在“立”与“破”中绽放精彩

孔忠伟

【摘 要】“梯形面积计算练习课”是人教版五年级上册第六单元的内容，教师可以让学生在不断的“立”与“破”中加深对梯形面积公式的理解，促进学生空间观念的发展。通过不断“立”新规、“破”新规，不断拓展梯形面积公式的运用范围，沟通不同公式之间、数与形之间的联系，有效提升学生对于梯形面积公式的理解与熟练程度，促进学生理解知识的本质，提升空间观念的发展。

【关键词】梯形面积公式 组合图形 等积变形

依據建构主义理论，知识的学习就是一个不断同化与顺化的过程。奥苏贝尔也讲过：“最有效的学习就是建立在学生原有经验基础之上。”因此，在课堂教学中，教师就需要深入了解学生已有基础，并在此基础上，不断去丰富与拓展知识，促进学生数学水平的发展。本文从梯形面积公式出发，不断让学生感受到梯形面积公式不仅可以计算梯形的面积，同时还可以计算其他平面图形的面积。不仅如此，它还可以解决组合图形，甚至计算数的问题等，从而帮助学生提升对于梯形面积公式的理解，沟通各图形之间的联系，促进学生几何直观与空间观念的发展。像这样的教学，其实就是在原有的基础上不断打破规则，建立新的规则，让学生在不断的“立”与“破”中感受乐趣，促进发展。

一“立”——梯形面积公式可以计算其他平面图形的面积

这里的“立”就是让学生了解梯形的面积公式除了可以计算梯形的面积，也可以计算其他平面图形的面积，如平行四边形、三角形、长方形等都可以看成是特殊的梯形，所以也可以用梯形面积来计算。这样的设计可以让学生打破原先的思路，促进学生对于梯形面积公式的深入理解，并沟通各平面图形面积计算之间的联系，促进学生几何直观能力的发展，所以我们设计了如下教学。

【教学片段】

师：同学们，请观察这些梯形，你发现了什么？

生：它们的高都一样，底也一样，所以面积也相等。

生：它们的形状不同，但面积都一样。

小结：虽然形状不同，但梯形面积都相等。

师：请你们再仔细观察，又发现了什么？

生：它们的形状不同，而且上底与下底的和都是10。

师：那它们的面积都相等吗？为什么？

生：都相等，只要上底与下底的和相等，高相等，它们的面积都相等。

小结：只要上底与下底的和相等，高相等，它们的面积也就相等。

师：哦！那么你们还能画出高相等，面积相等的梯形吗？（学生画一画）

展示一：

师：非常好！像这样的梯形，画得完吗？

生：画不完，因为上底与下底的和是10，但上底和下底可以随便变。

小结：只要上底与下底的和不变，就可以画出无数个不同形状面积相等的梯形。

师：嗯。有道理，那么除了梯形，你还能画出其他图形吗？（能）

展示二：

师：你是怎么想的？

生：我把上底看成0厘米，下底看成10厘米，这样它们上底与下底的和还是10厘米，它们的面积也是不变的，所以面积也等于（0+10）×8÷2=40（平方厘米）。

生：我把上底看成5厘米，下底也看成5厘米，所以上底与下底的和还是10厘米，和也是不变的，所以面积也等于（5+5）×8÷2=40（平方厘米）

小结：是的。同学们，其实三角形、平行四边形和长方形等都可以看成是一种特殊的梯形，只要上底与下底的和相同，它们的面积也就相等。

通过两次对比与两次操作，让学生慢慢感受梯形面积的等积变形，让学生知道只要上底与下底的和不变，高不变，虽然形状会发现变化，但梯形的面积都不会发生变化，然后让学生在不断的讨论交流与操作中，逐渐联想到其他不同的图形，沟通梯形与其他平面图形之间的联系。在教学过程中，让笔者欣喜的是，学生不仅能够画出不同的图形，而且还能把三角形与平行四边形看成是一种特殊的梯形，这是一种多好的发现啊。相信通过这样不断的练习，学生的空间观念一定能够获得较大的提升。

二“立”——梯形面积公式可以计算组合图形面积

二“立”主要是指让学生了解梯形面积公式除了可以计算不同的图形面积，它还可以求组合图形的面积。通过让学生逆向从公式去找图形，使学生发现原来多个图形组合在一起也可以用梯形公式来解决，从而再次打破学生刚刚建立的规则，再一次使梯形的面积公式扩大到了计算组合图形的面积，这样不仅为后面组合图形面积的学习打下一定的基础，同时也有效促进学生空间观念的发展。

【教学片段】

师：想一想，这会是怎样一个梯形？

师板书：S=（8+4）×4÷2

生：上底是4厘米，下底是8厘米，高是4厘米的梯形。

师：现在把这个图形放到了两个正方形中，仔细观察，你们觉得哪幅图也可以用这个算式表示？同桌间交流一下。

生：我觉得A可以表示。因为它就是一个梯形，它的上底是4厘米，下底是8厘米，高也是4厘米。

生：我觉得C和D也可以的，因为8+4=12厘米，而它们的底也是12厘米。

生：B也是可以的，因为它的长是12厘米，宽是4厘米的一半，也就是2厘米。

师：非常好！找到了很多不同情况，那么E可以吗？

生：不可以的，它的高不对。

生：应该可以的。

师：哦。那你能上来指一指吗？

生：好的。这个点可以移动，把它移到这里后，它的高也就是4+8=12厘米。所以也是可以的。endprint

小结：看来，梯形的面积公式除了可以解决其他图形的面积外，还可以解决类似的组合图形面积。

从上面教学中，我们发现有了前面环节的设计，大部分学生对于梯形面积的认识有了较大的提升。在一些组合图形中，学生会把一些长方形、三角形等看成特殊的梯形。同时，也有部分学生会从整体上去看待组合图形，并通过点或边的移动来进行想象与理解，从而再次促进了学生对于梯形面积公式的理解，同时也让学生感受到一些组合图形的面积只要符合梯形公式的要求，当然也可以用梯形面积公式来计算。

三“立”——梯形面积公式可以计算数的大小

三“立”主要指把梯形面积公式与以前数的计算联系起来，学生在四年级下册学习简便计算时，就有利用梯形面积公式计算数的经验。通过让学生观察回忆这些方法，帮助学生回顾旧知，可以有效地让计算数的方法与梯形面积公式建立联系，从而更好地建构知识，促进学生思维的发展。

【教学片段】

师：刚才利用梯形的面积公式，我们解决了很多图形的问题。那么想一想，以前我们学过的知识中，有没有也是利用梯形面积公式计算的？（学生思考）

师：老师收集了一些，我们一起来看一下。

课件出示：

（1+10）×10÷2=55（根） （1+20）×20÷2=210

师：从这里，你们发现了什么？

生：其实这木棒的上面就像是梯形的上底，下面就是梯形的下底，上底与下底之间就是高。利用梯形公式就可以算出木棒数量。

生：我发现第一个数与最后一个数相加，就像是上底加上下底，然后去乘高除以2。

小结：对！在我们的数学学习中，梯形面积公式不仅可以解决图形计算的问题，同时也可以用来解决一些数的问题。

在上面的教学中，通过先让学生回忆旧知，大部分学生还是无法把梯形面积公式与已有知识建立联系，因此需要教师进行有效的引导。通过让学生观察四下的求木棒图，巧算求和等问题，学生很快就发现它们其实与梯形面积的公式非常相似，通过把数与形建立有效的联系，有效提升了学生数形结合的能力以及几何直观的能力。

在数学知识的学习过程中，我们不仅要让学生不断把知识从薄学到厚，同时也要让他们把知识从厚学到薄，通过不斷沟通前后知识之间的联系，挖掘知识的本质，有效帮助学生更好地整合知识，促进其数学水平的真正有效发展。

（浙江省杭州市滨文小学 310000）endprint