基于状态负反馈的电力系统混沌控制*

杨晓辉，王毅，刘小平，徐少平

（南昌大学信息工程学院，南昌330031）

0 引 言

混沌控制是非线性科学中的一个热门研究领域，其广泛地应用于自然科学和社会科学各个方面。自从Pecora和Carroll在1990年首次使用OGY方法来实现混沌同步控制以来［1］，关于混沌控制方面的研究取得了巨大的发展。国内外的专家学者们提出了许多有效的控制方法，如自适应控制［2］、反馈同步控制［3-4］、神经网络［5-6］、模糊控制［7-8］和滑模变控制［9］等。但很多方法都有控制较复杂，需要精确的数学模型和输入目标函数或者无法改变控制过程中的稳定性等缺点。

如今电力系统的发展趋势是大电网间的互联，这使得电网间的输电变得十分的方便、快捷，但同时也是对电力系统稳定性的一大考验。电力系统是一个多变量、强耦合的非线性动力系统，具有十分复杂的动力学行为，例如其在某些参数和条件下将会表现出明显的混沌现象。而如果混沌振荡未能够及时得到抑制，则可能会造成电力系统的电压和相角崩溃，进一步出现大范围停电或其它安全事故［10-11］。近几十年来，海内外电网陆续发生了电压、频率振荡失稳甚至崩溃的事故，如2003年8月14日美加大停电，2005年5月23日莫斯科大停电等［12-13］。这些事故对人们的生命财产安全造成了巨大的损害，因此电力系统的混沌振荡需要得到及时的控制及保护。

针对这一状况，通过对简单二阶互联电力系统的混沌现象进行分析，采用了基于状态负反馈控制方法的控制器来抑制系统的混沌现象，从而使得整个系统能够稳定运行。

1 电力系统的混沌数学模型

图1 简单互联电力系统Fig.1 Simple interconnected power system

本文考虑的控制对象是二阶互联电力系统中产生的混沌振荡，其接线图［14］如图1所示。在图1中，1和2分别表示两个系统的等值发电机，3和4分别表示两个系统的主变压器，5和6表示断路器，7表示电力系统的负载。

为了突出体现电力系统外在的因素，如周期性负荷扰动和电磁功率扰动对电力系统的影响，暂时不考虑系统网侧等值系统的各端转动惯量等内在因素差异，则其系统模型如下：

式中δ，ω为发电机转子运行角与相对转速；Pm，Ps为发电机机械功率与电磁功率；H为等值转动惯量；D为等值阻尼系数；Pe为扰动功率幅值；β为扰动功率频率。

为了便于分析及运算，对式（1）进行简化处理，令 α=Ps/H，γ=D/H，ρ=Pm/H，A=Pe/H，则式（1）变为：

当电力系统无扰动，即A=0时，系统在平衡点稳定运行。当系统存在扰动，即A≠0时，则系统视γ、A、β的情况可以稳定运行，也可以做不稳定的运动，或者运行在混沌状态。

在式（2）中，取 α=60、γ=0.04、ρ=0.6、β=20时，利用Matlab进行仿真，分别取A=2和A=0.2时，系统处于非常明显的混沌状态，此时系统的相图及动态响应曲线分别如图2和图3所示。混沌现象的出现严重影响了二阶互联电力系统的正常工作，甚至可能引起整个系统的崩坏，因此需要抑制二阶互联电力系统的混沌现象，从而使其能够稳定、可靠地运行。

图2 A=2时系统的相图和动态响应曲线Fig.2 Phase diagram and dynamic response curve of the system when A=2

图3 A=0.2时系统的相图和动态响应曲线Fig.3 Phase diagram and dynamic response curve of the system when A=0.2

2 状态负反馈控制

状态负反馈控制法具有需要的系统的信息少；小参数变化对系统无影响；具有较好的稳定性和轨道跟踪能力等优点。

由上文可知，式（2）可变为矩阵形式，得：

此时添加一个控制输入u，则二阶互联电力系统的受控模型如下：

图4 简单互联电力系统控制框图Fig.4 Control block diagram of simple interconnected power system

3 反馈参数的选择

当ε=0时的无摄动系统为Hamilton系统，在相平面x-y相平面上有平衡点（kπ，0），k=0，±1，±2，...。由于周期对称性，此处只需考虑三个平衡点（-π，0），（0，0），（π，0）。

将参数代入后，式（2）在平衡点（π，0）处的 Jacobi矩阵为：

则：

故此时系统的特征值为：

此处Re（λ2）＞0，故由 Lyapunov稳定性理论可知点（π，0）是一个不稳定平衡点。则系统变为：

代入参数后，可得式（5）在（π，0）处的 Jacobi矩阵为：

则：

由上式可得：

同样由Lyapunov稳定性理论可知，若要使系统在点（π，0）处稳定，且出现稳定的极限环，则需要此时的Re（λ）均不大于0。故可以分以下两种情况：

（1）当（k2+0.04）2-4（k1-60）＜0时，即k1＞（k2+0.04）2+60时，此时其实部只需满足 Re（λ）≤0，化简后可得k2≥ -0.04。总结即为，当反馈系数满足+60和k2≥-0.04时，系统的混沌现象能够被控制。

（2）当（k2+0.04）2-4（k1-60）≥0时，即（k2+0.04）2+60时，此时其实部只需满足，化简后可得k1≥60。总结即为，当反馈系数满足（k2+0.04）2+60和k1≥60时，系统的混沌现象能够得到控制。

4 数字仿真

经过上文的分析，本文通过Matlab进行数值仿真来进行验证。仿真过程采取四阶Runge-Kutta方法，其中二阶互联电力系统的参数如下：

经分析可得，取两组反馈系数，分别为k1=100，k2=2和k1=61，k2=2，它们分别满足上述条件1和条件2。现计划使系统在混沌状态下运行10 s后，然后投入控制器，则系统在上述两个控制器作用下的动态响应曲线及相图分别如图5和图6所示。

由图5和图6可看出，在不同反馈系数的控制器的作用下，系统曲线在经历初始的杂乱不规则后，均能逐渐被收拢控制在一周期轨道处，且无论将仿真时间增大多少，其都能够稳定地维持在中间的周期轨道处，同时 δ（t）和 ω（t）曲线也在 3 s～4 s内迅速从混沌状态被控制成稳定的正弦波形，表明系统在控制器的作用下达到了稳定状态。图5与图6证明只要选取的反馈参数符合条件，混沌现象均能得到有效控制，显示了控制器的可靠性。

图5 在第一个控制器的作用下系统的动态响应曲线和相图Fig.5 Phase diagram and dynamic response rve of the system with the first controller

图6 在第二个控制器的作用下系统的动态响应曲线和相图Fig.6 Phase diagram and dynamic response curve of the system with the second controller

5 结束语

文章对电力系统混沌模型进行分析后，提出了一种通过状态负反馈将电力系统混沌控制到周期轨道处的方法，推出相应的实现过程，并利用Matlab做了仿真实验。仿真结果表示该方法在消除电力系统中的有害的混沌现象方面有着明显的成效。该方法具有较好的稳定性和轨道跟踪能力，且不需要改变系统的结构等优点，同时该控制方法原理简单，容易实现，具有较好的前景。