提高工科研究生数值分析课程教学质量的一些新探讨与实践

邓镇国+黎健玲+钟献词

摘要：针对我校工科研究生数值分析课程课时少、学生人数多、学生数学基础参差不齐的情况，对如何有效地提高这门课程的教学质量进行了探讨，这些实践经验对数值分析教材的编写和改进具有一定的参考价值。

关键词：数值分析课程；教学质量；工科研究生

中图分类号：G643 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2018）03-0150-02

一、引言

数值分析课程是我校工科研究生的一门学位课程。近年来随着工科研究生招生规模的扩大，学生人数越来越多，但学生数学基础参差不齐，而且数值分析课程内容多、学时少，因此如何提高这门课程的教学质量成为教师急需解决的问题。我们通过校研究生优质课程项目立项建设与实践，对提高数值分析课程的教学质量进行了探讨与实践。在课程的教学中，我们以知识的逻辑顺序为主线安排教学内容，从特殊到一般和一题多解两种方式相结合讲授知识点与例题。这些实践经验对数值分析教材的编写和改进具有一定的参考价值。

二、提高数值分析课程教学效率的新探讨与实践

首先，以知识的逻辑顺序为主线安排教学内容，可以保持知识体系的连贯性，从而有效提高教学质量。下面通过对数值分析的内容和知识体系作说明。数值分析的主要内容包括数值代数、非线性方程（组）的数值解法、数值逼近和常微分方程数值解四大部分。其中，数值代数包括解线性方程组的直接方法与迭代法、矩阵特征值问题计算等；数值逼近包括插值法、函数逼近与曲线拟合、数值积分与数值微分等。这四大部分看似相对独立，实际上相互间是有逻辑顺序关系的。举例如下。

（1）三次样条插值求解最终归结为求三对角方程组，需要用到解线性方程组的追赶法。

（2）最佳平方逼近最终归结为求法方程组，这是一个对称线性方程组，当方程组的条件数不大时，一般采用解线性方程组的直接方法。

（3）在使用高斯—勒让德求积公式时，所采用的求积节点实际上是勒让德多项式的零点，而寻找这些零点最有效的方法就是求解非线性方程的牛顿迭代法。

（4）建立一阶常微分方程初值问题的数值格式需要用到数值微分法或数值积分法。

（5）非线性方程组的牛顿迭代法需要用到矩阵的除法，这属于线性方程组的解法问题。

从上面举例可以看到，学习数值逼近内容需要用到数值代数和非线性方程（组）的数值解法知识，学习常微分方程数值解需要用到数值逼近知识，学习非线性方程（组）的数值解法内容需要用到数值代数知识，而学习数值代数不需要用到非线性方程（组）的数值解法、数值逼近和常微分方程数值解的知识。因此，根据这个逻辑顺序，课程内容应该先安排数值代数，接着安排非线性方程（组）的数值解法，再安排数值逼近，最后安排常微分方程数值解。这样安排可以保持各部分内容的连贯性，减轻学生的学习负担，从而提高教学效果。需要指出的是，部分教材大体与这个逻辑顺序一致，多数教材仍先安排数值逼近，接着安排数值代数，再安排非线性方程（组）的数值解法，最后安排常微分方程数值解。

其次，从特殊到一般的方式讲授教学内容，不仅容易让学生接受，而且能提高学生的数学归纳能力，也节省了板书时间，从而提高了教学质量与效果。举例如下。

（1）关于解线性方程组的直接法，先从三阶线性方程组的求解讲起，然后引导学生从三阶线性方程组的计算过程，通过观察矩阵元素下标的变化，归纳出 阶线性方程组的直接法，关于解线性方程组的迭代法亦是如此。

（2）关于插值法，先从低次的线性插值、二次插值讲起，然后引导学生从低次插值的构造过程，通过观察插值基的变化，归纳出n次插值。

（3）关于2n+1次Hermite插值，先从两个点上给定函数值和导数值构造三次Hermite插值讲起，然后引导学生从三次Hermite插值过程中观察插值点和插值基函数的对应关系，归纳出n+1点上2n+1次Hermite插值。

（4）关于Newton-Cotes求积公式，先从低阶的Newton-Cotes求积公式，即梯形求积公式和抛物线求积公式（或称Simpson求积公式）讲起，然后引导学生从低阶求积公式的构造过程，通过观察求积节点与求积系数的对应关系，归纳出Newton-Cotes的求积公式。

从上面举例可以看到，从特殊到一般的讲授方式，对工科研究生来说是比较容易接受的。如果先从一般形式出发，对工科研究生来说太抽象了，会对这门课程产生畏惧感，从而影响听课效率。

最后，以一题多解的方式讲授例题，不仅提高了学生的发散思维，而且节省了讲题时间，又能加强多种方法之间的比较，从而使学生对所学内容有更加深刻的理解。举例如下。

（1）关于n次插值与分段线性插值，可以选择龙格函数构造关于等距节点的数表，先让学生观察不同次数的插值多项式的插值误差在被插值节点靠近对称点和远离对称点两种情形下的变化，然后引导学生分析得到插值误差跟插值节点的数目及位置有关，既然插值误差跟插值节点的数目有关，由此引出分段线性插值，此时被插值节点远离对称点出现的龙格现象是解决了，但是被插值节点靠近对称点情形下的插值误差阶太低，再启发学生，既然插值误差还跟插值节点的位置有关，如果采用不等距节点的插值，误差阶在上述两种情形下随着节点数的增加是否会提高呢？此时可以使用切比雪夫多项式的零点作节点进行比较，为下一章函数逼近的学习埋下伏笔。

（2）关于切比雪夫最佳一致逼近定理及由其直接得到的切比雪夫最小零偏差多项式性质的应用，由于该定理比较抽象，学生反映不易掌握。我们在举例讲解时，为了让学生更好地理解该定理，可以选择多项式做被逼近函数的例子，这样既可以直接使用切比雪夫定理，又可以使用切比雪夫最小零偏差多项式性质。比如，“选取参数a，使■|x3-ax|达到极小”，这个例子利用■|x3-ax|与■|x3-ax|相等，使用切比雪夫最小零偏差多项式性质求解是比较简单的，而使用切比雪夫定理，关键是选择适当被逼近函数及相应最佳一致逼近多项式，如果选择ax为x3的一次最佳一致逼近多项式，通过它们的图像可以看到，在[0，1]上只有两个正负偏差点，与一次最佳一致逼近多项式至少存在三个正负偏差点不符，所以只能选择0作为x3-ax的零次最佳一致逼近多项式，然后根据切比雪夫定理求出参数a。

通过上面的举例可以看到，一题多解不仅提高了学生的发散思维，而且可以避开相关定理的烦琐证明，通过适当的例子教会学生运用定理，反过来理解定理的意义，从而改进教学效果，提高教学质量。

三、结论与认识

1.本文从研究数值分析主要内容的逻辑特征出发，分析数值各部分内容之间的逻辑顺序，然后以该顺序为主线安排教学内容，再通过实例分析说明，从特殊到一般和一题多解两种方式相结合讲授教学内容，以达到改进教学效果、提高教学质量的目的。

2.关于工科研究生数值分析课程目前面临的问题，与多数文献提出的观点不同的是，本文所进行的探讨与实践主要从数值分析内容结构本身进行，所以这些探讨与实践的经验对数值分析教材的编写与改进也具有一定的参考价值。

參考文献：

[1]黎健玲，简金宝，李群宏，钟献词，唐春明.数值分析与实验[M].北京：科学出版社，2012.

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[3]李庆扬，王能超，易大义.数值分析[M].第四版.北京：清华大学出版社，2001.

[4]孟大志，刘伟.现代科学与工程计算[M].北京：高等教育出版社，2009.

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