相似图形中的“面积”问题

马国建

(常州市金坛区第五中学,江苏 常州 213200)

相似图形中的“面积”问题

马国建

(常州市金坛区第五中学,江苏 常州 213200)

“面积”问题是初中几何中常见的，也是非常重要的一个知识内容．本文借助几个典型例题，利用有关“相似”的知识，通过拓展训练，研究“面积”问题，帮助学生归纳总结，建立相关知识体系．

相似图形；面积问题

例题1 如图1，点D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点.

(1)求S△ADE∶S△ABC;

(2)求S△ADE∶S四边形BDEC.

分析 (1)由中位线的知识得到DE∥BC，这样△ADE∽△ABC，相似比为1∶2.根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”，易得答案1∶4．

(2)可采用设“k”的方法解：设S△ADE=k，由(1)知S△ADE∶S△ABC=1∶4,可得S△ABC=4k，故S四边形BDEC=4k-k=3k，易得答案1∶3．

点评 题⑴是相似三角形性质的直接应用，利用此性质求图形的面积之比的前提条件是这两个图形相似．题⑵中的两个图形不是相似图形，不能直接应用相似的性质．在此介绍了一种代数的方法，几何问题用代数方法解决也是一种很重要的思维方法．

例题2 如图3，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且DE∥BC，连接BE，CD相交于点H，已知S△DHE∶S△CHB=4∶25，求AD∶DB

点评 利用相似的性质求线段的比一定要弄清这两条线段是否是相似图形的对应边．

例题3 如图5，点E是ABCD的边CD延长线上一点，且ED∶CD=2∶3，连接AC，AE，连接BE交AC于点G，交AD于F，求S△AGB∶S△EGC∶S△AGE．

分析 由平行四边形可得AB∥CE，AB=CD．求出CD∶CE=3∶5，从而AB∶CE=3∶5．△ABG与△CEG相似，相似比为3∶5，所以S△AGB∶S△EGC=9∶25,△ABG与△AGE分别以BG,EG为底，此时它们的高相等，可求出S△AGB∶S△AGE=3∶5，易得答案9∶25∶15.

点评 本题的图形中含有多个相似三角形，比较难识别，关键是要抓住平行这一条件．通过相等线段的代换，从而求出相似三角形的相似比也是本题的思维方法之一．

例题4 如图6，在△ABC中，∠ACB=90°,CD⊥AB于点D,已知△ACD面积为4，△BCD面积为12，AC=5，求AB的长．

分析 由条件可得△ADC∽△ACB，它们的面积之比为1∶4，相似比为1∶2，AC与AB是两个相似三角形的对应边，从而得AC∶AB=1∶2，易得AB=10．

点评 由面积易想到有关底和高的相关问题，但本题中含有“相似三角形”这一特殊结论，从而联想到与相似有关的性质，根据线段的比求出答案．

[1]魏祥勤.数形结合探究一类三角形面积问题[J].数理化解题研究，2016(03).

[责任编辑：李克柏]

2017-06-01

马国建(1983),男，江苏省金坛人，本科，中学一级教师,主要研究方向是数学教学与研究.

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1008-0333(2017)20-0034-01