求圆周角常见错误分析

2017-09-23 02:02张静
初中生世界 2017年35期
关键词:圆心角圆周角量角器

张静

求圆周角常见错误分析

张静

圆是初中阶段重要的知识点,是中考考查重点内容之一.同学们在学习过程中感到知识点特别多,理解起来又特别难.针对弧、弦、圆心角与圆周角之间的联系,特别在求圆周角时常会出现错解、漏解等情况,借此文,笔者把求圆周角的易错之处总结并归纳.

类型一:知弦求圆周角

例1在直径为10cm的⊙O中,弦AB=5cm,则弦AB所对的圆周角为_______.

【错解】30°.

【错解原因】在同圆中,一条弦对着无数个圆周角,在这无数个圆周角中又可分为两种情况,一种是圆周角的顶点在优弧上,另一种是在劣弧上.同学们在无具体图形情况下,会习惯性地画出弦AB向上所对的圆周角这一种情况,其实还有向下所对的圆周角,且这两种情况的圆周角构成一个圆内接四边形,即对角成互补关系,如图1.

图1

【正解】30°或150°.

解:连接OA、OB,可得△AOB是等边三角形,即∠AOB=60°.

①当圆周角的顶点在优弧上时,则∠ACB=×60°=30°;

类型二:知圆心角求圆周角

例2如图2,扇形OAB的圆心角为122°,C是弧AB上一点,则∠ACB=_______.

图2

【错解】58°.

【错解原因】同学们以为∠ACB与∠AOB互补.出现这样的错误,主要是将四边形AOBC看成是圆内接四边形造成的.

【正解】119°.

【解法一】设点D是优弧AB上的一点,连接DA、DB,根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半可求得∠D的度数,再根据圆内接四边形的对角互补,即可求得∠ACB的度数.

解:如图3,设点D是优弧AB上的一点,连接DA、DB.

图3

∵∠AOB=122°,

∴∠ACB=180°-∠D=119°.

【解法二】如图4.

图4

∵∠AOB+∠1=360°,

∴∠1=360°-122°=238°,

例3如图5,量角器外缘上有A,B两点,它们所表示的读数分别是80°、50°,则∠ACB应为().

A.25°B.15°C.30°D.50°

图5

【错解】C.

【错解原因】同学们对实际生活中的工具量角器如何量角原理理解不透,误把量角器的读数理解成圆周角的度数.

【正解】B.

【分析】连接OA、OB,根据量角器的读数,可得出∠AOB的度数,再根据圆周角定理即可求出∠ACB的度数.

图6

解:如图6,设量角器的圆心是O,连接OA、OB,则∠AOB=80°-50°=30°,由圆周角定理得,∠ACB=15°.故选:B

类型三:知弧求圆周角

例4圆的一条弦把圆分成度数的比为1∶3的两段弧,则弧所对的圆周角等于().

A.45°B.90°

C.135°D.45°或135°

【错解】A或C.

【错解原因】弧有优弧与劣弧之分,部分同学在答题时容易只考虑其中的一种,解答不全面.

【正解】D.

【分析】由圆的一条弦把圆分成1∶3的两条弧,即可求得优弧、劣弧的度数,又由在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角的度数等于这条弧度数的一半,即可求弧所对的圆周角的度数.

图7

解:如图7,∵AB把⊙O分成1∶3的两条弧,

∴劣弧AB度数为×360°=90°,优弧AB度数为×360°=270°,

∴∠C=×90°=45°,

∠D=×270°=135°.故选:D.

(作者单位:江苏省连云港市门河中学)

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