数学直觉，导引学生数学学习悄然深入

薛明

摘 要：数学直觉是对数学对象的直接洞察、感悟，带有直接性、创造性、或然性、跳跃性等诸多特性。教学中教师要引导学生观察，鼓励学生联想、猜测，进而开掘数学直觉的源头活水。数学直觉与数学逻辑的有机融合，让学生的数学学习真正发生。

关键词：直觉思维；数学学习；悄然深入

法国著名哲学家帕斯卡尔在其名著《思想录》中指出，“人有两种精神，一种是几何学精神，另一种是敏感性精神”。所谓的“几何学精神”就是指逻辑推理与演绎；所谓“敏感性精神”就是一种直觉。在数学教学中，直觉导引学生发现、创造，而逻辑则用于证明、推导。数学直觉应该包括学生的数学观察、数学联想和数学猜测等，它们往往不受规范、逻辑等的约束，因而更具创造性。发展学生的数学直觉是数学教学的应有之义。

一、数学直觉的理性认知

数学直觉是一种深刻、敏锐的数学洞察、感悟，常常以顿悟、灵感等形式出现，有时也体现为对对象的迅速识别、直接把握和综合判断。在数学学习中，数学直觉是学生的一种思维跃迁、想象驰骋，具有经验性、直观性、或然性、果断性、迅速性、创造性等诸多特性。

1. 数学直觉的直接性

数学直觉不是理性慢慢沉思的结果，而是学生在一刹那完成的，具有稍纵即逝的特性，它是长期思考的灵感迸发，或者是学生数学素养发展的确证与表征。如有学生对某些问题殚精竭虑、苦思冥想，却百思不得其解，但就在山重水复疑无路时却产生了柳暗花明、豁然开朗的思维通路，这就是灵感迸发；或者学生在低年级必须通过逻辑推理，借助画图等手段方法才能解决的问题在高年级由于学生思维的发展，他们往往能够做出准确而即时的判断，就表现为二次直觉、三次直觉等。如已知甲数以及甲数比乙数多的数，求乙数，低年级学生往往需要借助画图来思考，而高年级学生由于知识积累以及理性发展，能够对之做出即时判断。

2. 数学直觉的创造性

数学直觉往往是对未知领域的探索，因而带有强烈的创造性。法国著名数学家彭加莱说，“逻辑是证明的工具，直觉是创造的工具”。数学直觉是一种借助主体的知识经验、问题解决经验等，通过丰富的想象，对对象做出的大胆假设、猜想或者判断。如学生对于两条平行线之间的三角形的面积相等的判断，对于同位角、内错角、对顶角相等的判断，对于平行四边形对边相等、对角相等的判断等都是一种带有创造性的直觉判断。教学中教师要呵护、鼓励学生展开这样的判断。在学生直觉判断的基础上，教师可以引导学生运用逻辑、推理、实验等各种方式进行证实或证伪。

3. 数学直觉的或然性

如上所述，数学直觉并非必然的，可能是真理，也可能是谬误。在数学学习中，学生的观察、想象很重要，但观察、想象中往往带有经验成分，因而夹杂着许多迷思观念。数学教学必须引导学生对数学直觉进行理性验证，通过验证，引导学生认识数学知识的本质。例如教学《三角形的认识》（苏教版小数第8册），对于三角形三边关系，学生在直觉判断上往往认为只要是三根小棒就一定能够围成三角形。为此，教师可以出示这样的三根小棒，其中两根小棒长度和小于第三根小棒，让学生动手操作。学生在操作实验过程中自然地对先前直觉判断展开批判思考，在这个过程中，学生的质疑意识、反思意识、验证意识得到有效培育。

二、数学直觉的培育策略

数学是一门理性的学科。传统的数学教学，教学设计往往讲究精致化、逻辑性，教学过程步步为营，按照教学预设中的路线图，对学生的学习进行学习导航，学生或者同化或者顺应，更有机械模仿。如此，学生的数学学习真正发生了吗？

1. 引导观察，触碰直觉之源

著名教育家苏霍姆林斯基说，“每个人的内心深处都有一个根深蒂固的愿望，那就是希望自己是一个发现者、研究者和探索者”。数学直觉离不开数学观察，所谓“数学观察”是指学生带着明确目的，凭借自身感官（如眼、耳等）及相关数学学习工具，直接或间接从问题中搜寻数学信息，找寻显性或隐性的数量关系和空间形式的过程。观察中蕴含着思维，因此观察又称为思维的感知或者视觉思维。教学中，教师要遵循学生的感知规律，科学合理地引导学生展开数学观察。

教学《物体的体积》（苏教版小数六年级上册），在探讨容积与体积的联系与区别时，笔者以茶杯为工具，引导学生在观察中思考，让学生展开有思想的视觉思维。

师：看这个茶杯（含有盖子），你认为茶杯的体积和容积有什么联系和区别？

生1：茶杯的体积是指整个的茶杯所占空间的大小，应该从外面量；茶杯的容积是指茶杯能够装多少水，是从里面量的。所以我认为体积一定比容积大。

生2：看这个茶杯，当一个茶杯内的容积很大时，茶杯的容积可以近似地看成是茶杯的体积。

生3：也可以看成是茶杯的杯壁非常薄，以至于可以忽略不计，这时茶杯的容积就是茶杯体积。

生4（将茶杯盖子拿掉）：看这样一个无盖的茶杯，根据体积的定义，物体所占空间的大小叫作物体的体积，现在这个茶杯的体积应该是指制作茶杯的材料所占的体积。所以我认为这时的茶杯容积反而比体积大得多。（显然，该生对体积概念的理解十分到位）

生4（倒水）：看，如果我们向茶杯里倒水，在水满时根据科学课上的张力原理，还可以再加上一两滴水，这时的容积有可能比我们计算的要大。

……

学生通过观察茶杯，提出了一系列基于直觉的数学猜想，这是一种直接领悟式的思维，是基于學生积极、主动观察的结果。这种观察不是按部就班的逻辑推理，而是从整体上把握认知对象。

2. 鼓励联想，彰显直觉之思

联想不受逻辑的束缚，具有极强的跳跃性、自由性，能够将有联系的不同事物串通起来。在数学教学中，教师要唤起学生的好奇心、求知欲，引导学生展开相似联想、类比联想、因果联想、接近联想等。要积累学生的感性表象，为学生的联想奠定坚实基础。一个人，表象越丰富，其联想的空间就越开阔；反之，表象越贫乏，其联想的空间就越狭窄。所以著名物理学家爱因斯坦说，“想象比知识更重要，因为知识是有限的，而想象力却概括世界上的一切，并且推动着科学进步”。

例如教学《圆柱的体积》（苏教版小学数学教材第12册），当教师提出如何将圆柱体体积转化成已学的立体图形体积时，由于学生已经学习了长方体和正方体的体积公式，于是他们提出转化成长方体。怎么转化呢？学生展开了积极的类比联想：既然圆的面积可以转化成长方形、三角形等的面积，圆柱的体积也应该可以转化成长方体、三棱柱等的体积。在学生展开直觉联想的基础上，教师引导学生展开实验探究。又如，教学《梯形的面积》（苏教版第9册），在遇到求一堆钢管的根数问题时，笔者引导学生观察，学生发现堆放的钢管横截面形状是梯形，由此学生展开接近联想：可以用梯形的面积公式求出钢管的根数吗？在此基础上，教师启发学生将两堆钢管合起来，孩子们直观看到，一堆钢管的横截面变成了平行四边形。这样，每一行的钢管数就相等。因此，计算原来钢管的根数用梯形的面积公式水到渠成。可见，联想是问题转化的桥梁，是能力提升的阶梯，是思维创造的摇篮。通过联想，能够激活学生尘封的记忆，让学生生发出超越常规的问题解决思路。联想赋予了学生充分的思维自由度，让学生由表及里、由此及彼，将所学知识融会贯通。学生举一反三，其数学化思维得到深度拓展。

3. 大胆猜测，敞亮直觉之境

著名思想家胡适先生有一句名言，“大胆地猜测，小心地求证”。的确如此，在数学教学中，教师要鼓励学生对问题解决思路大胆地猜测，引导学生多角度猜测，让学生突破固化的思维定式，不畏首畏尾、裹足不前。数学猜测是在短时间内，调动自己的已有知识经验储备，快速而开放地预测结论和结果的过程。在猜测中，激活学生思维潜质，敞亮学生直觉之境。

例如教学《循环小数》（苏教版小学数学第9册），教学前，笔者让学生根据自己的理解，说一说循环小数是一个怎样的小数。学生顾名思义，纷纷展开猜测，在猜测中，他们相互碰撞、相互启发，循环小数的定义呼之欲出。

生1：我想循环小数可能是无限小数，就像春夏秋冬四季循环一样。

生2：我想，循环小数一定有相同的或者重复的部分（循环节），否则就不叫“循环”小数了。

生3：我想，循环小数可能是一个数字循环，也可能是多个数字循环，就像昼夜更替、四季更替一样。

生4：我从“循环”二字想，循环小数可能是全部循环的，也可能是部分循环的。我想，只要有循环，就应该可以称之为循环小数。

……

学生根据循环小数的字面含义以及自我的生活经验展开积极的猜测，这些猜测是学生对循环小数认识的第一反应。教学中，教师要放纵学生的第一反应，激活学生创造动因，鼓励学生大胆、合理地猜测。如此，学生不再是被动地接受知识，而是主动地创造知识。

数学直觉是人腦对对象的直接领悟与洞察，教师是学生展开数学直觉、数学瞭望的引路人。教学中通过夯实学生知识基础，设置诱导问题情境，催发学生数学直觉，引导学生数学验证活动。从思维本性看，人是一种“半直觉半逻辑”的动物，因此将数学直觉与数学逻辑融合，有助于学生做到“友善用脑”“和谐用脑”“健康用脑”。