待定系数法在中学数学中的应用

孙红玲

摘 要：待定系数法是中学数学中非常重要的方法之一，应用较为广泛。本文简单介绍了待定系数法的概念，通过实例分析总结出了解题步骤，有利于学生较快的理解、掌握。

关键词：待定系数法；函数；数列；曲线方程；向量

著名数学教育家波利亚说过，掌握数学就意味着要善于解题。而当我们解题时遇到一个新问题，总想用熟悉的题型去“套”，这只是满足于解出来，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，才能提出新看法、巧解法。高考试题十分重视对于数学思想方法的考查，特别是突出考查能力的试题，其解答过程都蕴含着重要的数学思想方法。对中学生而言要有意识地应用数学思想方法去分析问题解决问题，形成能力。

高考试题主要考查的数学方法有配方法、换元法、待定系数法、数学归纳法、参数法、消去法等。其中待定系数法是指要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f（x）=g（x）的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f（a）=g（a）；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。

笔者从多年在一线的教学体会中对待定系数法的主要应用归纳举例如下：

一、求解函数式

例1：已知f（x）是二次函数且f（0）=2，f（x+1）-f（x）=x-1，求f（x）的解析式。分析：首先用字母设出函数的解析式，利用已知的条件建立方程或方程组，解方程组，求出未知数，写出函数解析式.

解：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0），由f（0）=2，得c=2

f（x+1）-f（x）=a（x+1）2+b（x+1）-ax2-bx=x-1

即2ax+a+b=x-1 故有a= b=﹣

所以f（x）= x2- x+2

注：在求函数解析式时，如果知道函数的类型，就可先设出函数解析式，再用待定系数法求出待定系数，得到函数解析式。

二、求函数的最值

例2：有矩形的铁皮，其长为30cm，宽为14cm，要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形，将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子，问x为何值时，矩形盒子容积最大，最大容积是多少？分析：实际问题中，最大值、最小值的研究，先由已知条件选取合适的变量建立目标函数，将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究。

解：依题意矩形盒子底边边长为（30-2x）cm，底边宽为（14-2x）cm，高为xcm。

∴盒子容积V=（30-2x）（14-2x）x=4（15-x）（7-x）x，

显然：15-x>0，7-x>0，x>0。

设V= （15a-ax）（7b-bx）x （a>0，b>0）

要使用均值不等式，则﹣a-b+1=015a-ax=7b-bx=x

解得：a= ， b= ， x=3。

从而V= （ - ）（ - x）x≤ （ ）3= ×27=576。

所以当x=3时，矩形盒子的容积最大，最大容积是576cm。

三、求数列通项公式

例3：已知数列an中，a1=1，an=2an-1+1（n≧2，n∈N）求数列an的通项公式。分析：利用待定系数法求数列的通项公式，首先把某些已知条件转化成我们熟知的简单的数列的形式，比如等差数列、等比数列等，用字母表示，然后根据数列的性质，解出未知数，即可得结果。

解：因为an=2an-1+1，可设an+λ=2（an-1+λ），

解之λ=1， 故an+1=2（an-1+1）

令bn=an+1，则bn=2bn-1，因此bn是等比数列，公比为2，b1=a1+1=2

所以bn=2×2n-1=2n，即有an+1=2n，an=2n-1

注：求数列通项公式方法灵活多变，特别是对于给定的递推关系求通项公式，观察，分析，推理能力要求较高。

四、向量中的共线问题

例4：若向量 ， 是不共线的两向量，且 =λ1 + ， = +λ2 （λ1，λ2∈R），则A，B，C三点共线的条件是 __。分析：用待定系数法解决这种向量问题，可以先根據向量的关系，设出待定的未知数，列出相应的方程组，解方程组，求待定的未知数，然后就可求的题目所要求解的答案.

解：求A，B，C三点共线的条件即为求向量 和向量 的条件，则根据向量共线的条件可知，存在μ（μ∈R且μ≠0），使 =μ ，即λ1 + =μ（ +λ2 ）.

由向量 和 不共线，则根据 ， 前的系数相等可列出方程组λ1=μ1=μλ2

则可解得μ=λ1= ，故可得到λ1λ2=1.

评析：这类题型总的来说是根据向量的相等来建立等式的，从而得出待定的系数，解出所求的答案.

通过以上几个实例来看，使用待定系数法的关键在于如何列出一组含待定系数的方程，其主要应从以下几方面着手分析：利用对应系数相等列方程；由恒等的概念用数值代入法列方程；利用定义本身的属性列方程；利用几何条件列方程。它解题的基本步骤是：第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。

当然，待定系数法在中学数学中不仅仅限于以上几种用法，在其他方面还有较为广泛的应用。所以，要用好它并不是一朝一夕的事，但平时只要善于总结，注重积累，就不难掌握这种非常重要的数学方法，从而为我们解决此类问题带来帮助。endprint