解读实数

徐向清

实数的初来乍到，让同学们不免感觉有点陌生，为了帮助同学们理清有关实数的概念，现整理了大家学习时应注意的几个问题.

一、注意理解实数的概念

由于实际问题的需要，我们引进了“无理数”，即无限不循环小数.无理数应满足3个条件：①是小数；②是无限小数；③是不循环小数.

有理數和无理数统称为实数，即实数这个大家庭里有有理数和无理数两大成员.有理数和无理数是两类完全不同的数.一个实数如果是有理数，那么它一定不是无理数，反之，如果一个数是无理数，那么它一定不是有理数.

由此，有理数包括有限小数和无限循环小数，而无理数则是无限不循环小数.另外，所有的有理数都能写成分数的形式（整数可以看成分母为1的分数），而无理数则不能写成分数的形式.

二、注意无理数的几种常见表现形式

无理数一般有下列几种常见的表现形式：

第一类：“π”型，如2π、3π-1、[π2]；第二类：“根号”型，如[2]、-[33]；第三类：“小数”型，如0.1201210012120001212…、

-3.36377377737777….

此外，以后我们还会接触另一类无理数，即锐角三角函数型.

三、注意实数的分类

实数的分类可从两个角度去思考，即：①按定义来分类；②按正、负数来分类.具体如下表：

[实数][实数]

由此可见，0在实数里也扮演着重要角色.我们通常把正实数和0合称为非负数，把负实数和0合称为非正数.

四、注意实数与数轴的关系

实数与数轴上的点是一一对应的，就是说所有的实数都可以用数轴上的点来表示；反之，数轴上的每一个点都表示一个实数.数轴上的任一点表示的数，如果不是有理数，那就是无理数.

在数轴上，表示相反数的两个点在原点的两侧，并且两点到原点的距离相等.实数a的绝对值在数轴上表示就是这个数对应的点到原点的距离.

利用数轴可以比较任意两个负实数的大小，即在数轴上表示的两个负实数，绝对值大的反而小.

另外，任何两个实数之间有无穷多个有理数和无穷多个无理数.

五、注意实数的有关性质

实数和有理数一样也有许多重要的性质.具体地讲可从以下几方面去思考：

1.相反数.

实数a的相反数是-a，0的相反数是0，具体地，若a与b互为相反数，则a+b=0；反之，若a+b=0，则a与b互为相反数.

2.绝对值.

一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a的绝对值可以表示为：[a]=[a（a≥0），-a（a<0）.]即实数a的绝对值一定是一个非负数，即[a]≥0，并且若[x]=a（a≥0），则x=±a.

3.倒数.

乘积为1的两个实数互为倒数，即若a与b互为倒数，则ab=1；反之，若ab=1，则a与b互为倒数.这里应特别注意：0没有倒数.

4.实数大小的比较.

任意两个实数都可以比较大小，正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数中绝对值大的反而小.利用数轴也可以比较两个实数的大小，即在数轴上表示的两个实数，右边的点所表示的数总比左边的点表示的数大.

5.实数的运算.

实数的运算和在有理数范围内一样，值得一提的是，实数既可以进行加、减、乘、除、乘方运算，又可以进行开方运算，其中正实数可以开平方.

在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行.另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用.

（作者单位：江苏省扬州市江都区教育局教研室）