以“圆锥曲线”为例谈高中数学的概念教学

何燕萍

[摘 要] 概念是表征数学问题、导出数学原理的逻辑基础，也是建立数学知识体系的中心环节，是解决数学问题的基本前提，因此高中数学教师要重视学生的概念建立. 本文以“圆锥曲线”的概念教学为例，探讨了引导学生建构数学概念的基本策略.

[关键词] 高中数学；概念教学；基本策略

概念教学是高中数学的基础所在，高中数学教师在引导学生建构概念时，务必要讲究教学策略. 下面笔者就以“圆锥曲线”的概念教学为例，谈谈笔者在这一方面的思考.

[?] 精心创设问题情境，帮助学生开启研究

高中数学教学中，合理而科学的问题情境，能够有效调动学生的热情，并激起学生的探究欲望，进而在课堂营造自主探究、合作学习的氛围. 优秀的情境创设除了带有趣味性和质疑性等特点之外，笔者认为它还应该具有以下两方面功能，其一是它应该让学生尽快完成学习者和研究者的角色切换，其二是能让学生对本课的核心问题进行探索和研究的过程中体验到成功的喜悦.

笔者在本课教学中是这样来创设情境的：天文学的研究表明，行星的绕转轨道为椭圆，彗星的运行轨迹可以为椭圆，也可能为双曲线或抛物线，除了天体运行存在如此特殊的运动轨迹，日常生活中还有别的物体的运行轨迹或形状是双曲线、抛物线和椭圆，请大家进行举例说明.

设计目的：从学生已经熟悉的天体运动出发，逐步引入即将探索的主题；然后将学生的思路拉回到自己的生活情境，让学生感受到这些曲线和我们的距离并不遥远，进而激起学生探索的欲望.

提出问题：如果用一个平面来截圆柱体，会产生哪些图形？

设计目的：通过最简单的操作让学生能够直击椭圆的产生，而且学生在操作和探索中必然会发现，由圆到椭圆的演变过程，这为学生研究椭圆的概念奠定了基础.

课堂效果：几乎所有的学生都能在操作中经历水平截面到倾斜截面的演变过程，进而非常直接地获得圆与椭圆两种曲线.

提出问题：如何来定义椭圆呢？

这是本课的核心概念之一，也是学生学习难点之一，这需要教师精心设计一系列问题，引导学生循序渐进，逐步深入地研究椭圆的概念和特征. 而且以问题为引导，学生还将逐层进行分解，进而让问题的解决更加顺利.

问题点拨1：在平面内，到某定点的距离等于等长的点的集合即为圆.圆上任意一点的基本特点：到圆心的距离都相等，我们是否可以采用类似的方法来探求椭圆的定义，即椭圆上的各个点是否存在共同的特征？

问题点拨2：在刚才的操作过程中，由圆逐渐过渡为椭圆，是否可以将椭圆视为圆在某一方向上经过拉伸而形成的结果？怎么拉伸的？

问题点拨3：为了更加形象地揭示椭圆的形成过程，我们可以设想在截面上下两侧各有一个与截面以及圆柱体相切的球体. 开始时切面是水平的，这两个球分别与截面相切，且切点重合；当截面的切斜角度发生改变时，切点逐渐分开，如图1所示对应为点F1和点F2，当截面确定时，存在哪些恒量？

[G1][G2][G3][N][F1][F2][P][M]

图1

问题点拨4：假设点P是椭圆上的一个任意点，问与P点相关的几何量中存在哪些恒定量？

问题点拨5：截面确定，球体确定，PF1和PM都是球体的切线，则PF1=PM. 同理还有结论PF2=PN，而PM+PN=MN是定值，因此有PF1+PF2=MN也是定值，因此这就是椭圆上各个点共同的特点.

至此学生将对椭圆的形成过程和基本概念形成初步了解，也掌握了用“距离之和”来定义椭圆的方法.

在上述教学设计中，我们采用问题串来引导学生来逐步认识椭圆的概念，结合教学实践，笔者还有以下思考：教材中有关椭圆的形成是从圆锥面开始的，但是有关图形相对比较复杂，特别是圆锥顶角位置的内切球是否存在且是否唯一，这些问题都是学生在理解过程中较为困难的地方. 事实上，从学生在课后的反馈情况来看，学生对本设计中所涉及的圆柱体内切球的存在以及唯一性问题也存在一定的理解难度. 因此，如果采用更加复杂的图形来处理将给学生造成更大的困难，简化处理能让问题的研究更加直接、更容易上手. 那么抛物线和双曲线的教学又如何进行引入呢？笔者将把这些内容放在学生完整地、严格地掌握好椭圆的概念之后再来进行研究，这样的处理能弥补学生思路中可能存在的脱节问题，也能确保教学宏观层面问题串的递进性关系.

[?] 巧用正反论证，帮助学生巩固概念

学生结合实例以及操作所形成的结论一般都比较粗糙，且比较片面，还需要进行深层次的加工，教师需要指导学生运用严谨的数学方法对其进行正反两面的证明和论证，以实现去伪存真的效果，帮助学生真正地理解和掌握相关概念. 为此，教师在上课之前应该对问题形成充分的认识，一方面逐字逐句地对定义进行研究，比對其内涵及外延，从而做出有着确定依据的科学结论；另一方面，教师要有一个较为全面的课前预设，要设想学生在探索中可能遇到的每一个问题，并探求相应问题的最佳引导方案.

例如在引导学生对椭圆的概念进行定义时，笔者就充分进行了预设，并将其运用于课堂实践，具体情形如下：

生1：我们可以这样来定义椭圆，到两个定点的距离之和等于某一定值的点的集合即为椭圆.

师：很好，我们对比一下椭圆与圆的定义，圆的定义着眼于“到一个定点的距离”，而椭圆的定义着眼于“到两个定点的距离”，这两个定点就叫作椭圆的“焦点”.

（这里师生对话的目的在于引导学生回顾椭圆定义的形成过程，强调“距离之和”是定义的关键词.学生的回答和笔者课前的预设相吻合. 于是笔者用下面一个实验来趁热打铁，巩固学生对椭圆定义的认识.）

师：之前我们已经为每一个学习小组提供了图钉、细线、白纸，请相互配合，在纸上画出一个椭圆.

各个小组纷纷开始思考、讨论并操作，最终都在纸上画出了一个椭圆.

师：你们画椭圆时运用了哪些原理？

生2：我们是从椭圆的定义出发，具体操作时两枚图钉确定好焦点的位置，然后用细绳套住铅笔来划线，铅笔经过位置到两个焦点的距离之和始终等于定值——细线的总长.

师：很好，我们从椭圆的定义出发，还可以得到椭圆上各点的基本性质，即只要这个点在椭圆上，那么这个点到两个焦点距离的和就等于常数，在刚才的操作中你们对此也有所体会. 那么到两个定点距离之和为定值的点的集合就一定是一个椭圆吗？

笔者提问时，在最后强化了疑问的语气，学生的思维也被彻底激活，思维活跃的学生迅速指出：应该是椭球，原本关于椭圆的定义必须加上限定“在平面内”.

师：讲得不错.椭圆就是一个平面图形，本来截线也就在截面内.

教师用手指一指圆柱面的截面操作，稍稍停顿后，继续追问：在同一个平面中，到两个定点距离之和等于定值的点的集合就一定是椭圆吗？

这个问题对学生显得比较突然，学生稍微迟疑后，纷纷投入实验、画图等探索过程中，很快就有学生示意得到了答案.

生3：当这个定值正好等于定点之间的距离时，动点的轨迹就是一条线段，因此椭圆定义中必须强调这一点，即距离之和所等于的那个定值必须要大于两个定点之间的距离.

到此为止，学生通过正反论证，基本上对椭圆的定义以及椭圆上各点基本性质实现了掌握.

[?] 通过类比、联想、发散等方法，促进学生完善概念体系

教学过程中，当学生对重点知识和方法已经有所了解之后，他们也就初步具备了研究一类问题的能力，在此基础上，教师可以引导学生通过类比、联想、发散等方法，由此促进他们对概念体系的完善.

例如当学生已经对椭圆的相关概念形成认知之后，我们可以让学生通过类比和联想等手段，来促进学生对其他两种圆锥曲线进行研究和分析.

提出问题：用一个平面来截圆柱面可以得到椭圆，那么用一个平面去截怎样的曲面，可以得到另外两种曲线呢？

设计目的：由圆柱面到圆锥面，这可以帮助学生从字面上来认识圆锥曲线的意义，进而帮助学生系统化地认知解析几何中的几个重点图形，这有助于学生对数学概念形成系统化的认识.

上述问题貌似较难，但是学生不难做出判斷，因为他们也就接触过球面、圆柱面以及圆锥面等几类曲面，稍加筛选就有答案. 结合学生的作答，教师再通过课件来演示数学实验，让学生形成更加清晰的认识. 当然更加严谨的概念形成，还需要学生认真阅读教材，最终实现知识体系的完整建构.

综上所述，在引导学生建构数学概念时，教师一定要巧妙设计情境，充分调动学生的参与热情，让学生在观察、操作、分析、类比、联想等一系列探究活动中，获取认知、提升能力.