小数比较大小错误分析

王露 郜舒竹

【摘 要】小学生在比较不同位数小数大小时会出现“越长越大”的错误，目前对这种错误的解释主要停留在比较表面的层次，而“越A-越B（MoreA-MoreB）”直覺规律从学生的生活和学习经验出发，解释了错误背后更深层次的原因。在此基础上，可以利用直觉规律设计教学活动，设置认知“冲突”，弱化直觉规律对学生的影响。

【关键词】直觉规律；小数比较；错误

学生在数学学习的过程中出现错误，是一种必然而且普遍的现象。教师面对学生的错误，如果采用愤怒与指责的消极态度，显然无益于教学与教育。反过来采用积极的宽容态度，针对学生的错误开展研究，有效地诊断错误原因，由此了解学生的学习规律，有效地应用学生的错误进行教学设计，应当成为教学质量提升的有效途径。

一、“越长越大”的错误

在不同位数小数大小的比较中，学生普遍地会出现“越长越大”的错误，即“小数的位数越多，看起来越长，小数的值就越大”，简称“越长越大”。如在比较小数12.178和12.2的大小时，学生会认为“12.178>12.2，因为12.178比12.2的位数多，看起来更长”。

国内外的已有研究发现，不同国家、不同年龄的学生在学习小数的大小比较时都会出现此类错误。美国教育心理学家劳伦雷斯尼克（Resnick）对美国的五年级学生、以色列的六年级学生和法国的四、五两个年级的共[113]名学生进行了小数比较大小的测试。研究发现，学生出现“越长越大”的错误率分别为35%、19%、41%、18%；[1]墨尔本大学凯文·莫洛尼（Kevin Moloney）教授的研究发现，澳大利亚一所学校42%的四年级学生和19%的五年级学生也会出现此类错误；[2]在国内，台湾学者阮丽蓉和曹雅玲在研究四、五年级台北小学生学习小数时的迷思概念时发现，学生出现“越长越大”的错误率分别为[26%]和[13%]等。[3]可以看出，“越长越大”的错误具有普遍性，因此，我们需要进一步知道为何学生在小数大小比较时会如此普遍地出现这种错误？它又是如何形成的？

以色列教授斯塔维（Stavy）和蒂罗什（Tirosh）等人经过测试和研究，发现学生在解题时会遵循一种直觉上的规律，即学生会依据与题目不相关的某些明显的外在特征和生活经验来解题，却没有看到题目的本质，斯塔维（Stavy）等人称这些规律为“直觉规律”，“越A-越B（MoreA-MoreB）”就是其中的一种。

二、直觉规律

“越A-越B（MoreA-MoreB）”直觉规律是当两个系统或者物体在[A]量上有明显的不同，表示为[A1>A2]，要求学生去比较另一个[B]量的大小时，会受到[A]量的影响而做出[B1>B2]的错误判断。斯塔维（Stavy）教授对二、四、六年级的学生做了角的大小比较的测试，如图[1]所示。两个角的大小相同，边长（[A]量）表现为[∠β]两边的边长长于[∠α]两边的边长，让学生判断哪一个角（[B]量）更大时，87%、88%、38%的二、四、六年级学生的回答是“[∠β>∠α]，因为[∠β]两边的边长更长，所以[∠β>∠α]”。[4]很明显，这是受“越A-越B（MoreA-MoreB）”直觉规律的影响导致的错误。同样地，学生在比较小数大小（[B]量）时受到具有明显差异的小数位数（[A]量）的影响，认为“小数的位数越多越长，小数的值越大”，这个错误也是受“越A-越B（MoreA-MoreB）”直觉规律的影响产生的。可以看出，学生在数学学习中经常会受到“越A-越B（MoreA-MoreB）”直觉规律的影响而出现各种错误。因此，为了减少错误的发生，我们需要知道它是如何形成并影响学生学习的。

斯塔维（Stavy）教授认为，直觉规律是对成功经验的过度概括，[5]即人们把某些特定的情况下获得的一些类似的成功经验进行过度的概括，形成了一种直觉理解和规律，习惯性地应用在所有与之相类似的情况中。如学生将以前“越长越大”“越多越大”或“越大越大”等这一系列类似的成功经验进行过度总结和概括，最终形成了直觉上的“越A-越B（MoreA-MoreB）”规律，并广泛地应用在生活和学习中。本文中“越长越大”的错误是受“越A-越B（MoreA-MoreB）”直觉规律的影响产生的，而“越A-越B（MoreA-MoreB）”直觉规律又形成于“越长越大”的一些成功经验，那么学生在比较不同位数小数大小时所用的“越A-越B（MoreA-MoreB）”直觉规律是基于哪些“越长越大”的成功经验形成的呢？

三、直觉的来源

“越长越大”的错误反映的是数量的多少与数的大小之间的关系。从学生的生活经验来看，这种关系在生活中也可以表现为物体的大小与物体所包含的数量之间的关系，而反映这种关系的“越长越大”的正确经验有许多，如学生知道同一种公交车，越长的越大，里面可以坐更多的人；同一种文具盒，越长的越大，里面可以放更多的文具等等。

从知识经验来看，反映上述关系的正确经验也有许多，如学生在一年级学习[20]以内数的认识及大小比较时，能够通过插图直观地看出某个物体的长度越长，表示这种物体的个数就越多，所代表的数字也越大，即“越长越大”。若让学生比较图[2]所示的两排三角形中哪一排的三角形代表的数字更大时，学生不用数三角形的个数就可以直观地看出是第一排的三角形，因为第一排三角形的长度比第二排长，所包含的三角形的个数也就越多，那么它所代表的数字也越大。学生在一、二年级学习整数的大小比较时，根据整数大小的比较规则形成了“位数越多越长，数值越大”的认知，即“越长越大”的经验；学生在二年级学习了“认识时间”这一内容后便会知道，分针走过的小格越多，表示走过的距离越长，走过的时间越长，那么表示所走过的时间的数值也越大，即“越长越大”，如分针从[1]走到[2]，表示[5]分钟，从[1]走到[6]，表示[30]分钟等等。

以上这些“越长越大”的生活和知识经验都是正确的经验，学生将这些正确经验过度概括并作为一种直觉上的规律——“越A-越B（MoreA-MoreB）”直觉规律，习惯性地应用在生活和学习中，导致各种错误的产生。

四、运用直觉进行教学设计

从以上“越A-越B（MoreA-MoreB）”直觉规律的形成过程来看，直觉规律的形成是在许多成功经验的基础上慢慢地过度概括而形成的，所以，学生因直觉规律的影响而出现的错误不会轻易消失。因此，我们可以根据直觉规律的功能，将直觉规律应用在教学中，并设计相应的教学活动，以减少错误的发生。

以色列学者斯塔维（Stavy）教授提出，直觉规律有强大的预测功能，可以预测学生在学习中的错误。[6]因此，教师可以通过直觉规律，在认识了学生做题时的思考过程的基础上，预测学生在做相类似的题目时可能会出现的错误，如根据小数比较中“越长越大”的错误，教师可以大胆地预测学生在学习与比较小数大小相类似的知识，如分数、代数式、负数等的大小比较时可能也会出现类似的错误，并根据预测有针对性地设计相关的学习活动，在活动中培养学生的批判性思维和自主探究能力等，同时减少错误的发生。

斯塔维（Stavy）教授等人根据直觉规律的预测作用，提出了“冲突教学法”，[7]即给学生呈现两道在本质上相似的题目，分别引出学生错误和正确的答案，并引发他们对不同的结果产生认知上的冲突，最后让学生自己探索其中的原因并达到正确的认识，弱化直觉规律对他们的影响。

教师在教学中可以借鉴“冲突教学法”设计学习活动，让学生在认知上产生“冲突”，并能够通过一系列学习活动认识到错误的原因，掌握数学知识的本质。如在学习小数大小的比较时，教师可以这样设计学习活动：首先设计两组题目，其中一组是不同位数的小数大小比较，使学生在解题时受“越A-越B（MoreA-MoreB）”直觉规律的影响出现错误，如：[3.60]○[3.6]，[5.783]○[5.92]，[8.308]○[8.38]；另外一组是相同位数的小数大小比较，让学生不受直觉规律的影响并得出正确的结论，如：[3.60]○[3.60]，[5.783]○[5.920]，[8.308]○[8.380]。然后通过这两组题的对比让学生产生认知上的冲突，最后让学生在自主的探索与交流中认识错误产生的原因，进而实现更加深入的理解。

参考文献：

[1]Resnick，L.B.，Nesher，P.，Leonard，F.， Magone，M.，Omanson，S.， Peled，I. Conceptual Bases of Arithmetic Errors： The case of decimal fractions[J]. Journal for Research in Mathematics Education，1989， 20（01）：8-27.

[2]Moloney，K.，Stacey，K.Changes with Age in Students' Conceptions of Decimal Notation[J].mathematics Education Research Journal， 1997，9（1）：25-38.

[3]阮丽蓉，曹雅玲.台北地区国小学童小数迷思概念之研究[J].台北市教育大学数学资讯教育研究所，1994（10）.

[4]纪宗秀.从直观法则分析学童的迷思概念及概念改變之研究[D].国立花莲师范学院，2005.

[5][6]Stavy， R.， &Tirosh;， D.. Intuitive Rules： A Way to Explain and Predict Students' Reasoning[J].Educational Studies in Mathematics， 1999（38）：51-56.

[7]纪宗秀.从直观法则分析学童的迷思概念及概念改变之研究[D].国立花莲师范学院，2005.

（首都师范大学初等教育学院 100048）