迈好从算术思维到代数思维的关键一步

陈为强

“用字母表示数”是小学数学代数教学内容的起始课，对于小学生来说，从具体的、确定的数过渡到用字母表示抽象的数、可变的数（即深刻理解字母既可以表示已知的数量，又可以表示未知的数量；字母既可以表示确定的数量，又可以表示变化的数量；含有字母的式子既可以表示结果，又可以表示关系），这是认识上的一次重大转折，更是认识上的一次飞跃。因此教师要深度挖掘“用字母表示数”的数学意蕴，帮助学生经历从具体到抽象，理解从确定到可变，从关注结果到关注关系，迈好从算术思维到代数思维的关键一步。

一、感受字母“表示” 运用的广泛性

字母在生活中有着广泛的运用，因此要从学生生活经验入手，使其感受到字母在生活中的运用具有广泛性，明确生活中“用字母表示”的更多特点是简洁性。上课伊始，教师询问学生是否知道“KFC”店面图片代表的意思。学生回答“KFC”是“肯德基”的标志。教师紧接着问车牌“苏C 01765”和英语单词centimeter和kilogram中英文各代表什么意思？学生指出车牌中“C”特指江苏省徐州市，而对于另外两个单词表示的意思不清楚。教师指出centimeter缩写为cm，代表长度单位厘米后，学生马上猜测Kilogram的缩写是Kg，代表质量单位千克。教师肯定学生的推测后，追问为什么在生活中大家喜欢使用字母来表示。教师在学生发言的基础上总结用字母表示含义比较固定，书写简洁方便。字母在现实生活中被广泛使用，这是学生的现实基础，但教师要明确这里的字母有时会赋予其 特定的数值或内涵，如扑克牌中的英文字母；有时字母被看作一个具体对象的速记，如“KFC”表示“肯德基”；有时被看作一个单位名称的缩写，如“kg”“km”等。生活中字母表示的内涵往往是固定的、约定俗成的，凸显更多的是字母表示的方便简洁，落脚点更多是“表示”。

二、感悟字母表示“数”的概括性

基于学情和对新知识学习障碍的理性分析，教师选择了最朴素、最简单的材料作为教具（白、黄、蓝粉笔盒各一个，粉笔若干），以便于学生能直面数的状态，体悟字母表示“数”的形成过程以及其丰富的内涵。在接下来的教学中，教师取出一个白粉笔盒，两次分别放入2支和5支粉笔，学生明确粉笔支数分别用数字2和5来表示。教师接着隐蔽装进若干支粉笔，并让学生说明现在盒中粉笔支数。学生提出几种猜想，但不能確定。教师追问：大家前两次意见比较统一，为什么这次无法确定？学生指出前两次他们看见了粉笔盒中放入粉笔的支数，这次放入粉笔的支数没让看到，所以无法确定。教师：既然有那么多种可能，为什么没有同学猜测盒子中有200支粉笔呢？学生阐释：因为粉笔盒的容量有限，根本装不下。教师追问：尽管盒中粉笔支数无法确定，但有一定的范围，它又该怎样表示？学生们有的说用“？”表示，有的建议用“□”表示，还有的主张用字母“a”来表示。教师借势而导：这几种方法都能表示无法确定的数量，如何表示它，数学的发展经过了上千年，大家猜想数学家最终会选用什么方法？学生统一意见——用字母表示。教师：对于不能确定的数可以用字母表示（老师在此粉笔盒上写上a），这里的a可以代表哪些数，用a来表示有什么优势？学生踊跃表达：字母a代表的数很多，包括粉笔盒中能装下粉笔的支数，它能把多种情况全部囊括，尤其当数目不能确定时，用它更合适。教师再追问：粉笔支数a与长度单位cm都用字母表示，有何不同？学生明确字母a表示粉笔的支数，是一个在一定范围内不确定的数，除了可用字母a表示之外，还可用其他字母表示；用cm表示的是厘米这个长度单位，是一种简写，并且单位名称的缩写往往是固定的。教师顺势总结这里面用字母表示的是数，一个不确定的数。

由于粉笔盒不带有情境因素，因而很快就将学生的思考聚焦到数的表示上，当学生看见教师向粉笔盒放粉笔时，数是确定的、唯一的，可以用数字来表示数；当学生看不到放入粉笔的支数时，用数字就无法表示不确定的数，从而产生一种表征不确定的数的需要，这样用字母表示数像呼吸一样自然产生，让学生体验到用字母表示数的必要性和概括性，完成字母表示数从“个”到“类”的提升。同时在粉笔盒容量的大小中，教师也帮助学生理解字母表示的数有时候是有一定范围的。通过生活中的用字母表示和粉笔盒中粉笔的支数用字母表示这两类字母内涵的对比，学生在交流中感悟到它们内涵本质的不同，明晰用字母表示的数是不确定的、是未知的，是一种对特定数的描述，其根本在于数，数发生变化了，所以表示数的方法也跟着发生变化，学生在顺应中实现用数字表示确定数到用字母表示不确定数的转变，符号意识得到培养，代数意识开始萌芽。

三、体悟“字母式”表示的优越性

通过直抵数学本质的操作和思维碰撞，学生感悟到用字母表示数中的数的变化，领悟“用字母表示数”外延的丰富性，但学生常常对字母式与字母在表示数的优、缺点上理解的不深刻，不能感悟出字母表达式对于关系、结构的关照，教师可让学生在对比中体会字母式表示的优越性。教师拿出一个放了粉笔的黄色粉笔盒问，这盒内粉笔的支数又该如何表示？一生主张用字母a表示，另一生反驳：白粉笔盒中粉笔的支数已用字母a表示了，此处不能再用a表示了，否则就区别不出a代表哪盒粉笔的支数，粉笔盒不同，粉笔支数也不一定相同，可以用其余字母来表示。通过争辩学生明晰两个盒中的粉笔支数可能不同，最好用不同字母表示。（教师在黄色粉笔盒上标注字母b。）教师问：用a和b分别表示白色、黄色粉笔盒中粉笔的支数，如果再增加一个信息，黄粉笔盒比白粉笔盒多3支，那么a、b大小之间的关系能确定吗？能举例吗？学生说明：比如a小于b，表示如果白粉笔盒中有10支，那么黄粉笔盒的支数就是13支。教师趁势追问：这位同学使用了一组关联词语，它有什么好处？学生回答：使用“如果……就……”关联词的好处是如果a确定，b也随之确定，如果a发生变化，b也随之发生变化，但是黄粉笔盒比白粉盒多的支数没有变化——还是3支。

上述教学，既及时巩固了学生用刚刚学到的知识解决新问题——用字母表示黄粉笔盒中粉笔的支数，同时又补充条件，将两盒中粉笔的支数进行沟联，沟通两个数量之间的关系，确定了两个数量之间的特定关联性。通过学生列举数据，将静止的数学变得思维涌动，将学生孤立、静止的认识引向全面和运动，在列举数据的过程中学生体悟到一个数量变化，另一个数量相应地随之变化，但保持不变是这两个数量之间的差，代数思维中的函数思想得到了初步渗透。endprint

用含有字母的代数式既能表示两个数量之间的关系，也能表示运算结果，比较而言，后者学生理解起来比较困难，于是教师这样教学。教师：大家刚举了许多例子，老师也想举一个，你能猜出来吗？学生表示有多种可能，不能保证一定猜对。教师：大家猜不出我的例子，但我却能“猜出”你们所有人举的例子（板书a+3），大家随意举例验证是否正确？（学生举例验证。）教师追问：现在黄粉笔盒中的粉笔数有了两种表示方法b和a+3，哪种方法更好？为什么？师引导学生体会用a+3表示的优势，不仅看出黄粉笔盒中粉笔的支数比白粉笔盒中的支数多3支，而且还知道只要明确a的数量，就能求出黄粉笔盒中粉笔的支数，逐步感悟出a+3不仅能表示出两盒粉笔中支数的关系，还能表示黄粉笔盒中粉笔的数量，如果用b来表示，则无法确定a与b之间的大小关系。教师归纳字母式不仅能表示两个数量的关系，还可以表示黄粉笔盒中粉笔的支数。

上述教学环节中学生依据教师增补的条件轻松地举例，而这些例子为学生下一步的对比和感悟提供了材料。教师一句“你们猜不出我的例子，但我却能‘猜出你们所有人举的例子”激起学生的认知兴趣，也激发新知识学习的需求。而用a+3这一简单的字母表达式与学生之前例举的大量例子形成强烈的对比，使学生感受到字母表达式形式上的简约性和外延的丰富性，感悟到字母表达式的优势与内涵，而a+3本身，既表示两个数作加法运算，又表示a+3的结果，学生在此过程中经历了“缩略”代数形成的过程，体悟到虽然字母表示的是未知的、不确定的数，但含有字母的式子，却能较好反映两个数量之间特有的关联性，表示出对数量关系的一种确定。学生深层次明晰a+3本身既可以看作运算过程，又可以看作运算结果，初步了解到代数思维既包括过程性，又体现了结构性的特征。

四、体验“字母”表示的相对性

从用字母表示确定的数到用字母表示不确定的数是学生代数思维的第一次提升，引导学生用含有字母的式子表示数量关系，从关注结果到关注结构，实现了代数思维的第二次提升，但如果仅仅到此为止，学生代数意识的培养还是有所欠缺，为了充分打破学生算术思维的藩篱，教师可引领学生感悟 “用字母表示数”的相对性，树立辩证意识和标准意识，如此学生才能触摸到代数思维的本质，感受代数思维内在文化特质，领悟其特有的理性精神。教师特意这样教学：白粉笔盒的粉笔支数为a，黄粉笔盒的粉笔的支数为a+3，现在还有一个蓝粉笔盒的支数为a-1，那么黄色和蓝色两个粉笔盒中粉笔的支数有什么关系？学生推测蓝色比黄色盒中粉笔的支数少4支。教师设问：如果蓝盒粉笔支数为a，那么另外两盒中粉笔的支数呢？学生推测若蓝盒粉笔的支数为a，那白盒粉笔的支数为a+1，黄盒粉笔的支数为a+4。教师引导学生辨析同样是黄盒粉笔的支数，为何有时用a+3表示，有时用a+4来表示？学生发现a表示的数目不同，所以表示黄盒的支数也就不同，但三个盒子中粉笔支数之间的相差关系是无法改变的。上述教学主要渗透了标准不同，造成表示同一个事物数量的算式也不同，引导学生注意到用字母表示数还要关注标准量这一要素，巧妙树立标准量的意识，同时在变化中寻找不变，相机渗透辩证思想。

五、明確字母“乘法”运算简写的合理性

对“数与字母、字母与字母相乘，乘号可以省略”这一规定性的内容，教师要深挖教材，引导学生理解这一规定存在的合理性，理解任何数学规定都有其背后的道理，培养其质疑能力，发展其理性观念。在本节课课尾，教师引导学生质疑：大家通过数学阅读已知“数与字母、字母与字母相乘，乘号可以省略”这一规定，对于这一规定你有什么疑问吗？一位学生不明白为什么“数与字母、字母与字母相乘，乘号可以省略，其他运算却不能省略？”教师启发：学贵有疑，想一想是什么原因？另一生指出：可以举例如5÷a，5-a，5+a，如果也把运算符号省略的话，都写成5a这一形式，反过来我们碰到5a时，就不能辨别5a代表是哪种运算。又一生补充：如果把数字与数字之间的乘号省略也会出现问题，例如6×6，如果中间的乘号省略，就变成了66，与两位数66就混为一谈了，看来“数与字母、字母与字母相乘，乘号可以省略”这样的数学规定是有一定道理的，既能达到简写的目的，又能避免出现混淆现象。在这个教学片段中，学生质疑，自我释疑，通过火热的思考感悟到数学规定不是冷冰冰的，而是存在着“脉脉温情”，教师引导学生明晰这样规定的道理，也就是我们常说的让学生不仅知其然，还要知其所以然，感悟数学是讲“理”的，当学生明白其中隐藏道理后，才能够把知识看清、看明、看透。在一定意义上说，唯有学生对于知识“入木三分”地理解，才能对于知识“入骨三分”地掌握。

[责任编辑：陈国庆]endprint