巧用函数思想解决数列问题

张泓+徐德泽

数列的实质是定义域为正整数集N﹡或N﹡的有限子集的函数f（n），当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值。通项公式、前n项和公式都可看作某一函数的解析式，因此常可巧用函数的思想去解决数列问题。

1. 函数思想在数列的通项公式中的巧用

等差数列的通项公式可变形为 =nd+ -d设A=d，B= -d，则 =An+B，这样可把 看作自变量为n的一次函数。故就可根据数列的通向公式来判断是否是等差数列，也可结合一次函数的单调性判断数列的类型。

例1数列{ }的通项公式为 =3n+5，则该数列是﹙﹚

A公差为3的递增的等差数列 B公差为5的递增的等差数列

C首项为5的递减的等差数列 D首项为5的递增的等差数

解析：可选A。

等比数列的通项公式可变形为 =﹙ ﹚q ，设A= ， =Aqn﹙q≠1﹚，这样就可把 看做是自变量为n的指数型函数，也可根據数列的通项公式判断是否是等比数列。

例2数列﹛ ﹜的通项公式为 =3×2n，则此数列是﹙ ﹚

A 首项为3的等比数列 B 首项为2的等比数列

C 公比为2的等比数列 D 公比为3的等比数列

解析：可选C。

把等差数列和等比数列的通项公式看作函数来解决相关问题就显得较为方便。

2. 函数思想在数列的前n项和中的巧用

等差数列的前n项和公式可变为为sn= n2+（ - ）n，（d≠0）设A= ，B= - ，则sn=An2+Bn，这样sn就可以看作以n为自变量的二次函数，可根据前n项和的公式来判断是否是等差数列，也可利用求二次函数的最值的方法来求前n项和的最值问题了。而对于等比数列的前n项和公式可变形为sn=– + ，设A= ，则sn=-Aqn+A。由此可见，非常数数列的等比数列的前n项和 是关于n的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数；而当 ≠0时，常数数列 =n 是关于n的正比例函数。

例3 一个首项为正数的等差数列，前3项的和等于前11项的和，问此数列前多少项的和最大？

解法1 由题意， >0，d﹤0，

故 最大等价于

≥0且 ≤0

即 +（n-1）（- ）≥0 且 +n（- ）≤0

解之，得6.5≤n≤7.5

∴n=7时，sn最大。

解法2 由于 =a +bn为n的二次函数，由 = ，可知其图像的对称轴为

n= =7

故当n=7时， 取得最值。

而由题意， ﹥0，d﹤0.

故sn之最值为最大值。

解法3 ∵s3=s11，

∴3 + d=11 + d

∴d=- ﹤0

Sn=n（ + d）

=- （n-7）2+

∵ ﹥0，

∴- ﹤0，故当n=7时， sn最大。

解法1是通过研究通项的符号，确定最大值时的取值的，这是研究最值问题的常规方法。解法2、解法3都是根据二次函数的性质进形求解的。运用函数思想寻求最值，这是常用的解题方法。这里应该注意：当已知条件为 = 时，利用二次函数的性质研究最值最为方便。通过研究二次函数图象的对称轴，不难发现如下规律：

在等差数列{an}中，若a1﹥0，且sp=sq（p≠q），则

若为p+q为偶数，则n= ，sn取得最大值；

若为p+q奇数，则n= 或 时，sn取得最大值。