探析一道解析几何题的求解策略

虞 懿

浙江省金华市第六中学 (321000)

探析一道解析几何题的求解策略

虞 懿

浙江省金华市第六中学 (321000)

解析几何的核心方法是用代数的方法研究图形的几何量(性质)，核心思想是“数形结合”．2017年高考浙江卷第21题，保持了浙江卷背景熟悉、入口宽泛、解法多样的一贯风格，细细品读深感底蕴纯厚，紧扣解析几何的思想精髓．本文从解决解析几何问题的核心思想出发，着重探究本题第(Ⅱ)问的求解策略．

图1

一、试题展示

(Ⅰ)求直线AP斜率的取值范围；

(Ⅱ)求|PA|·|PQ|的最大值．

品读：本题以抛物线为载体，主要考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的位置关系、斜率与弦长等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．设计新颖，构思巧妙，耐人寻味，令人赏心悦目，体现了“能力立意”的指导思想，凸显了数学试题的选拔功能．

二、求解策略

(Ⅱ)策略1：选择恰当形式，实现几何量的代数表示

“几何量的代数表示”是解决解几问题的关键，在本题中的几何量是“|PA|·|PQ|”，用什么样的代数形式来表示这个几何量？对于弦长问题，很自然地联想到圆锥曲线的距离和弦长公式．而在解几中描述弦长的代数形式就是点或斜率，由此可想到用点坐标或斜率来表示几何量“|PA|·|PQ|”．

解法1：联立直线AP与BQ的方程

评析：联立两相交直线方程求出点Q的坐标，再根据两点间的距离公式，以斜率为参变量来表示弦长，建立目标函数．

评析：涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，通过设而不求计算弦长，以求达到简化运算的目的．

策略2：借助参数方程，实现几何量的代数表示

评析：利用直线的参数方程中参数的几何意义，避免了繁琐的计算，使得方程的联立简便易得.

策略3：回归向量知识本质，实现几何量的代数表示

向量具有代数、几何双重身份，融数形于一体，是沟通代数和几何的桥梁．它可以将几何问题坐标化、数量化，因此它是解决解析几何问题的重要工具．

评析：本解法构建平面向量，利用数量积的定义求|PA|·|PQ|，简洁明了．在探究解题思路时，要善于从不同的角度分析、挖掘它与其他知识的联系，在平面解析几何中有关长度、角度的计算及有关平行、三点共线、垂直等位置关系问题都可以用向量知识解决．

策略4：妙用极化恒等式，实现几何量的代数表示

评析：极化恒等式的应用，由一般的直接运用到结合具体问题的巧用，需要学生恰当地运用转化思想，注意化动为定，特别是要结合题中的隐性特征进行转化处理，才能达到事半功倍的效果．

策略5：利用圆幂定理，实现几何量的代数表示

圆幂定理是平面几何中的一个定理，是相交弦定理、切割线定理及割线定理(切割线定理推论)的统一．例如，如果交点为P的两条相交直线与圆O相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD．

图2

评析：巧妙利用圆幂定理进行转化，得|PA|·|PQ|=R2-|PC|2，避开求点Q的坐标，从而大大简化运算，并且后续化简也比较方便．

三、探究感悟

解析几何的核心方法是用代数的方法研究几何问题，在解题过程中，首先要将文字信息、图形条件进行转换，通过代数语言描述几何要素及其关系，将待求的几何量表示成代数式，然后进行适当的代数运算得出代数结果，最后通过分析代数结果的几何含义解决几何问题．在这个过程中要经历文字信息、图形特征和符号语言之间的多重转换，因此，我们必须重视对几何量(关系)的深入研究，探究用何种代数形式能恰当表示题目中的几何量(关系)，同时有利于代数运算，从而形成正确的解题策略．