用“形”揭结构，以“数”辅思考

符秀丽

[摘 要] 函数动点最值问题的求解思路：利用几何性质揭示问题结构，参数化几何元素，结合函数方程深入分析. 本文结合近年中考真题具体阐释该方法.

[关键词] 函数几何；动点；最值；参数化；方程思想

函数几何问题常作为中考压轴题出现，对学生具有区分选拔的作用，因此题型一般综合性强、问题形式多样，解法较为抽象，给学生的理解作答造成极大困难，其中涉及的动点最值问题尤为特殊，更为强调对学生思维能力的考查.

真题解析，试题点评

1. 真题呈现

（2017年江苏盐城卷第27题）如图1所示，在平面直角坐标系中，直线y=■x+2与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线y=-■x2+bx+c经过A，C两点，与x轴的另一交点为点B.

（1）求抛物线的函数表达式；

（2）点D为直线AC上方抛物线上的一个动点，连接BC，CD，设直线BD交线段AC于点E，△CDE的面积为S■，△BCE的面积为S■，求■的最大值.

2. 试题解析

分析 （1）略；（2）结合图像，令y=0，可得点A，B的坐标，求■的最大值，根据三角形相似的性质可转化为边长的比值问题，结合坐标参数可求边长，最后利用函数方程分析即可求解.

■

简答 （1）y=-■x2-■x+2；（2）如图2，过点D作x轴的垂线，交AN于点M，过点B作BN⊥x轴，交AC于N，可知DM∥BN，因为∠DEM=∠BEN，∠EDM=∠EBN， 所以△DME∽△BNE. 令y=0，0=-■x2-■x+2，解得x■=-4，x■=1，所以点B（1，0），■=■=■. 设Da，-■a2-■a+2，可推知Ma，■a+2，由点B（1，0），可知N1，■，则DM=-■a2-2a，BN=■，整理后可得■=-■（a+2）2+■，所以当a=-2时，■可取得最大值，最大值为■.

3. 试题点评

本题目为典型的函数求最值问题，主要考查学生对函数图像的理解以及几何性质运用能力. 求解面积的比值，利用三角形相似的边长特性，将问题转化为线段比值问题，然后通过假设坐标参数使线段长度参数化，最后借助函数方程分析最值问题. 整体思路可概括为线段长度参数化，方程函数辅助分析，其中渗透的参数化思想和方程思想对于求解结合了几何性质的函数问题有着指导作用，可对其进行推广.

考题衔接，解法透析

参数化思想和函数方程思想的结合使用对于函数最值问题有着良好的解题效果，其基本思路是：从几何角度出发，充分利用几何性质思考问题结构；从代数角度深入，使几何元素参数具体化，利用函数方程分析问题的便利性来求最值.

试题1 （2015年江苏连云港卷第27题）如图3所示，已知一条直线过点（0，4），且与抛物线y=14x2相交于A，B两点，其中点A的横坐标为-2.

（1）求该直线的函数关系式以及点B的坐标；

（2）略；

（3）过线段AB上一点P，作PM∥x轴，与抛物线相交于点M，且点M位于第一象限内，点N的坐标为（0，1），当点M的横坐标为何值时，MN+3MP的长度取得最大值？并求最大值.

分析 （1）只需确定两点坐标即可，已知点（0，4），利用抛物线的解析式确定点A的坐标，用待定系数法即可求解. （3）动点P在线段AB上，则点P的横坐标有范围限制，求MN+3MP的最大值，可以尝试用坐标参数分别表示线段MN和MP的长，最后转化为函数方程式来分析求解.

简答 （1）y=■x+4，点B（8，16）；（3）作MP延长后与y轴的交点，令其为点Q，如图4，则△MQN为直角三角形. 设Ma，■a2，在Rt△MQN内，MQ=a2，PN=■a2-1，利用勾股定理可得MN=■a2+1，MP=a-■，所以整理后可得MN+3MP=-■（a-6）2+18（2≤a≤8），所以当a=6时，MN+3MP的长度取得最大值18.

试题2 （2017年重庆市B卷第26题）如图5所示，在平面直角坐标系中有一抛物线y=■x2-■x-■，并与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，其对称轴与x轴交于点D，已知点E（4，n）在抛物线上.

（1）略；

（2）已知點P为直线CE下方抛物线上的一点，连接PC，PE. 当△PCE的面积最大时，连接CD，CB，点K是线段CB的中点，点M是CP上的一点，点N是CD上的一点，求KM+MN+NK的最小值.

分析 （2）设出直线CE的解析式，过点P作PF∥y轴，交CE于点F，可用参数表示点P和点F的坐标，进而知FP的长，△PCE的面积为S■=■FP·x■，根据面积最大可得点P的具体坐标，进而利用两点之间线段最短原理可求KM+MN+NK的最小值.

解答 （2）设直线CE：y=mx-■，代入点E，可求CE：y=■x-■. 过点P作PF∥y轴，交CE于点F，如图6，设Px，■x2-■x-■，则点Fx，■x-■，可求FP= -■x2+■x，S■=■FP·x■=-■x2+■x，当x=2时，面积最大，得P（2，-■）. 过点K作关于CD和CP的对称点G，H，连接GH交CD和CP于N，M，如图7. 则KM+MN+NK=MH+MN+GN，当点O，N，M，H在同一直线上时有最小值，最小值为GH，GH=3，所以KM+MN+NK的最小值为3.

上述两道题的解题过程都充分体现了参数化思想和方程思想，试题1利用几何性质参数化线段长度，利用方程分析最值；试题2则是参数化几何面积，利用方程定位点，最后结合两点之间线段最短求解. 其解题思路都是基于“形”思考几何结构，借助“数”分析几何问题，数形结合的思想方法使得问题更为直观具体，分析过程思路清晰.

解后反思，教学思考

1. 夯实基础，完善体系

中考试题的出题依据为考试大纲，其试题均是对教材习题的引申、变式和重组. 虽然中考题的考查形式千变万化，压轴题知识面广、综合性强，但其中的知识点均来自课本教材，解题方法也为教材讲授的基本通法. 因此在教学中教师要注重基础知识的强化巩固，合理编排教学内容，对知识点进行有效融合，建立完整的知识体系，对于知识的交叉融合点要开展综合训练. 例如几何与函数问题，要充分结合习题进行系统讲解，提炼、归类、总结知识点，形成完整的知识体系.

2. 关注考题，形成思路

中考的考题设计可还原到教材习题，一道好的考题必然是核心知识突出、渗透思想方法的变式习题. 数学的核心知识是基础知识、方法技能、思想方法融合的内容，它们形成了完整、系统的知识体系. 因此教师要引导学生透析考题，找准题目引申的知识点，分析其中的解题方法，总结概括解题思路. 另外，还要围绕核心知识开展教学活动，让学生经历问题发现提出、探究论证、总结概括的过程，从而强化问题意识，形成自身独特的解题思路，提升解题能力.

3. 变式问题，拓展思维

从问题中提炼的解题思路，还需要经过问题的变式教学来拓展学生的思维. 开展一题多解、多题一解的专项训练具有良好的学习效果，在变式训练中要关注学生的思维过程，及时发现学生思维的局限点和受困处，然后引导学生对问题进行针对性思考辨析，从而消除思维壁垒. 通过试题变式、探寻不同思路方法的方式，可以有效扩展学生思维的宽度和维度，培养学生思维的灵活性、敏捷性，进而强化学生思维品质.

写在最后

自然严谨的解题思路对于问题的精准作答有着重要的意义，初中的函数图像和几何知识有着不可分割的联系. 对于函数的几何问题也应该充分利用数形结合思想，将参数化思想和方程思想有效结合，利用“形”对问题的直观揭示，辅以“数”的深度分析，两者的完美融合方可实现问题的高效解答. 教学中教师应该引导学生透析考题，还原知识点；夯实基础，掌握通性通法；探究问题，形成解题思路；变式问题，拓展数学思维.endprint