走出概念教学的四个误区

郑璘玲

数学概念是客观世界中的数量关系和空间形式及其本质属性在人的思维中的反映，它摒弃了事物的表面属性。小学数学概念教学必须顺应小学生掌握数学概念的直观感知—形成表象—抽象特征—内化概念的认知规律，让学生亲身经历数学知识的抽象与概括过程，去伪存真，由表及里，将感性认识转化为理性认识。由于一些教师对概念教学的理解不到位，把握不住教材中数概念与形概念的呈现特点，常常陷入重结论轻过程、重内涵轻外延、重抽象轻表象、重实物轻语言的误区。结果是教师糊涂教，学生糊涂学，直接影响了学生的数学建构和今后的数学学习。笔者愿抛砖引玉，结合自身教学实践，以人教版《数学》三年级下册“什么是面积”一课为例谈一谈如何正确认识数学概念教学的价值以及应对概念教学中存在问题的策略，实现概念的价值回归。

一、找原型，促感知，引入概念

小学阶段是学生进行数学学习的开始，学生认知水平、思维水平处于发展的起步阶段，对具体形象思维还有依赖，抽象逻辑思维还不成熟。教师如果没有提供足够的感性材料作为支撑，学生既没有经历抽象过程，又没有经历用自己的语言尝试概括的过程，任何抽象化和形式化只能使学生走进死记硬背的死胡同。这样的背诵记忆只是机械识记，对概念的理解只能停留在表面，是暂时的，并没有触及本质。这种淡化概念形成过程的数学，只能使数学营养尽失，事倍功半。

上好概念教学课，首先要重视概念形成过程，加强过程性教学。笔者在教学此课时，从课前了解到学生对于“面积和面积单位”概念的生活经验只是略有所知，只有少数的学生在家长买房时曾零碎地听说过面积、平方米等词语，对面积这个概念的内涵和外延却知之甚少，生活经验积累不多。缘于认知经验的欠缺，笔者“乘势而上”，先从长度的复习引入新课，继而引出面，再利用学生身边的直观教具，以常见的正方形、长方形和圆为感性材料，创设一定的数学情境，直观感性地告诉学生这些封闭图形的内部区域是可以度量的。再通过动手“印”和“刷”，“印”出圆柱体的底面，“刷”出正方形和长方形的面，建立良好的空间观念，感知物体表面或者封闭图形的大小就是我们要学习的面积。为了加深学生对面和面积的认识，笔者让学生动眼、动手、动脑，调动他们的视觉、听觉、触觉等多种感官，观察、比较教室里的地面、天花板和黑板，悟出物体的面在生活中无处不在，而且形状各异，有大有小。这样，学生就完成了新旧知识的过渡，增强了感知效果，循序渐进地理解了两个不同的概念。实践证明，直观几何是一种经验几何，直觉判断是一种由直觉思维引起的主体认知过程，能让学生根据对事物的生动直觉，不经过完整的推理而直接顿悟出结论，快速把握事物的本质特征和规律。

“活动是认识的基础，智慧从动手开始。”只有充分感知，才能较好地形成概念的表象。动手操作并不是学习数学的目的，而是解决问题的策略。以问题驱动，设计多种活动让学生参与，帮助学生带着思辨进行操作，伴随着质疑、判断、比较、选择、分析、综合、概括，让学生从外显走向内隐，探究明理，并借助图形等中介，促进操作经验内化，帮助学生建立起半直观半抽象的表象，从而建构出清晰的数学概念。

二、依感知，建表象，形成概念

感知直观素材，建立表象，虽然只是对事物表面现象与外部特征的认识，即感性认识，但是对于学生掌握概念来说是极其重要的。从直观感知到抽象出概念，离不开建立表象这一中间环节。学生的感性认识越丰富，表象就越清晰，想象就越生动，理解和掌握概念也就越容易。表象作为抽象的基础是不可或缺的桥梁，意义不言而喻。

面积比起长度来，确实给学生造成了不少的麻烦，课上一半，有的同学仍然半信半疑。为了帮助大家吃透面积这个概念，笔者在引导学生根据直观材料产生表象的同时，让学生对所形成的表象做出适当的加工、提升、整理和概括，进行初步变换，形成概念。课上，笔者准备了一张方格纸、一些小正方形，还有剪刀，让学生亲自动手剪，比一比两个周长都是18的正方形和长方形，它们的面积谁大谁小。摆放3×6的长方形用了18块小正方形，摆放2×7的长方形需要14块，而摆放1×8的长方形只用了8 块。通过实践，让学生直观感知：两个周长相等的封闭图形，它们的面积不一定相等。显而易见，动手操作、合作学习是学生进行探索学习、建立表象的好方法。通过动手，巧妙地运用发现的手法，由浅入深地和学生一起共同经历了操作感知—建立表象—形成概念的過程。再经历层层递进的体验和反思活动，反复比较、类比，抽象出“如果周长一定，当长方形的长与宽的差越大时，面积会越小”。帮助学生逐步丰富和建构对面积本质意义的理解，厘清概念、明确不同，尽可能让学生经历情境—表象—内涵—符号的抽象之旅，体验数学思维之美。

三、抓内涵，用变式，掌握概念

数学概念是整个数学知识结构的基础。任何一个概念都包含了内涵和外延。概念教学不仅要深入理解概念的内涵，还要“内”“外”兼修，明确它的外延。有的教师认为只要揭示了某个数学概念的内涵，学生就明确了这个数学概念的全部，从而忽视了数学概念外延的教学，这是大错特错的。

课上，有位同学说，“因为长方形的宽拉长一点，长就变得短一些，这样一直变下去，长方形就有可能变成正方形，所以说它们的周长相等，面积也就相等。”这位学生显然是混淆了周长、面、面积的概念。

周长、面和面积是三个不同的概念。周长是封闭图形一周的长度，面是指有长有宽而没有厚度的一种行迹，而面积是指一个物体表面或平面图形所围成的区域的测度。如果课堂上教师用如此抽象的语言给出定义，三年级的学生多数会“丈二和尚模不着头脑”。然而，三年级的学生又容易把这三个概念等同起来，怎么办呢？为了解决这个问题，笔者顺水推舟拿出一个边长为9厘米的正方形和一个长为15厘米，宽为3厘米的长方形。让大家动手计算，得出它们的周长都是36厘米。然后把它们叠在一起，这样正方形多出来的部分显然比长方形多出来的部分大，让学生通过这个例子正面感知周长相等的长方形和正方形，它们的面积有大有小。endprint

概念教学还要举反例，因为数学概念的反例可以传递出最有利于学生辨别的信息。接着笔者又让学生用16块边长相等的小正方形组合成不同的正方形或长方形。有排成4×4的正方形的，也有排成2×8和1×16两种长方形的。正因为这些图形用的小正方形数都一样，它们的面积都是16。再请一位同学来当助手按一按，老师用绳子沿着这些正方形和长方形的边把它们围起来，首尾相接，然后去比较它们的周长。通过一番探究，从反面得出面积相等的长方形和正方形，它们的周长也是不同的。

为了突出概念的外延，笔者又采用变式教学。因为变式例证具有“形变而质不变”的性质，运用变式例证，既可以使学生更深入地理解概念的内涵，又可以使学生更好地明确概念的外延。长方形的内涵是两组对边相等，四个角都是直角，其周长等于长与宽的和的2倍，面积等于长与宽的积。立足于“形”，长方形的外延包括正方形、平行四边形和菱形；立足于面，长方形的外延是周长与面积。于是笔者放手让学生分组合作交流，用方格纸画出三个面积等于7个小正方形面积的不同图形来，让学生接受挑战。笔者还通过解决实际问题，根据两个不同概念的已知数，轮番去求出其他的量。并尝试将多个相同的正方形拼成一个新的长方形，感知它的周长变短了。不断地强化概念与概念之间的辨析，厘清周长、面和面积的差别与联系，牢牢地抓住各个概念的本质属性，引导学生正确描述概念或给概念下定义。

四、抓练习，会表达，应用概念

有人把数学比作大厦，概念则是建厦之砖。从某种意义上说，数学教学就是概念教学。再者，数学概念的定义有下定义和描述式定义两种不同的方式。而在小学数学阶段，许多数学概念都是用描述性语言来表述的。数学语言的规范表达是学生数学素养的“睛雨表”和“温度计”。与其他数学知识的教学一样，在概念教学中，教师从图形直观认识教学开始就要重视引导学生进行数学语言表达能力的训练，并贯穿教学全过程，逐步引导学生实现生活语言到数学语言的转化，学会抽象概括，学会透过表面看到实质，学会用自己的语言描述概念的定义或者解释某一数学原理，加深对数学概念的理解，牢固掌握数学原理。

课后，笔者特意选择了三年级两个班110名学生进行后测，要求学生独立思考完成调查试卷。

不难发现，课后仍有7.2%的学生对面积的概念存在错误认知，有回答长方形面积=6×8=48米。有的给一块长40 厘米，宽30厘米的玻璃框加木框，至少需要1200厘米长的木条，玻璃的面积是140平方厘米。在回答“什么叫面积？”时，有的说“面积是指一个物体的长度”，面积与长度相混淆，分不清周长与面积。从表面上看是学生对面积公式理解不到位，实际上是对面积和面积单位的概念理解不透造成的。能用规范的数学语言来表达的只有17人，大多数学生对“面积”的概念有一定的认识，还不能用语言清晰地表达出来。比如， 有的说“一个物体表面的大小”“占地的大小”“一个图形面的大小”“周长里面的哪些部分是面积”等，从语言表达来看，有的学生对“面积”的概念是能意会的，但无法准确言传。因此，教师要从概念基本要素入手，贯穿于学生直观感知、具体概括、抽象分析和判断推理等思维全过程，将学生的内部语言转化为规范语言，逐步脱去那层不规范、不科学的外衣，梳理知识之间的纵横联系，学会用规范语言描述概念，经历尝试描述—揭示概念的过程，牢固地建立数学概念的认知结构。

總而言之，教学有法，教无定法。以上教学模式决非“万能”不变的，不应机械、教条地对待，更不要刻板地套用。一定要根据数学教学的实际内容和学生的认知状况，灵活把握，走出误区。

[责任编辑：陈国庆]endprint