3k-012数表研究

戴本荣

【摘要】3k-012数表是本人在研究偶数分拆时所找到的一个分拆工具与结果.研究发现，此表有很多奇妙的性质，如具有一定的筛性、对乘法与加法都有封闭性等，本文给出一些性质的具体说明或证明，并提出一个哥德巴赫猜想的证明思路.

【关键词】3k-012数表;研究

在1724年，哥德巴赫提出“任何大于5的奇数都是三个素数之和”“任何一个大于2的偶数都是两个素数之和”，二者合称哥德巴赫猜想.

可以证明后者是前者的推论.事实上，任何一个大于5的奇数都可以写成：2N+1=3+2（N-1），其中2（N-1）≥4.如果第一个猜想是正确的，则偶数2（N-1）就能分成二个素数之和.

在1937年，维诺格拉多夫证明了一个充分大的奇数可以分为三个素数之和（弱哥德巴赫猜想）;对于后一个问题，目前最好的结果是陈景润在1973年发表的陈氏定理（也被称为“1+2”）.

在1934年，辛达拉姆发现：如果一个整数N出现在其辛达拉姆数表中，则2N+1不是素数;若N不在其数表中，则2N+1一定是素数.

在学习有关素数筛法的过程中，我制作了一个“3k-012数表”，该表具有很多奇妙有趣的性质，并且与上面两个问题具有密切的关联.

一、“3k-012数表”

将自然数0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，…按如下规律填入下表，所得数表称为“3k-012数表”：

二、在“3k-012数表”中的几个奇妙发现

1.3k行的数：均是3的倍数.

2.3k+1行的数：除第一个数1外，均是辛达拉姆数.

3.3k行的奇数：均是3k+1行数的2倍加1.

4.筛性：对于任意3k+2型的偶数2n，我们有：

如果2n-3不为合数，则2n至少存在一对哥德巴赫数对：3与2n-3，即满足2n=3+（2n-3）=质数+质数，意义重大;

如果2n-3为合数，则排除小于2n的3k+2型质数对应质数的可能性，因为这种数对应的必然是3k型的数，而由“3k-012数表”中的第一行可知，3k型的数均为合数，也就是说，如果一个任意3k+2型的偶数2n分拆为3k+2型的数与3k型的数之和，则除去2n=2n+0外，就只有“2n=质数+合数”或者“2n=合数+合数”，而不存在“2n=质数+质数”的分拆形式;

此时，如哥德巴赫猜想成立，则必定能在3k+1型数中找到至少一对哥德巴赫分拆数.由此反过来想，在2n为3k+2型的偶数且2n-3为合数时，如在3k+1型的数中存在一对质数且二者之和等于2n，则哥德巴赫猜想对3k+2型的偶数成立.

由上所述，可得出一个尚需深入证明的结论：对于任意一个3k+2型的偶数2n，均存在至少一对哥德巴赫分拆数.

三、哥德巴赫猜想的一个证明思路

1.深入的联想：如果对3k、3k+1型的偶数都能做出与3k+2型偶数类似的论断与证明，则对任意偶数，哥德巴赫的猜想正确.

2.由辛达拉姆筛法获得的一个结论：在“3k-012数表”中，如果用同样的方法能够证明任意一个自然数可以分為两个非辛达拉姆数之和，也可得出哥德巴赫猜想成立的结论，理由：设N=a+b，其中N为任意一个自然数，a、b均为整数并且为非辛达拉姆数.则由辛达拉姆筛法可知2a+1、2b+1均为质数，于是有2N+2=（2a+1）+（2b+1）=质数+质数;进而递推对任意一个偶数，哥德巴赫猜想成立.

四、“3k-012数表”对乘法的封闭性

设a，b，c为任意正整数.

1.3k型数乘法的封闭性：（1）（3a）·（3a）=3·（3a2）;（2）（3a）·（3b）=3·（3ab）;（3）（3a）·（3b+1）=3·[a·（3b+1）];（4）（3a）·（3b+2）=3·[a·（3b+2）]——结论：任意一个3k型数乘任意一个正整数，所得的数仍在3k型数中.

2.3k+1型数乘法的封闭性：（5）（3a+1）·（3a+1）=3·（3a2+a）+1;（6）（3a+1）·（3b+1）=3·（3ab+a+b）+1——结论：①任意两个3k+1型数相乘，所得的数仍在3k+1型数中;②任意n个3k+1型数相乘，所得的数仍在3k+1型数中.

3.3k+1型数与3k+2型数相乘：（7）（3a+1）·（3b+2）=3·（3ab+2a+b）+2——结论：任意一个3k+1型数乘任意一个3k+2型数，所得的数必在3k+2型数中.

4.3k+2型数自乘：（8）（3b+2）·（3b+2）=3·（3b2+4b+1）+1;（9）（3b+2）·（3c+2）=3·（3bc+2b+2c+1）+1——结论：① 任意两个3k+2型数相乘，所得的数必在3k+1型数中;②任意偶数个3k+2型数相乘，所得的数必在3k+1型数中;③ 任意奇数个3k+2型数相乘，所得的数必在3k+2型数中.

5.3k+2型数与3k+1型数相乘：——结论：① 偶数个3k+2型数乘任意个3k+1型数，所得的数必在3k+1型数中;② 奇数个3k+2型数乘任意个3k+1型数，所得的数必在3k+2型数中.

五、“3k-012数表”对加法与减法的封闭性

1.3k型数自加：（1）（3a）+（3a）=3·（2a）;（2）（3a）+（3b）=3·（a+b）——结论：任意一个3k型数加上任意一个3k型数，所得的数必在3k型数中.

2.3k型数与3k+1、3k+2型数相加：（3）（3a）+（3b+1）=3·（a+b）+1;（4）（3a）+（3b+2）=3·（a+b）+2——结论：任意一个3k型数加上任意一个3k+1型数，所得的数必在3k+1型数中;任意一个3k型数加上任意一个3k+2型数，所得的数必在3k+2型中.

3.3k、3k+1、3k+2型数各任取一个数相加：（5）（3a）+（3b+1）+（3c+2）=3·（a+b+c+1）——结论：在3k、3k+1、3k+2型数中各任取一个数相加，所得的数必在3k型数中.

4.3k+1型数自加：（6）（3a+1）+（3a+1）=3·（2a）+2;（7）（3a+1）+（3b+1）=3·（a+b）+2——结论：① 任意两个3k+1型数相加，所得的数必在3k+2型数中;② 任意n个3k+1型数相加，所得的数或在3k型数中，或在3k+1型数中，或在3k+2型数中.

5.3k+2型数自加：（8）（3b+2）+（3b+2）=3·（2b+1）+1;（9）（3b+2）+（3c+2）=3·（2b+2c+1）+1——结论1：任意两个3k+2型数相加，所得的数必在3k+1型数中;② 任意n个3k+2型数相加，所得的数或在3k型数中，或在3k+1型数中，或在3k+2型数中.

6. 3k+1型数与3k+2型数相加：（10）（3a+1）+（3b+2）=3·（a+b+1）——结论：任意一个3k+1型数加上任意一个3k+2型数，所得的数必在3k型数中.

7.减法

（1）3k型数减3k+1型数：3k-（3k1+1）=3（k-k1-1）+2——结论：3k型数减去3k+1型数，所得数为3k+2型数.

（2）3k型数减3k+2型数：3k-（3k1+2）=3（k-k1-1）+1——结论：3k型数减去3k+2型数，所得数为3k+1型数.

（3）3k+1型数减3k+2型数：（3k1+1）-（3k2+2）=3（k1-k2-1）+2——结论：3k+1型数减去3k+2型数，所得数为3k+2型数.

（4）3k+2型数减3k+1型数：（3k1+2）-（3k2+1）=3（k1-k2）+1——结论：3k+2型数减去3k+1型数，所得数为3k+1型数.

（5）3k+1型数减3k+1型数：（3k1+1）-（3k2+1）=3（k1-k2）——结论：3k+1型数减去3k+1型数，所得数为3k型数.

（6）3k+2型数减3k+2型数：（3k1+2）-（3k2+2）=3（k1-k2）——结论：3k+2型数减去3k+2型数，所得数为3k型数.

六、3k+1、3k+2型合数所含3k+2型因子的个数

1.3k+1型合数所含3k+2型因子的个数：——在3k+1型的合数中，所含3k+2型因子一定是偶数个.

2.3k+2型合数所含3k+2型因子的个数：——在3k+2型的合数中，所含3k+2型因子一定是奇数个.

七、3k-012数的奇合数类型

1.3k型奇合数：

3×3，3×5，3×7，3×9，3×11，3×13，3×15，3×17，…

2.3k+1型奇合数

（1）（3k1+1）·（3k2+1）型奇合数

7×7，7×13，7×19，…

13×13，13×19，13×25，…

19×19，19×25，19×31，…

……

（2）（3k1+2）·（3k2+2）型奇合数

5×5，5×11，5×17，…

11×11，11×17，11×23，…

17×17，17×23，17×29，…

……

3.3k+2型奇合数

（1）（3k1+1）·（3k2+2）型奇合数

5×7，5×13，5×19，5×25，…

11×13，11×19，11×25，11×31，…

……

（2）（3k2+2）·（3k1+1）型奇合数

7×11，7×17，7×23，7×29，…

13×17，13×23，13×29，13×35，…

……

八、结束语与致谢

“3k-012数表”还有很多奇妙的性质值得研究，同时，虽然本人提出了一个哥德巴赫猜想的证明思路，但要给出完整证明却是非常困难的.

我的大学教师许道云先生建议用“类”的方式来说明，但我觉得自己这样的说法更为通俗易懂，就未改变论述方式.

最后谨以此文表达我對贵州大学数学教授、我的《初等数论》课老师张昭生先生和《不动点理论》课老师曾文智先生的敬意、怀念与感激之情！

张先生将自己《初等数论》习题集解答刻印出来给我们学习，希望我们本科生在数论方面有所建树;曾先生一直鼓励我们做数学研究，要求我们要有点“研究的精神”.

两位先生的鼓励，一直鞭策着我在学术上不懈的努力！

文中不对之处，敬请各位同行批评指正！