直接给出结构响应的某一时程样本，然后依据各态历经假定，对时程样本进行统计分析得到响应的统计量，包括平均值、均方差、峰值等等。时域方法对模态叠加也是在时域内完成的，所以不需要对模态相关性作任何假定。例如加速度的均分差可由下式得到：

(3)

时域方法的不足之处在于缺乏对结构动力特性和结构响应之间物理关系的清晰描述，因而一般不适合用于指导抗风优化设计。此外时域方法的计算时间也比较长。

频域方法能清晰直观地描述结构动力特性和结构响应之间的物理关系，计算量较小，是目前风工程研究与结构抗风设计中普遍采用的方法。

但频域方法中的模态叠加是对统计量直接实施的，所以就需要估计各模态统计量之间的相关性。以加速度的均方差为例，其一般表达式可写为：

(4)

如果两个模态频率相差较大，则模态相关性可以忽略，即认为当j≠k时，Cjk≈0。式(4)可由此简化为：

(5)

式(5)称为SRSS模态组合法。

如果两个模态频率相差较小(例如小于10%)，则模态相关性一般不可以忽略。目前风工程中主要衍用Wilson等[9]针对地震反应谱分析提出的完全二次型组合法(CQC方法)，其中相关系数由下列近似表达式求出：

(6)

式中：ζj与ζk分别为j模态与k模态的结构阻尼比；γjk为j模态与k模态的频率比。

可以看出，ρjk是一个介于0和2之间的正值，因此蕴含了模态相关性的同相位假定。但这样就带来一个问题：如果j与k模态振型为同号，则CQC组合结果将大于SRSS组合；反之若j与k模态振型为异号，则CQC组合结果将小于SRSS组合。根据模态分解法原理，不难证明j与k模态振型取同号或异号不改变实际加速度的方差。考虑到这一点，CQC在风响应计算中往往将式(4)写为：

(7)

这一处理虽然保证了对结构风振响应的估计偏于安全，但却是本文引言中所述问题的根源。

2 基于互谱密度函数的模态组合法

描述结构的模态响应应当包括幅值和相位两个方面，但传统的CQC方法和SRSS方法在计算时缺省其中之一或两者的相关信息。由于正交同性建筑的结构特点，这一缺省将带来可观的误差。

为了在频域分析中完整保留两个相邻模态之间相关性的信息，本文从基本关系推导合适的模态组合方法。

对基本方程(1)两边进行傅里叶变换，可以得到加速度的傅里叶变换为

(8)

式中：Hj为j模态加速度响应的传递函数，其中实部与虚部分别为：

不难证明，j模态加速度的自谱为：

(9)

式中:

j模态与k模态加速度的互谱可表示为：

(10)

假设j模态与k模态的阻尼比相同，式(10)右端第二项中与传递函数有关的系数可展开为：

(11)

由于模态相关性只有在模态频率比较接近时才有考虑的必要，这里近似假定ωj≈ωk。式(11)表明实虚部交叉项对互谱的贡献可以近似忽略。这样式(10)就可以简化为：

(12)

式中:

对式(12)两边求积分，可以得到j模态与k模态加速度的协方差。

(13)

其中

(14)

由此得到模态组合的一般表达式：

(15)

由于这里的相关系数由广义风荷载的互功率谱求得，不但能反映模态响应的幅值相关性，而且包含与模态振型一致的相位相关性。从而能够在模态组合计算中完整地考虑模态相关性影响。

3 模态组合法的实例研究

以图3所示超高层建筑的高频测力天平试验为例，模型几何比例1∶500，风速比3∶1，采样频率为足尺情况下2 Hz，采样时长为足尺情况下4小时。分别采用SRSS方法、CQC方法、本文提出的基于互谱密度函数的CS方法计算了该建筑的风振加速度。然后与时域计算结果进行比对。时域方法是在时域内完成模态叠加的，不需要对模态相关性作任何假定，所以在这里被作为检验方法。

所考虑的大楼在建筑外形与结构体系两方面都有着很好的对称性，存在引言中所述的振型位移方向任意性的问题。

图3 超高层建筑实例及风向角示意

风洞试验中，风向角的定义以正北向为零度，顺时针计算，风向角与结构坐标系统的关系见图3。

实例分析中，考虑了以下三种工况。

(1) 工况1：假设两个水平侧移模态的自振频率完全相同，但振型主轴方向偏离结构坐标30°(θ=30°)，参见图2。

(2) 工况2：假设两个水平侧移模态的自振频率完全相同，但振型主轴方向偏离结构坐标45°(θ=45°)。

(3) 工况3：假设两个水平侧移模态的振型主轴方向仍偏离结构坐标30°(θ=30°)，但自振频率比减至0.95。

图4为工况1的计算结果。可看出采用本文提出的CS方法与时域方法得到的加速度均方根值完全相同，但采用SRSS方法与CQC方法得到的加速度数值则存在较大的误差。

CS方法与时域方法所得结果表明最大加速度是由横风向风振引起的。X方向的最大加速度出现在350°与170°附近，而Y方向的最大加速度则出现在80°与260°附近。然而采用SRSS方法与CQC方法计算后，这四个风向在X与Y方向都会产生较大的加速度。这一错误的计算结果源于在处理振型耦合时对模态相关性的不正确考虑造成的。

在两个水平侧移模态的自振频率完全相同的情况下，将振型主轴方向继续转动至45°(工况2)。所得结果如图5所示。可以看出，采用本文的CS方法与时域分析方法得到的加速度值和工况1完全相同，表明当两个水平侧移模态的自振频率完全相同时，结构响应与振型主轴方向的选取无关，这是符合实际情况的。

(a) X方向加速度

(b) Y方向加速度

(a) X方向加速度

(b) Y方向加速度

但采用SRSS方法与CQC方法计算时，所得到的加速度值则错误地受到振型主轴方向选取的影响。图4与图5的结果还表明，由于CQC方法考虑了幅值的相关性，所得到的加速度虽然偏保守，但与SRSS方法相比较为接近正确值。其主要问题在于CQC方法没能够正确考虑相位相关性，造成对出现加速度峰值的风向角估计错误。在实际工程应用中，图4或图5的结果还需要结合表征风速风向联合概率分布的风气候模型进行统计分析后才能得到不同设计回归期的最大加速度。对出现最大加速度的风向角估计错误，会导致过于保守的结构设计风荷载与不切实际的风振舒适度评估。与此相比，采用SRSS组合方法则有可能得到过小的加速度值，导致不安全的结构设计风荷载。

图6给出工况3的计算结果，其中第二模态的固有频率提高了5%，使得两个水平侧移模态的自振频率比减至0.95。可以看出随着频率比的减小，模态相关性的影响得以降低，从而SRSS方法与CQC方法产生的误差也明显减小。同时还可以看出CS方法与时域分析方法两者之间开始出现微小的差别。这是因为随着频率比偏离1，式(11)描述的荷载互谱中的实虚部交叉项不再为零，而在目前的CS方法中，为简化计算起见这一交叉项被省略了。

(a) X方向加速度

(b) Y方向加速度

本实例的进一步计算结果表明，当频率比减至0.90时，各种组合方法的计算结果趋于一致，模态相关性的影响可以基本忽略。

以上讨论了模态组合法在风振加速度计算中的应用，在结构风荷载计算也同样需要考虑模态组合法，其结论是类似的。本文不再赘述。

虽然以上分析的对象是水平正交方向具有非常接近甚至完全相同结构特性的建筑物，所提出的CS模态组合方法也适用于处理一般的模态相关性问题。例如图7所示结构体系。这类结构的模态中通常存在侧移与扭转振动耦合现象，其中侧移为主的固有频率和扭转为主的固有频率之间可能非常接近。因而可以采用本文方法正确计算其模态相关性与耦合风致结构响应。

图7 侧移与扭转频率接近的结构示例

Fig.7 Example of a structure with similar frequencies in sway and rotating motions

4 结 语

大部分已建和待建的超高层建筑在两个水平正交方向具有非常接近甚至完全相同的结构特性，由此造成前两阶侧移振动的固有频率非常接近。对这类结构体系的结构风荷载与风振计算，必须考虑其模态相关性。

传统的SRSS模态组合方法忽略相邻模态之间的相关性，导致对风致结构响应的估计偏低，在应用于实际工程项目时存在安全隐患。CQC模态组合方法考虑了相邻模态之间的幅值相关性，但未能正确计入相邻模态之间的相位相关性，造成对风致结构响应的估计过于保守，在应用于实际工程项目时会带来不必要的浪费。对水平正交方向结构特性完全相同的高层建筑，应用SRSS或CQC方法时还可能忽略振型位移主轴方向任意性的基本事实，造成风致结构响应依赖于振型位移主轴方向的错误结论。这不但带来结构抗风设计优化中的困惑，更可能对优化设计产生误导。

本文从基本理论出发，建立了基于风荷载互谱密度函数的模态组合新方法(CS模态组合方法)，这一方法完整考虑了相邻模态之间的幅值相关性与相位相关性，原理清晰，计算简单，具有实际可操作性。与时域模拟结果比较证实了这一方法的可靠性与精确性。

所提出的CS模态组合方法也适用于处理一般的模态相关性问题。

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Mode combinations in wind-induced vibration analysis of tall buildings

TANG Yuwei, XIE Jiming

(School of Civil Engineering, Zhejiang University, Hangzhou 310058, China)

Most super-tall buildings have a feature of their first two sway modes’ natural frequencies being very close to each other，so in their wind-induced vibration analysis their mode correlations cannot be ignored. However, the current adopted mode combination methods of SRSS and CQC have shortcomings in theory and can’t handle correctly the features of wind-induced structural responses in actual applications to bring structural anti-wind optimization design a certain confusion even misleading. Here, the shortcomings of these two methods were verified through theoretical analysis and numerical computation. SRSS method fully neglected mode correlations. Although CQC method considered mode correlations to a certain extent, it couldn’t reflect the phase relation in mode correlations to cause too conservative computation results. Based on the fundamental principles of random vibration, a new method of mode combinations named the CS method based on cross spectral density function was proposed here. It was shown that the new method can fully consider amplitude correlations and phase correlations between adjacent modes; its principle is clear, and it is easy to calculate. The reliability and correctness of this method were verified through comparing its results with those of simulation in time domain.

tall buildings; anti-wind design; wind effect of structure; mode correlations; mode combinations; CQC method; CS method based on cross spectral density function

国家自然科学基金面上项目(51578505)

2016-02-23 修改稿收到日期：2016-07-04

汤昱薇 女，硕士生，1993年生

谢霁明 男，教授，博士生导师,1955年生

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.15.003