高三复习中“微专题”的设置及其教学探讨

G·波利亚曾经指出：“良好的组织使得所提供的知识容易用上，这甚至可能比知识的广泛更为重要.”而与此相适应的，在高三复习教学中，依托主题明确、针对性极强的“微专题”进行复习，可以促进学生的深度学习，从而有利于学生获得清晰的数学知识网络、系统的数学研究方法，加深对数学的理解，提高自身的数学素养，从而提升学生解决各种问题的能力.当然这种“微专题”教学也符合当前高考试题的一些特点，现在把笔者所得到的若干体会阐述如下.

1高考试题“小切口，深探究”的特点与“微专题”教学两者的关系

“小切口，深探究”是当前高考的一种趋势，现以2017年浙江省高考试题为例，如第5题以小切口“含参数的二次函数在闭区间上的最值问题”展开，从与闭区间相关的二次函数最值问题再到怎么解决含参数的最值之间的关系进行鉴别、探究，用很小角度考查学生的数学思维；第8題与第11题分别以随机变量、数学文化为载体，从小切口“两点分布”、“割圆术”出发展开探究；第15题以向量知识为载体，从不等式恒成立问题出发，在小切口“三角不等式”和“基本不等式”等知识上展开探究；第17题以对勾函数知识为载体，从参数问题出发，在小切口“含参绝对值的最值问题”上展开探究等等.众所周知，高中数学的知识点众多，而高考数学受题量、时间等限制，抽样考查数学知识，决定了只能是小切口、深探究，因为设问过大或过于常规的试题很难有较大区分度，难以起到选拔人才的作用.

而“微专题”复习是指针对某一具体的知识点或能力点，从该知识的基本概念、基本原理、基本规律入手，内化知识，构建结构，进行知识迁移、整合，并能运用基本概念和原理解决实际问题的一种“小切口”的复习方法.所以“微专题”复习教学的设置与以上高考试题的特点不谋而合，值得进行深一步地研究与探讨.

2微专题设置及其课堂教学

2.1量化“考点”，设置微专题

“微专题”的设置应该打破教材原有的顺序，依据考点整体谋划新的复习体系.而基于考点量化架构“微专题”复习网络，实现了基础知识复习的全面性，又具有可操作性.例如近年来数列与不等式是逐渐回归的一个考点，在多地的高考模拟试卷与最近浙江省教育考试院的调测卷中均有出现.而学生对于其中涉及到的“放缩”技巧往往掌握不好，针对这种情况，笔者专门设置了《数列不等式问题中的放缩方法》的微专题复习课，具体实施程序如下：

题1已知数列{an}的通项公式为an=n×（12）n-1，求证：当n≥3时，a1+a2+…+an≥3n+2n+1.

设计意图：本题可以通过二项式定理的展开式，进行简单的放缩巧妙地证明不等式.当在证明数列不等式问题时，若涉及到多项式与底数为常数的整数指数幂比较大小时，则运用二项式定理，再结合适当的放缩是解决问题的常规思路.

题2已知函数f（x）=ax-32x2的最大值不大于16，又当x∈[14，12]时，f（x）≥18，

（1）求a的值. （2）设0

设计意图：本题可以在使用数学归纳法进行证明的过程中结合放缩法，从而顺利地解决问题，它考查了学生灵活运用数学方法解题的能力，也展示了在利用数学归纳法证明数列不等式时如何运用放缩的方法.

题3当n≥3且n∈N*时，

求证：1n2

设计意图：用导数的方法证明不等式，首先要从函数和变量的观点出发仔细观察式子的结构特征，有时也需要对不等式作一些等价变形；其次是引入相应的函数并将所有的式子移到一边，用导数的方法研究此函数的单调性，从而证得结论.从而展示了在利用导数法证明数列不等式时如何运用放缩的方法.

题4数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意的n∈N*，总有an，Sn，a2n成等差数列，又记bn=1a2n+1a2n+3. （1）求数列{an}的通项公式：（2）求数列{bn}的前n项和Tn，并求使Tn>m150成立的最大正整数m的值.

设计意图：本题是先拆项求和再放缩.这是常规思路.要注意放缩的技巧和放缩的适度. 而在证明数列不等式时放缩的其它常见技巧有：①添加或舍去一些项；②将分子或分母放大（或缩小）；③利用真分数的性质；④利用基本不等式；⑤利用函数的单调性；⑥利用函数的有界性；⑦利用绝对值不等式；等等.

当然，数列不等式的证明问题是千变万化的，证明方法是多种多样的，并且每种方法都是基于对问题的深入观察、理解的基础上.而通过上面的微专题教学，学生知晓了解决此类问题的常用方法，从而有了基本的知识贮备，也为今后此类考点的解决提供了条件.

2.2抓住“重点”，设置微专题

数学中有些内容，历次高考都会重点考查，抓住这些重点精设专题，可以大大提高复习的针对性.例如绝对值函数经常在高考中“抛头露面”，是高考考查的重点内容.为此笔者参考了有关资料，设计了“含有x-a的一类函数问题”的微专题，具体设计如下：

题5（1）已知函数f（x）=xx-2-a有三个零点，求a的取值范围.

（2）函数f（x）=xx-a在[2，+∞）上单调递增，求a的取值范围.

设计意图：问题是思维的开端，是学习的起点，也是学生深入探索心理的原动力.所以在数学课堂教学中应着力创设问题情境，去激发学生的创新欲望，为课堂教学创造出良好的学习情境，达到课始趣生的效果.

题6已知函数f（x）=x（x-a）.（1）当a≤0时，求函数f（x）的单调区间；

（2）在（1）的条件下，求函数f（x）在[-1，12]上的最大值.

设计意图：在提出问题之后，在意向心理主导控制下，带着问题自主探究.学生通过接受知识信息，评价信息，获得新知，从而构建新的认知结构.可辅以学习小组切磋，全堂共议，使学生在讨论中辨析，在自学中获知，在探求中提高.

题7设a为实数，函数f（x）=2x2+（x-a）x-a，求函数f（x）的最小值.

设计意图：在自主探究的基础上，通过知识信息的集中反馈，检查学生对数学思想方法的理解程度和对问题探究的深度与广度，再通过提问、投影及时矫正错误信息，让学生进行辨析、比较，矫正确认.

题8已知方程x-ax=a有三个不同的根，求a的取值范围.

设计意图：在反馈、矫正、确认新知的基础上，通过联想、拓展、延伸，作必要的横向联系与纵向推广，重视渗透数学思想方法，形成数学文化.

题9已知函数f（x）=xx-a-2，当x∈[0，1]时，f（x）<0恒成立，求a的取值范围.

设计意图：在联想、拓展基础上，精心选配一些新授知识的练习，使学生的智力活动完成“再现式应用——变式应用——创造性应用”的过程，达到激活思维、巩固新知的目的.

在完成上面五个步骤的基础上抓住知识结构和数学思想方法，再作归纳总结、点拨提高，帮助学生从感性认识上升到理性认识，再用理性认识指导感性认识，产生新旧知识有意义的同化作用.通过上面的微专题教学，从而使学生对于高中数学的重点内容——绝对值函数有了较为深入的了解.

2.3洞察“疑点”，设置微专题

复习课除了要帮助学生建构良好的认知结构，更要关注认知障碍，这就是我们常提到的“疑点”.教师在平时的教学和测试中要做有心人，善于发现并积累这些“困惑”，从学情出发，以洞察弱点，突破疑点为目标设置微专题，必然能起到事半功倍的复习效果.例如数量积问题经常出现在选择填空的压轴题中，而学生在处理这一部分内容时，经常感到迷茫，不知道从何处入手.为此，笔者专门设置了“投影在数量积问题中的运用”的微专题，具体设计如下：

题10（1）设e1，e2为单位向量，且e1，e2的夹角为π3，若a=e1+3e2，b=2e1，则向量a在b方向上的投影为 .

（2）已知点A（-1，1），B（1，2），C（-2，-1），D（3，4），则向量AB在CD方向上的投影为 .

设计意图：上面的两个问题事实上是数量积投影公式的直接运用，其解决过程可以说是“直接运用，言简意赅”，从而使学生进一步熟悉了这个公式.

题11请用数量积的几何意义的角度思考以下的三个问题.

（1）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则BD·CD=；

（2）在△ABC中，C=90°，CB=3，点M满足BM=2MA，则CM·CB=；

图1（3）如图1，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则AP·AC=.

设计意图：上面的三个问题事实上是数量积几何意義的直接运用， 其解决过程可以说是“抓住关键，一击即中”，使学生对于利用几何意义解决数量积问题有了初步的尝试.

题12请用数量积的几何意义的角度思考以下三个问题.

（1） 在平面直角坐标系中，已知A（1，0），B（0，-1），P是曲线y=1-x2上的一个动点，则BP·BA的取值范围是 .

（2）如图2，在△ABC中，AD⊥AB，BC=3BD，AD=1，则AC·AD= .

图2图3（3）如图3，在等腰直角△ABC中，AC=BC=2，点M，N分别是AB，BC的中点，P点是△ABC（包括边界）内任意一点，则AN·MP的取值范围是 .

设计意图：通过以上的三个问题的分析，不难发现这些问题事实上是数量积几何意义的更深入的运用，其解决过程可以说是“知识综合，拔丁抽楔”.从而使学生拓展了对这类问题的解决思路.

探究（1） （2016年浙江高考文科试题） 已知平面向量a，b，a=1，b=2，a·b=1，若e为平面单位向量，则a·e+b·e的最大值是.

（2） （2016年浙江高考理科试题）已知向量a、ba=1，b=2，若对任意单位向量e，均有a·e+b·e≤6，则a·b的最大值是.

设计意图：通过上面问题的解决不难发现，许多与数量积有关的高考试题，如果合理运用向量投影去研究和分析，就极有可能回避较为繁琐的代数运算，也即向量投影进行适当的图形表征有助于问题的形象直观思考，也有助于简约问题解决的思维长度，从而顺利地解决面临的问题.

通过上面的问题链设计，我们以一句唐伯虎的诗句来总结此微专题，即：一上一上又一上，一上上到高山上；举头红日白云低，四海五湖皆一望.而通过学生的交流发言，可以知道今天所遇到的问题的解法往往不止一种，并且我们用向量投影知识的解法也未必是最简单、最适宜的解法，但是这种分析和解决数量积等相关问题的思路进一步丰富了我们的知识贮备，为这类问题的解决提供了多种选择空间.

2.4感知“热点”，设置微专题

当然，微专题的设置也应尽量关注近年高考中出现的各种热点问题.例如多元最值问题是近年高考考查的热点之一，多元最值问题中以二元问题最为常见，也相对简单；对于超过二元的问题，要善于将其转化成二元问题或一元问题.笔者参考了有关资料，设计了“多元最值问题的研究”微专题的教学，设计如下：

题13（1）若实数x，y满足约束条件x≤1，y≤2，

x+y≥2，求目标函数z=3x+y的取值范围.

（2）已知x，y满足x-4y+3≤0，

3x+5y-25≤0，

x≥1，求z=x2+y2+6x-4y+13的取值范围.

（3）设实数x，y满足3≤xy2≤8，4≤x2y≤9，求x3y4的最大值.

设计意图：通过由最基本的线性规划问题出发，即在二元线性约束条件下求二元线性目标函数的最值，可以引导学生复习巩固基本的求解方法，即几何意义转化.然后再加以延伸扩展.

题14（1）在正项等比数列{an}中，存在两项am、an，使得aman=4a1，且a7=a6+2a5，求1m+5n的最小值.

（2）已知a，b为正实数，且a+b=2，求a2+2a+b2b+1的最小值.

（3）设x、y、z为正实数，且x-2y+3z=0，求y2xz的最小值.

设计意图：学生在新授学习或一轮复习中，对于由基本不等式关系得到的x2+y2、x+y、1x+1y的关系比较熟悉，能够直接运用其处理一些简单的不等式和最值问题；但是对于一些式子结构复杂尤其是系数不为1且有分式的问题，缺乏处理的技巧，需要分析强化.

题15（1）已知函数f（x）=lg x，若存在互不相等的实数a，b，使f（a）=f（b），求ab的值.

（2）已知函数f（x）=x-1-1，若关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有四个互不相等的实数根x1、x2、x3、x4，则x1x2x3x4的取值范围是.

（3）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=a2-ab，a≤b，

b2-ab，a>b.设f（x）=（2x-1）*（x-1），

且关于x的方程f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1、x2、x3，则x1x2x3的取值范围是.

设计意图：与函数有关的多元最值问题丰富多样，而“已知函数在不同的单调区间上取相同的函数值，求相应的自变量构成的式子的范围”一类问题，是学习的难点及高考的热点之一，需要进一步例析与类化.

综而言之，如上这样的微专题具有主干性、系统性和应用性，从必修到拓展、从教材到课外，跨章节、跨模块对知识进行整合，突破了教材的禁锢，也不断重组着学生的认知结构，对于他们分析问题以及解决问题的综合能力的提升大有脾益.

显然，笔者对“微专题”复习教学的研究还存在着研究范围不广、涉及程度不深等诸多不足，有待于进一步的学习与研讨.

作者简介黄加卫（1971—），男，浙江省湖州市人，中教高级，硕士学位，研究方向：高中数学教学.近年来在省级及以上杂志上发表论文180余篇.endprint