冗余机构2URR-2RRU运动学与性能分析

王中林，张宁斌

(1.速波机器人无锡有限公司，江苏 无锡 214000；2.上海交通大学 机械与动力工程学院，上海 200072)

0 引 言

与串联机器人相比，并联机器人具有精度高、刚度大、误差小以及承载能力强等优势。与6自由度并联机器人相比，少自由度并联机器人在系统设计制造、控制、维护等方面能够有效地降低成本，因而，越来越受到国际社会的广泛关注。但是常规并联机构存在难以克服的缺点，例如：位置正解困难、工作空间小、运动控制精度不高等。

冗余并联机构能够在不减弱非冗余并联机构优点的基础上克服一些非冗余并联机构无法克服的缺点。冗余的存在能减少并联机构奇异位型[1-5]，扩大工作空间[6-8]，提高机构的整体刚度[9-11]。MERLET[12-13]指出冗余的存在对运动学正解、奇异的规避、系统的控制以及运动学标定等都具有一定的提高。

与常规并联机构的研究相比，对冗余驱动并联机构系统的研究则比较少。冗余在并联机构中分为两类[14-16]：驱动冗余和运动冗余[17]。运动冗余是通过添加额外的驱动关节增加运动的自由度[18]；而驱动冗余的引入只是增加了驱动关节，不会影响机构的自由度。现有驱动冗余并联机构的实现方式主要有3种：在非冗余并联机构的某些支链的被动关节处添加主动驱动；在非冗余并联机构上添加具有主动驱动的运动学支链；既驱动已有支链的被动关节，又添加带驱动的运动学支链。

基于雅克比矩阵的局部条件指标(local condition index，LCI)由GOSSELIN和ANGELES[19]首次提出，用于并联机构运动学优化设计。之后，刘辛军[20]首次提出了适用于并联机构的基于螺旋理论的LTI，可以描述并联机构力/运动传递效率，具有与坐标系选取、量纲无关等特性，已被成功用于并联机构性能的分析和优化设计。

本研究将以2URR-2RRU为研究对象，首先运用螺旋理论以及修正的G-K公式对该机构自由度进行分析；接着通过并联机构的空间位姿关系建立机构位置正反解关系式，并通过该关系式推导得到2URR-2RRU机构的雅克比矩阵，利用雅克比矩阵对机构进行奇异分析[21-26]；然后结合该机构杆长条件、干涉现象以及运动副条件限制，绘制出冗余并联机构2URR-2RRU的工作空间；最后探索2URR-2RRU机构传递性能情况，利用LIU[27-28]提出的性能指标对该机构进行力/运动传递性能的分析，以得出LTI性能图谱。

1 机构简介及坐标系建立

2URR-2RRU并联机构如图1所示。

图1 2URR-2RRU并联机构示意图

2URR-2RRU并联机构整个机构由定平台、动平台与4条分支运动链构成。整个机构对称分布，分支1、2为两条相同支链，通过两个转动副(R)与一个万向铰(U)顺次链接定平台与动平台，构成了URR分支；分支3、4为两条相同支链，通过U铰与两个R副顺次连接定平台和动平台，构成了RRU分支。整个机构的驱动部件是4个分支上中间的转动副(R)。

2URR-2RRU并联机构坐标系如图2所示。

图2 2URR-2RRU并联机构坐标系图

令A1B1为分支1，A2B2为分支2，A3B3为分支3，A4B4为分支4。其中：Ai(i=1,2)—分支1、2与动平台相连接的转动副中心点；Ai(i=3,4)—分支3、4与动平台相连接的U铰中心点；Bi(i=1,2)—分支1、2与定平台相连接的U铰中心点；Bi(i=3,4)—分支3、4与动平台相连接的转动副中心点。本研究在机架上建立定坐标系O-XYZ，原点O位于B1B2连线中点，为简化运动学模型，定义X轴与OB4重合，Y轴与OB2重合，Z轴垂直向下。动坐标系o-uvw建立于动平台上，o点位于A1A2连线中点，u轴与oA4重合，v轴与oA2重合，w轴竖直向下。四边形A1A2A3A4、B1B2B3B4为正方形，即oA1=oA2=oA3=oA4、OB1=OB2=OB3=OB4。

2 2URR-2RRU并联机构自由度分析

本研究运用螺旋理论对2URR-2RRU并联机构的各分支约束进行分析，建立在分支1上的分支坐标系B1-x1y1z1如图3所示。

图3 分支1运动螺旋及反螺旋

分支1的运动螺旋系为：

(1)

由约束螺旋与运动螺旋互易积为零，得到分支1的约束螺旋为：

(2)

由于分支1、2完全相同且关于定平台上X轴对称分布，分支2的约束螺旋与1相同，即：

(3)

同理，可以求出分支3、4的约束螺旋为：

(4)

(5)

由上述4条分支施加于动平台的4个约束力偶方向相同，故整个机构存在一个公共约束，即λ=1。机构的阶数为6-λ=5。又因为过A3、A4以及B1、B2的两个力线矢是平行的，等效于一个平行于原方向的力线矢和一个垂直于定平台的力偶，在去除一个公共约束的因素后，分支1、2以及分支3、4还分别产生了一个力偶，故存在两个并联冗余约束，即υ=2。

根据一般机构的通用自由度修正G-K公式：

(6)

式中：M—机构的自由度；d—机构阶数；n—总的构件数(包括机架)；g—总的运动副数；fi—第i个运动副的自由度；υ—并联机构冗余约束。

代入上式得：

M=5×(10-12-1)+4×4+2=3

(7)

即：2URR-2RRU并联机构在该位型下具有3个自由度，分别是两个转动和一个移动。一条转动轴为B1B2，一条转动轴为oA3，移动方向为Oo方向。

由此可知，动平台到定平台的旋转矩阵可以化简为：

(8)

3 2URR-2RRU并联机构位置分析

3.1 位置反解

机构位置反解是指已知动平台位置和姿态β、γ、z0，求解驱动参数θ13、θ23、θ32、θ42的问题。各分支坐标系以及输入参数如图4所示。

图4 各分支坐标系以及输入参数

由图4可以看出各分支待求参数，其中分支坐标系建立原则为x1、x2轴线方向与万向铰中的一个转动副轴线重合，y1、y2轴与B1B2轴重合。令P=[x0y0z0]T表示动坐标系的原点o在固定坐标系中的位置矢量。机构相关尺寸定义如下：oA1=oA2=oA3=oA4=e1；OB1=OB2=OB3=OB4=e2。各分支中两两运动副之间的杆长l，计算过程中动平台上点A1、A2、A3、A4分别用向量b1、b2、b3、b4来表示，则b1、b2、b3、b4在动坐标系下的坐标为：

(9)

利用旋转矩阵以及位置矢量P可得到b1、b2、b3、b4在固定坐标系下的坐标为：

(10)

通过对机构的分析，向量b1、b2、b3、b4在固定坐标系下面的坐标可以通过另外一种方法求解出来，即利用分支坐标系求解。从图4上可以看出，分支坐标系1、2分别绕固定坐标系的Y轴转动θ11和θ21角度，分支坐标系3、4的3个轴线方向与固定坐标系3个轴向方向相同，可以得到分支1、2、3、4坐标系向固定坐标系的旋转矩阵为：

(11)

(12)

(13)

(14)

分支坐标系1、2、3、4的原点在固定坐标系上的位置矢量分别为：

(15)

向量b1、b2、b3、b4在分支坐标系1、2、3、4下面的坐标分别为：

(16)

通过上面的坐标转换可以得到b1、b2、b3、b4在固定坐标系下面的坐标为：

(17)

公式(10)与式(17)都表示同一点的位置矢量，得到以下等式：

(18)

根据上述自由度分析结果以及机构在空间中的几何关系可以得到：y0=0，x0=z0tβ，即P=(z0tβ0z0)，其中t表示tan。因此可将式(18)化简为：

(19)

其中：

a1=z0secβ-e1sγ
c1=e2-e1cγ
a2=z0secβ+e1sγ
c2=-e2+e1cγ
a3=e2-e1cβ+z0tanβ
c3=e1sβ+z0
a4=e1cβ-e2+x0
c4=z0-e1sβ

利用Matlab符号工具箱对式(19)求解，可得机构的位置反解为：

(20)

3.2 位置正解

机构的位置正解即为已知机构的3个输入运动参数θ13、θ23、θ32、θ42求解动平台的位置参数β、γ、z0。由式(19)可得：

(21)

(22)

(23)

(24)

对式(21，23)平方差后化简得：

(25)

其中：u4=2le1sγ(sθ13+sθ23)，

u5=2l(cθ13+cθ23)(e1cγ-e2)。

将f(γ)代入式(21)中，消去z0secβ：

f1(γ)+f2(γ)=0

(26)

其中：f1(γ)=(f(γ)-e1sγ)2-2lsθ13(f(γ)-e1sγ)，f2(γ)=(e2-e1cγ)2-2lcθ13(e2-e1cγ)。

该方程中只含有未知变量γ，最终化简为关于变量γ的一元八次方程，对该方程只能求出数值解，因此2URR-2RRU并联机构的位置正解解析解很难求解，只能给出数值解。

3.3 数值实例

如上所述，任意选取几组输入参数(θ13、θ23、θ32、θ42)的数值，本文可以通过等式(21～24)求解出动平台的位置参数(β、γ、z0)的数值。为了验证求解正确性，本研究选取4组任意的输入参数，如表1所示。

表1 机构输入参数

其中：l=400 mm,e1=250 mm,e2=400 mm。

根据表1中4组参数值，代入到等式(21～24)中可以得到并联机构动平台的输出参数，即位置正解的数值解，如表2所示。

表2 机构输出参数

4组正解构型如图5所示。

图5 位置正解构型图

3.4 刀具末端坐标

(27)

可以得到工具末端在定坐标系下坐标为：

(28)

4 2URR-2RRU并联机构机构速度分析

对公式(21～24)等式两边求全微分可得到：

(29)

其中：

T11=a1lcθ13-c1lsθ13
T22=a2lcθ23-c2lsθ23
T33=c3lcθ32-a3lsθ32
T44=a4lsθ42+c4lcθ42
G11=z0secβtβ(a1-lsθ13)
G12=e1sγ(c1-lcθ13)-e1cγ(a1-lsθ13)
G13=secβ(a1-lsθ13)
G21=z0secβtβ(a2-lsθ23)
G22=e1cγ(a2-lsθ23)-e1sγ(c2-lcθ23)
G23=secβ(a2-lsθ23)

G31=(e1sβ+z0secβ2)(a3-lcθ32)+e1cβ(c3-

lsθ32)G32=0

G33=tβ(a3-lcθ32)+(c3-lsθ32)

G41=(z0secβ2-e1sβ)(a4+lcθ42)-e1cβ(c4-

lsθ42)G42=0

G43=tβ(a4+lcθ42)+(c4-lsθ42)

建立2URR-2RRU并联机构的速度方程为：

(30)

5 2URR-2RRU并联机构奇异性分析

奇异性是并联机构的固有特性。通常利用雅克比矩阵判断并联机构奇异性时，可以把奇异类型分为3类：反解奇异、正解奇异以及混合奇异。

(1)当|T|=0,|G|≠0时，机构处于反解奇异位形，也称为边界奇异。当T11、T22、T33、T44中任一个为零时，则|T|=0。

若T11=0则有l(a1cθ13-c1sθ13)=0可以得到：

z0=cβtθ13(e2-e1cγ)

(31)

若T22=0则有l(a2cθ23-c2sθ23)=0可以得到：

z0=cβtθ23(e1cγ-e2)

(32)

若T33=0则有l(c3cθ32-a3sθ32)=0可以得到：

(33)

若T44=0则有l(a4sθ42+c4cθ42)=0可以得到：

(34)

(2)当|G|=0,|T|≠0时，机构处于正解奇异位形。

G矩阵中各元素表达式较长，如果直接对G矩阵进行行列式符号运算的话运算量较大，并且找不到规律，无法判断G矩阵行列式是否为零。这种情况下需要采用数值搜索的方法来对G矩阵行列式进行判断。通过计算，笔者发现参数在-50°≤β≤50°、-50°≤γ≤50°、250 mm≤z0≤650 mm范围内时，G矩阵的行列式是不为零的，即不存在正解奇异。

(3)当|G|=0,|T|=0时，机构处于混合奇异位形。

由前所述|G|=0不成立，所以机构不存在混合奇异。

综上所述，并联机构2URR-2RRU不存在正解奇异和混合奇异，只存在反解奇异，且反解奇异有4种情况，即T11=0时，分支1处于奇异位形；T22=0时，分支2处于奇异位形；T33=0时，分支3处于奇异位形，T44=0时，分支4处于奇异位形，机构各分支奇异位置如图6所示。

图6 机构各分支奇异位置

6 工作空间分析

并联机构的工作空间主要受以下几个条件的约束：

(1)并联机构各分支杆件长度限制。结合本研究中的2URR-2RRU并联机构的结构特点以及动平台和定平台的结构尺寸可以选取杆长为l=400 mm；

(2)并联机构杆件之间的相互干涉。因为该并联机构只有4个分支，并且各分支的驱动关节为转动副，使得各分支之间不可能出现交叉情况，不存在干涉现象；

(3)奇异位形的影响。考虑到该机构只有反解奇异，故只需要使如下等式成立即可：

(35)

(4)运动副转角的限制，运动副转角约束如图7所示。

图7 运动副转角约束

要满足：

(36)

式中：θTi—转动副和万向铰的传动角度；θTimax—最大转角，θTimax=50°。

综上所述，本研究给出三维模型基本参数e1=250 mm、e2=400 mm、H=50 mm。动平台3个参数取值范围如下：

(37)

由上述条件，本研究结合公式(26)利用Matlab数值搜索求解出工作空间，流程图如图8所示。

图8 工作空间计算流程图

得到并联机构的工作空间如图9所示。

图9 可达工作空间三维视图

由工作空间图可看出：该机械手在Y轴上的空间大小有刀具长度决定。

7 力/运动传递性能分析

7.1 螺旋分析

分支1上的螺旋$11、$12、$13以及$14在固定坐标系下的表示为：

(38)

根据(38)求解其反螺旋，得分支1的约束螺旋为：

(39)

由于并联机构的驱动关节为分支中间的R副，得到：$13=$I1。此处对[$11,$12,$14]求解力反螺旋，可得分支传递螺旋TWS为：

$T1=(-asθ11,b,acθ11;-ae2cθ11,0,-ae2sθ11)

(40)

同理得到分支2、3、4的约束螺旋$C3、$C4、$C5、$C6、$C7、$C8以及传递力螺旋$T2、$T3、$T4：

(41)

(42)

其中：

a=l(sθ12+sθ13)，
b=l(cθ12+cθ13)，
f=l(sθ22+sθ23)，
g=l(cθ22+cθ23)，

ss=tθ11(lcθ31+lcθ32-e2)-l(sθ31+sθ32)sss=

tθ11(lcθ41-lcθ42+e2)-l(sθ41+sθ42)，

z=l(cθ31+cθ32)，
v=l(sθ31+sθ32)。

机构分支锁定组合如表3所示。

表3 机构分支锁定组合

对其求反螺旋，可得动平台输出运动螺旋$Oi(i=1～6)。

7.2 局部传递指标

机构力/运动传递可分为输入传递以及输出传递两部分。输入传递性能可以反应能量从输入端至分支的效率，输出性能反应能量从分支到输出端的效率。输入输出传递性能的求解表达式分别为：

(43)

(44)

式中：λi—第i个分支关于$Ii与$Ti的功率系数，i=1～6；ηi—第i个分支关于$Oi与$Ti的功率系数，i=1～6。

显然当功率系数值接近于1时，力/运动传递性能越好；功率系数值接近于0的时，力/运动传递性能很差。因此定义总体性能指标为γ=min{λi,ηi}。

根据7.1节所求的输入输出螺旋以及传递螺旋，且机构角度参数β、γ与工作空间中参数一致，z0=300 mm。将螺旋代入到等式(43-44)中求解，绘制力/运动传递性能图，LTI性能图谱如图10所示。

图10 LTI性能图谱

从图10可以看出：并联机构2URR-2RRU的功率系数值大于0.7的区域中角度参数β、γ取值范围大，表明该机构的力/运动传递性能良好。

8 结束语

本研究分析了一种新型两转一移冗余驱动并联机构2URR-2RRU，首先运用螺旋理论对机构自由度进行了分析，并得到了该并联机构动平台转定平台旋转矩阵，依次建立了各分支坐标系并进行位置分析，得到了该机构运动学反解解析解及正解数值解。根据反解解析解推导出该机构雅克比矩阵，利用雅克比矩阵对2URR-2RRU进行了奇异分析。

结果显示：该机构只存在反解奇异，不存在正解奇异以及混合奇异。综合该机构杆长、干涉、奇异位型、运动副转角等约束条件，求解出该机构工作空间。通过对2URR-2RRU机构的LTI性能指标计算发现，该机构的力/运动传递性能优越区域大，很好地说明了该机构力/运动传递性能佳。

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