“猜想与验证”的内涵、价值及教学运用

◎蒋明玉

“猜想与验证”的内涵、价值及教学运用

◎蒋明玉

什么是科学的方法？如果用一句话回答，那么它应该是“猜想与验证”。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下称为“修订版”）特别强调，要通过多样化的活动来培养学生的推理能力。第一学段，要求“在观察、操作等活动中，能提出一些简单的猜想”；第二学段，要求“在观察、实验、猜想、验证等活动中，发展合情推理能力”。在小学阶段，发展学生的合情推理能力，应当建立在观察、实验的基础之上；教师在引导学生经历观察、实验的过程后，要适时启发学生提出猜想或得到初步结论；由于这些结论很可能带有一定的或然性，因此，还得进行必要的验证。尽管验证不同于演绎推理的严格的证明，但是基于归纳的猜想，未曾被验证推翻，这样的推理也就“合情”了；缺少了这一步，合情推理能力也难以真正得到发展。与获得结果相比，让学生充分经历“观察、实验、猜想、验证”的过程是最重要的。可见，学会“猜想与验证”应成为学生的自觉意识和基本能力。

一、厘清“猜想与验证”的基本内涵

数学方法理论的创导者波利亚对于猜想做了深入研究，著有《数学与猜想》一书。波利亚曾说，在数学领域中，猜想是合理的、值得尊重的，是负责任的态度；在数学教学中必须有猜想的地位；教学必须为发明作准备，或至少给一点发明的尝试；无论如何，教学不应该压制学生中间的发明萌芽。波利亚认为，在有些情况下，教猜想比教证明更重要。牛顿先生也曾说：“没有大胆的猜想，就作不出伟大的发现。”

数学猜想实际上是一种数学想象，是人的思维在探索数学规律、本质时的一种策略。它是建立在已有的事实和经验上，运用非逻辑手段而得到的一种假定，是一种合理推理。数学猜想能缩短解决问题的时间；能获得数学发现的机会；能锻炼数学思维。数学猜想并不是胡思乱想，基本思维模式是：问题→反复思索→联想、顿悟→提出假说→验证结论。历史上许多重要的数学发现都是经过“猜想”这一非逻辑手段而得到的。例如著名的“哥德巴赫猜想”等。

二、审视“猜想与验证”的价值意义

（一）有利于渗透“模型思想”

史宁中教授认为，数学思想可归纳为三个方面的内容，可以用六个字表达：抽象、推理和模型。“模型思想”是一种基本的数学思想。小学阶段的数学模型的建立，虽然过程简化，但基本上也要经历“猜想与验证”的过程。这就是说，小学数学中模型的建立与大学数学中的数学建模，虽然在知识层次、目标定位、方法运用上千差万别，但其“作出合理假设（提出猜想）—验证结果（验证猜想）”的内核是一致的。所以，在小学阶段渗透模型思想最有效、最直接的办法就是大力培养学生“提出猜想—验证猜想”的科学精神。对于小学生提出的猜想，无论正确与否，只要是基于他们的经验，经过认真的思考，而不是胡猜乱说，教师都应该给予积极的正面回应。因为，真正的数学建模和科学研究一样，没有一猜就对、一猜就准的，往往要经历多次失败。而成功的秘诀之一，就是不畏惧失败，敢于再次提出猜想。因此，培养小学生猜想与验证的精神，重点不在于他们猜得有多准，而在于使他们“敢于猜想、乐于猜想”的意识，并养成“主动验证、自觉验证”的习惯，这是体会和形成模型思想所必需的。

（二） 有利于训练发散思维

所谓发散思维，就是想法多、点子多，不易受局限，不易拘泥于某个狭窄的范围。所谓思维的发散力强，就是常有异想天开的主意想出来，能够想到常规所难以达到的方面去，能够提出别人意想不到的见解，不仅点子多，而且新颖独到。小学生的思维方式大多是比喻的、联想的、归纳的、形象的、直观的。显然，他们的归纳是不完全的，却又是大量的。因此，在进行严格的收敛性思维训练的同时要继续保持和发展思维发散的特点，从而使学生既会收敛、论证，又会猜测、发现。学生不断学习猜想，尝试进行猜想，有意地促使自己去猜想，做猜想的训练，这十分有利于培养和改善学生良好的思维品质。“猜想与验证”就好比是一座金色的大桥，它让学生更畅快地通往前方，让学生更聪明，让学生有更多的机会走向发明创造。

（三）有利于激发创造力

培养学生的思维能力，引导学生通过数学学会思维，是数学教育的核心目标。《义务教育数学课程标准（实验版）》（以下称为“实验版”） 明确指出：“学生初步逻辑思维能力的形成，需要有一个长期的培养和训练过程，要有意识地结合教学内容进行。”“修订版”将“实验版”“教学目的”中培养学生“初步的逻辑思维能力”修改为“初步的思维能力”。表明我们在数学教学中要注意培养学生全面的思维能力，包括逻辑思维、形象思维和直觉思维。综观历年来的教学大纲与数学课程标准，对于“数学思维培养”的认识在提高、观念在更新，说明小学数学教学只重视逻辑思维能力的培养是不够的，还需要发展学生的形象思维和直觉思维。数学猜想实际上是一种创造性思维，“猜想与验证”有利于鼓励学生用多种思维形式思考问题，有利于学生解决问题策略的多样化，从而可以更好地培养和激发学生的创造力。

三、探寻“猜想与验证”的教学运用

在小学数学教学中，重视学生数学猜想能力的培养，就是要选择合适的题材，把握好教育与训练的时机，让学生经历从具体事例提出猜想的过程，教会学生猜想，进行合情推理，使学生获得探究、发现和验证的体验，从而训练学生数学猜想能力。那么，如何在数学教学过程中合理运用与有机渗透呢？下面试通过具体的案例来谈谈自己的教学策略。

（一） 归纳性“猜想与验证”的教学运用

数学家高斯说过：“数学中许多方法与定理是靠归纳法发现的，证明只是补行的手续而已。”归纳猜想是从个别或特殊的事物的判断，扩大为同类一般事物的判断，这种思维过程称为归纳猜想。教学中，数学概念的形成和法则的概括以及解题就应体现出归纳思想，要尽量通过直观图形的观察，或让学生自己动手借助于实物的讨论，在有了丰富感性认识的基础上提出猜想，进而归纳出相应的法则、性质和公式。在新知教学中要充分展示“发现新知的探究过程”，充分展现“获取新知的思维过程”，给学生充分的探索、归纳、发现的机会，培养学生初步的推理能力。如在教学“除数是整数的分数除法”时，有如下的教学片断。

师：教材的图中是一个长方形，把它涂色的部分平均分成2份，每份是这个长方形的几分之几？

师：如果将图中的涂色部分平均分成3份，每份是这个长方形的几分之几？

师：（再引导） 这个算式怎么计算呢？

（学生会发现算法1行不通了，算法2却行得通，进而思考：算法1有局限性，算法2是不是完全没有局限性呢？由此引发猜想：分数除以一个整数，都可以转化成乘这个整数的倒数。这个猜想是否成立，有待检验……）法2，即“除以一个整数，都可以转化成乘这个整数的倒数”这种方法更加具有普遍性，它既是根据前面的探究活动归纳出的算法，也是学生水到渠成得到的一个猜想，是否成立、是否完善，有待学生进一步的验证。

（二） 类比性“猜想与验证”的教学运用

类比猜想是根据两个或两类对象之间在某些方面的相似或相同，从而猜测它们在其他方面也可能相似或相同的一种猜想。教学中，我们既要让学生敢于自己去进行类比猜想，不怕失败；同时还要正确地指导学生进行合理的类比，讲清原则和作用。引导学生用类比推理作出合理猜想，再用严格的逻辑推理加以验证，这是我们数学发现和解决问题的基本而重要的思想方法。

在新知教学过程中，对于新旧知识紧密联系的内容，要抓住连接点，创设一定的问题情境，充分调动原有知识和经验，使学生能借助旧知产生“正迁移”，凭借“猜想—验证”的途径，先建立“类比猜想”，然后从不同角度来验证猜想，利用类比猜想来“创造”新知。要从学生的思维实际出发，顺应学生思路而又高于学生思路，引导学生从不同角度来探索问题，充分经历“类比猜想”的过程，从数学猜想走向数学发现，体现知识的“再创造”过程。

1.培养学生主动获取新知的能力

例如，在“平行四边形的面积”教学中，重点是理解和掌握平行四边形面积的推导过程,难点是启发学生想到“新旧”知识的转化。

师：先出示一个长方形（如图1），它的面积怎样求？

生1：长方形的面积=长×宽：6×4=24（平方厘米）

图1

图2

师：又出示一个平行四边形（如图2），它的面积怎样求？

此时，有些学生开始认为是邻边相乘：6×5=30（平方厘米）。

师：你是怎样想到的？

生2：因为长方形的面积等于长乘以宽，我猜想平行四边形的面积也可能是邻边相乘。

师：刚才，同学们能借助原有的知识进行大胆猜想，这种学习精神很值得提倡。那么，这种猜想是否正确呢？下面我们一起来验证这个猜想。

师：请同学们观察一下，上面的长方形和平行四边形，究竟谁的面积大？

生3：我们可以用数方格的方法来比较它们的大小。 （利用多媒体覆盖上小方格） 长方形共有小方格6×4=24（个）；平行四边形中整格的有18个，不满一个的可以拼一拼，如图3，一共又可以拼出6个，18+6=24（个）。

图3

师：对于平行四边形，怎样数小方格可以更快些？

生4：在数平行四边形的小方格时，我们可以沿着它的一条高剪下来（如图4），将它移到右边，拼成一个长方形，就能很快数出它有24个小方格。

生5：还可以沿着另一条高剪下来，也拼成一个长方形。

图4

师：通过数方格，你发现了什么？

生6：我发现长方形的面积和平行四边形面积相等。

生7：我发现刚才的猜想是错误的,如果用邻边相乘来求平行四边形的面积比它的实际面积偏大了。

生8：我发现将平行四边形变成长方形后，它的形状变了，但它的面积没有变。

师：那么，究竟怎样计算平行四边形的面积呢？

师： （放手让学生去探索） 请同学们进行小组讨论。

生9：从刚才数方格的过程中，我发现可以将平行四边形转化长方形。

上述教学，我从学生的思维实际出发，顺应学生思路大胆建立猜想，进而验证猜想，让不同层次的学生都有发现、创新的机会。这样，一方面验证了猜想是否正确；另一方面渗透了平移和转化的数学思想方法，为学生下面独立获取新知（将平行四边形转化为长方形）创造了非常重要的条件。

在巩固练习或解题教学中，先对问题作初步的逻辑分析，然后再依据已有的知识和经验，引导学生作出逼近结论的类比猜想。最后，再加以检验、修改和验证，真正做到“大胆猜想、仔细验证”。

2.“猜想与验证”相结合

在学习圆柱的表面积和体积之后，我出示了以下这道题。

把一个底面积为24平方厘米的正方体木块。削成一个最大的圆柱体，然后在圆柱体的表面涂上油漆。油漆的面积是多少？

学生们议论纷纷。大家都认为要求圆柱的表面积，需要知道底面直径（或半径）以及圆柱的高。可这道题只告诉我们正方体的底面积是24平方厘米，底面（正方形）的边长求不出来，怎么办呢？

一些善于思考的学生联想到以前做过的与今天的题目有点相似的一道题。

已知正方形的面积是10平方厘米，求正方形内最大圆的面积。（如图5）

图5

当时，我们也无法求出正方形的边长。就设圆的半径为r，找到了圆与正方形面积之间的关系：

上面这道题中圆柱的表面积与正方体表面积会不会也存在类似这样的规律呢？即圆柱的表面积是不是占正方体表面积的78.5%呢？

我们就列式计算，进行验算。设圆柱底面半径为r，正方体的棱长为2r。

说明刚才的猜想是正确的。于是，我们可以很快求出油漆的面积（圆柱的表面积）为：24×6×78.5% =113.04（平方厘米）。

此时，爱思考的学生还可以大胆猜想：题中的圆柱体的侧面积占正方体侧面积的百分率、圆柱体的体积占正方体体积的百分率，会不会也是78.5%呢？经过验证，猜想是正确的。

从上面可以看出：“大胆猜想”是探索规律、解决问题的重要条件。在解题教学中，我们既要让学生大胆猜想，又要引导学生仔细验证，并能依据条件或经验作出合理的“类比猜想”，让学生在观察、讨论、交流、猜测的过程中，学会思考，学会推理。

（三） 探索性“猜想与验证”的教学运用

归纳性猜想和类比性猜想都是根据已有的事实，经过观察、猜想、比较、联想，再进行归纳、类比，然后再提出猜想的。波利亚曾说：“我想谈一个小小的建议，可否在学生做题之前，让他们猜想该题的结果，或者部分结果。”在解决问题时，如果能先对问题作初步的逻辑分析，然后再依据已有的知识和经验，引导学生作出逼近结论的猜想。最后，再加以检验、修改和验证。我们把这种带有探索推理性的猜想称为探索性猜想。

波利亚曾说：“我想谈一个小小的建议，可否在学生做题之前，让他们猜想该题的结果，或者部分结果。”这样解题，使逻辑思维因素和非逻辑思维因素交织在一起，两者协同作用，有利于激活思维，开阔思路，把握问题的关键，提高分析问题、解决问题能力。

解题教学中，既要注重算理，又要合理估计结果，并能根据条件合理作出猜想，培养思维的创造性。引导学生从不同角度来探索，在探索过程中经历“先猜想、后验证”的体验与经历，将观察、分析、假设、验证交织在一起，不断提高学生发现问题、提出问题和解决问题的能力。如在数学活动课上，我出示以下一道求解题。

正方形ABCD和正方形CEFG，如图6排列，且正方形ABCD边长为10厘米，则图中阴影（三角形BFD）部分面积为______平方厘米。

图6

读完题后，学生们议论纷纷。

生1： 这道题缺少条件。 因为S△BDF=S正方形ABCD+ S梯形CEFD-S△ABD-S△BEF，由于小正方形CEFG的边长未知，所以无法求出它的面积。

生2：小正方形CEFG的边长未知？我们可以设小正方形边长为一个具体的数，比如6，则S△BDF=10× 10+（10+6）×6÷2-10×10÷2-（10+6）×6÷2=50（平方厘米）。

师：假设具体数进行运算，会怀疑题目是否缺少条件，我们不妨设一个字母参加运算，看能不能得到同样的答案。

生3：于是将6换成字母a，列出算式：S△BDF=10× 10+（10+a）×a÷2-10×10÷2-（10+a）×a÷2=50（平方厘米） ,算式中画“_____”部分可以相互抵消，求得结果还是50平方厘米。

师：是啊，字母a在计算过程中消失了！

生4：说明答案与小正方形边长的大小无关。

生5：50平方厘米正好是大正方形面积的一半。

生6：我猜想阴影部分BDF与BCD的面积相等。

师：那么，这个猜想是否正确呢？ （请小组讨论）

所以，三角形BEF与梯形CEFD面积相等，两者同时去掉公共部分梯形CEFH的面积，得到的△BCH与△DFH面积相等。

即S△BDF=S△BCD=10×10÷2=50(平方厘米)。

师：可见，要求阴影部分的面积，实际就是求三角形BCD的面积。

在上面的教学中，教师给学生提供了自主探索的机会，让学生在观察、讨论、交流、猜测的过程中，经历数学的学习过程，从中探索规律。引导学生从不同角度去分析、解决问题，逐步培养了学生探索和解决问题的能力。教学中，既让学生说算理，又引导学生估计结果，并能依据条件作出“合理猜想”，从中学会科学的思维方法。

综上所述，让学生充分经历探究、发现、猜想和验证的过程，合理有机地渗透数学思想方法，培养学生初步的数学推理能力，有利于从小培养学生确立科学态度和学习科学的思维方法。

（作者单位：江苏省丹阳市华南实验学校）

（责任编辑：杨强）