四次函数图象一定是轴对称图形吗？

诸建金

我们知道，二次函数图象是轴对称图形，三次函数图象是中心对称图形，那么，四次函数图象是否是轴对称图形？如果是，对称轴方程是什么？我们对四次函数图象对称性进行了类比、联想、猜测、论证，获得了令人高兴的结论。

一般地，设四次函数f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e（a≠0），先研究简单特殊的情况：

1. 当a=1时，f（x）=ax4+bx3+cx2+dx+e此时，设y=f（x）的对称轴为l：x=x0，P（x1，y1）是其图象上任一点，则点P关于直线[l]的对称点Q（2x0-x1，y1）也在[y=f（x）]图象上

[y1=2x0-x14+b2x0-x13+c2x0-x12+d2x0-x1+e 2 ]

由（1）（2）得：

[x14-2x0-x14+bx13-2x0-x13+cx12-2x0-x12][+d2x1-2x0=0]

∴[2x0][x12+2x0-x12][+bx12+x12x0-x1+2x0-x12]+[2x0c]+d=0

整理，得：

[4x0+b][x12]-[2x0][4x0+b][x1]+[8x03]+[4bx02]+[2cx0]+[d]=0，

由于上式對[?x1∈R]恒成立，有

[4x0+b=08x03+4bx02+2cx0+d=0]

∴[x0]=-[b4]，b3-4bc+8d=0

∴当a=1时，b3-4bc+8d=0，e∈R时，[y=f（x）]图象是轴对称图形，且对称轴方程为[x=-b4]

2.一般地，[fx=ax4+bx3+cx2+dx+e]

[=a（x4+bax3+cax2+dax+ea）]

由上知，当[（ba）3-4baca+8da=0]，

即b3-4abc+8a2d=0时，[y=f（x）]图象是轴对称图形，且对称轴方程为[x=-b4a]

综上可知，并非所有的四次函数[fx=ax4+bx3+cx2]

[+dx+e（a≠0）]图象都是轴对称图形，当a，b，c，d，e满足b3-4abc+8a2d=0时，[y=f（x）]图象是轴对称图形，对称轴方程为[x=-b4a]。

同理不难证明任一四次函数图像不是中心对称图形。endprint