数学思想方法助你“飞”得更高

2017-11-09 11:40孔德良
初中生世界·七年级 2017年10期
关键词:代数式火柴字母

孔德良

有人把数学中的“知识技能”与“思想方法”比喻为鸟之双翼,如果说扎实的数学知识和基本技能能够帮助你在数学学习中“飞”得更远,那么,数学思想方法就能够帮助你“飞”得更高.从“代数式”这一章内容开始,数学思想方法将在数学学习的过程中扮演越来越重要的角色,起着越来越重要的作用.下面就选择本章中主要的几种数学思想方法,通过例题就其在解决问题的过程中的作用予以分析.

一、特殊到一般思想

例1 下面是小朋友用火柴棒拼出的一组图形:

仔细观察,找出规律,解答下列各题:

(1)第四个图中共有 根火柴,第六个图中共有 根火柴;

(2)按照这样的规律,第n个图形中共有 根火柴(用含n的代数式表示);

(3)按照这样的规律,第2 017个图形中共有多少根火柴?

解析:(1)13;19;(2)3n+1;(3)6052.

总结:从特殊到一般是数学中重要的思维方式之一,也是重要的数学思想方法,其特征是通过对特殊现象的认识,利用归纳、类比、猜想等方法,探索、发现一般性结论.本题通过观察现有特殊图形,把形的规律转化为数的规律,再利用数的一般性结论,解决形的问题.

二、整体思想

例2 若x2-2x=3,则5x2-10x+1= .

解析:因为x2-2x=3,所以5x2-10x=15,原式=16.

例3 若当x=1时,px3+qx+6的值为2013,则当x=-1时,px3+qx+6的值为 .

解析:当x=1时,得p+q+6=2013,所以p+q=2007,当x=-1时,px3+qx+6=-p-q+6,所以,原式=-(p+q)+6=-2007+6=-2001.

例4 已知a+b=3,ab=6,求2a+2b+ab的值.

解析:原式=2(a+b)+ab=12.

总结:上述三个问题都是求代数式的值的问题,它们有一个共同的特征——在已知条件中无法求出每个字母的确定值,当遇到这种情况时,通常我们可以把一个代数式看作一个整体,求出它相对应的值,再把这个代数式整体代入所要求值的代数式中,这就是整体代入、整體求解的数学思想方法.希望同学们在解题时心中有整体意识,用心体会整体思想,并能适时运用.

三、方程思想

例5 若关于x的多项式(2m-2)x5-3xn+2x-1是三次三项式,求m,n的值.

解析:因为代数式是关于x的多项式,所以m、n都是待定字母,由多项式的次项定义得到2m-2=0,从而m=1,n=3.

例6 若两个关于x、y的单项式8x3-by3b-3与-axyb+a是同类项,则a+b的值为 .

解析:根据同类项的定义可以得3-b=1,3b-3=b+a,从而b=2,a=1.

总结:我们根据定义列出一个等式,而这个等式中含有字母时,正好就变成了一个方程,从方程中就可以求出这个字母的值.事实上,数学中很多的定义都含有相等关系,我们可以利用方程思想进行求解.

(作者单位:江苏省无锡市吴风实验学校)

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