直线与圆锥曲线交点问题错解分析

单建军 钱 慧

同学们在做直线与圆锥曲线交点相关题目的过程中，经常会犯一些错误，现举两例加以说明.

例1已知曲线与直线y＝-x+m只有一个公共点，则m的取值范围是________.

错解曲线可化为，与y＝-x+m联立成方程组消去y得5x2-8mx+4m2-4＝0，由Δ＝0得.

错因剖析方程与方程并不等价，实际上变形过程中扩大了y的范围，从而引起错误.

正解曲线可化为，表示上半个椭圆，与y＝-x+m联立成方程组消去y得5x2-8mx+4m2-4＝0，由Δ＝0得.再借助于数形结合易知-2≤m＜2或.

例2过点A（0，1）且与抛物线y2＝4x有且只有一个公共点的直线方程为_______.

错解设直线方程为y＝kx+1，与方程y2＝4x联立方程组消去y可得（kx+1）2＝4x，即k2x2+（2k-4）x+1＝0.

（1）当k＝0时，方程组有一解，此时直线方程为y＝1；

（2）当k≠0时，由Δ＝（2k-4）2-4k2＝0得k＝1，此时直线方程为y＝x+1.

综上，y＝1或y＝x+1.

错因剖析在设直线方程时没有讨论斜率不存在的情形，即要注意到y＝kx+1并不能表示所有过点A（0，1）的直线，从而引起漏解.

正解（1）当斜率k不存在时，直线方程为x＝0，满足题意.

（2）同错解.

综上直线方程为x＝0或y＝1或y＝x+1.

在处理直线和圆锥曲线问题的过程中，变形的等价性、直线方程的斜率不存在情形的讨论以及联立方程组判别式使用的条件等都是易错之处，尤其值得同学们引起重视.