论述空间向量的解题技巧

杜汝薇

(湖南省雅礼中学，湖南 株洲 412000)

论述空间向量的解题技巧

杜汝薇

(湖南省雅礼中学，湖南 株洲 412000)

向量在数学考试中占的分值比较重，其在选择、填空以及解答题中都能够以不同的形式出现，因此学习好空间向量知识对我们学习成绩的提升就有重要的作用.部分同学在学习空间向量相关知识的时候，经常会出现概念混淆等情况，导致其在解答空间向量数学题的时候容易出现错误.笔者主要就自身的学习体验对空间向量解题技巧进行分析，希望对同学们有所帮助.

空间向量；解题技巧

在解答立体几何和解析几何题型的过程中，应用空间向量能够化繁为简，通过建立空间直角坐标系将点、线、面的相应坐标进行标示，然后对其进行运算，这样就会使得解答更加直观，掌握空间向量的解题技巧就能够为解答数学题节约更多的时间，提升解题效率.

一、解答空间向量的基础

在学习空间向量的过程中，我们就需要对向量数量积及其空间向量的几何意义进行理解，这是解答空间向量题型的基础，也是重点.在实际的解题过程中，需要认真审题，明确所有的已知条件，并且找出其中的隐含条件，明确题中需要求的量和其他量之间的关系.对于空间向量的解答来说，最重要的就是建立空间直角坐标系.其次，向量的运算也是解题关键，在按照题目要求完成了空间直角坐标系建立之后，就需要我们将对点、线以及面的代表性点的坐标写出来，然后通过运算进行解答，在运算过程中需要明确线面之间的垂直和平行关系.

二、解题技巧

1.平面法向量的求解

(1)内积法.内积法是求解平面法向量比较常用的方法，在平面α中可以设其法向量为向量n=(x，y，1)，然后在平面α中可以找两个不共线的向量a和向量b，因为两个向量都在平面α内，则可以由向量n垂直α得到向量n垂直向量a和向量b，就可以得到向量n数乘向量a等于0，向量n数乘向量b也等于0，因此就可以得到两个关于x和y的二元一次方程，再对其求解，就可以求出平面的法向量.

(2)外积法.在运用这种方法求解平面法向量时，通常是找出需要求解的平面中任意三条互不垂直也不共线的线段，然后根据题目中的已知条件写出线段的坐标，设法向量n的坐标为(x，y，z)，根据法向量垂于平面既垂直平面中所有的线段的性质可以得到，法向量与平面三条线段的坐标之积都为0，然后列出三个等式，求出x、y、z的值，即求出平面的法向量.

2.求空间角

空间角的求解是求解立体几何中常见的题，其难度一般也比较大.我就通过具体的题进行具体分析.

例已知空间四边形ABCD的各 边和对角线的长都等于a，点M、N分别是AB、CD的中点.(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长； (3)求异面直线AN与CM夹角的余弦值.

在解答这个题的第三小问对空间角进行求解时，就是利用空间向量的方式，根据题意建立空间直角坐标系，然后根据线段的边长和点的位置表示出相应线段的坐标，这样可以直接求两个夹角之间的余弦值，简化解题步骤，节约解题时间.

3.证明线面关系

线面关系的证明是我们在学习立体几何中已经比较熟练的题目类型，部分同学在进行证明的过程中经常不能抓住重点，并且不知道应该怎么做辅助线，导致线面证明过程不清晰，我根据上文的例题进行举例分析，解答流程如下：

由题意可知：|p|=|q|=|r|=a且p、q、r三向量两两夹角均为60°，

∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD.

应用空间向量证明线面关系能够通过线段之间的关系明确相关的数据，然后根据空间向量的性质比较简单地就把线面之间的垂直关系证明清楚.

综上所述，在应用空间向量解题的过程中，最主要的就是熟悉相关概念和性质，在解题过程中通过建立空间直角坐标系构建向量之间的关系，使得题目内容更加直观，灵活运用相关知识，提升解题效率和质量.

[1]潘虹.浅谈空间向量方法在立体几何中的应用[J].读与写(教育教学刊)，2013(02)：127

[2]崔宝荣.如何应用空间向量求解立体几何问题[J].读与写(教育教学刊)，2011(06)：176

[责任编辑：杨惠民]

2017-07-01

杜汝薇( 2000.07-)， 女 ，雅礼中学在校学生.

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1008-0333(2017)28-0015-02