数形结合在初中数学解题中的运用

湖北省武汉市南湖中学 湛 婷

作为一门具有较强逻辑性和实用性的学科，初中数学是锻炼学生思维，提升学生基础素养的重要科目。随着新课程改革的深入，传统应试教育也正在不断向素质教育的轨道上迈进，初中数学的学习不仅要求学生掌握基本知识概念、性质公理以及公式法则，更要求学生在思想观念层面掌握数学思想和方法，灵活运用观察比较、分析综合，锻炼良好的数学思维能力。当下部分初中生在数学学习中出现读不懂题、不会解题的情况，一方面有自身数学基础薄弱，未掌握数学知识的原因，另一方面也有学生数学思维未培养起来的原因。数形结合作为一种重要的数学思想，在初中数学解题中运用十分广泛，不仅有助于培养学生良好的数学思维习惯，也帮助学生克服思维陷阱，更加直观清晰地理解题意，解决数学问题。

一、数形结合的概念

数形结合中的数即数量，形即图形，所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想，它是初中数学中分析、研究和解决问题的一种思维策略。代数、几何这两个学科联系密切，互相统一，利用数轴、坐标系把几何问题代数化；利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，在数学教学中必须重视将数量与图形相结合考虑问题，这使得抽象的数学问题更加直观清晰，从而有利于我们进一步弄清题意，通过比较和分析，突破思维瓶颈，及时转换题目信息，达到解决问题的目的。

二、数形结合在初中数学解题中的具体运用

1.从数到形的结合

初中数学中的“数”包括有理数、实数、方程、代数式、不等式等等，由于比较抽象，学生在学习过程中往往觉得抽象难理解，而借助于图形，赋予数量以几何意义，能够有效解决数的问题。数量和图形可以相互对应，当遇到较多或抽象的数量时，从数量与数量的梳理中无法得出答案，我们可以将与数对应的图形画出来，以形助数，从而使得原本混乱的逻辑得到直观清晰的表达。多数含有数量关系的法则公式等，结合图形来理解都会变得十分清晰简单。

如《有理数及其运算》一章中，数形结合主要通过数轴实现，有理数中的正数、0和负数，正数分布于正半轴，负数分布于负半轴，0则是正数和负数的分界。数字较多进行大小比较时，根据数轴上表示的数，右边的总比左边的大，就很容易比较学习。

又如例题：在一段线段AD上有两点B和C，线段AB的中点是点M，线段CD的中点是点N，如果已知线段AD长为a，BC长为b，求线段MN的值是多少？

解：通过题中描述可将题中的各个点在线段上表示出来，并画出相应位置关系，如图 1 所示。根据图示发现：

再比如遇到集合问题也可以用画图的方法解题，化难为易，化抽象为直观。在图形中，一般利用圆来表示集合，两集合有公共的元素则两圆相交，两圆相离则表示没有公共的元素。利用图示法，能够解决抽象的集合问题，让学生对集合问题一目了然。

2.从形到数的结合

对于一些呈现较为直观的图形，往往可以通过赋予相应的数量，表达出反映题目的数量关系式，以数解形，层层深入，达到解题的目的，这需要学生在解题过程中学会举一反三，转换思维模式。

如教学《平行线与相交线》一章中，两条直线平行的条件是：如果特殊位置关系的角（同位角、内错角、同旁内角）满足特殊的数量关系（同位角相等或内错角相等或同旁内角互补），则两条直线平行，这也意味着如果两条直线平行，那么任意一条直线所截得到的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补。

又如例题：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象如图 2所示，根据图象有下列判断，其中错误的是（ ）

A.a＜ 0 B.b＜ 0 C.c＜ 0 D.b2－ 4ac＜ 0

解：通过图形分析，根据二次函数图象得知开口向下，所以a＜0 正确，当x=0 时，y=c＜0，即 C 正确，因为图中抛物线和x轴没有交点，所以b2－4ac＜0，D 也是正确的选项，所以答案为 B。

再比如有些题目中给出一个标明各点位置的图形，要求求出一组含有各点所组成的复杂算式，看似没有头绪，实则可以通过给出的已知图形，在简单的加减大小比较中得出答案。数形结合需要学生充分挖掘题目中所含的几何意义和数量关系，转换为自己所需的数量或图形来反过去破题，很多看似很难的题便会迎刃而解。

3.数形结合灵活运用的基础

数形结合可以有效帮助学生提高学习效率，增强学习兴趣。不论是从数到形还是从形到数，都需要学生具备代数运算和图形转换的基础和习惯，灵活运用数形结合的思想对应不同题型，不断从具体题型中加强训练。初中数学的学习是循序渐进的过程，需要学生在积累练习理解的过程中运用自如。可以说，数形结合贯穿了初中数学的两条主线，即“数”和“形”。作为教学的关键主体，教师在初中数学的教学中起到关键作用。教师应贯穿数形结合的方法，在数学题的讲解中，结合学生做题存在的问题进行针对性讲解，逐步引导学生体验数形结合的作用，使学生自然而然地形成数形结合进行解题的思维直觉，培养学生多维度思考解决数学问题的解题习惯。在将数学算理变得直观，数量关系变得深刻的过程中，不断激发初中生的数学学习兴趣，为今后更深层次的数学学习打下坚实基础。

[1] 陈士统.浅析数形结合思想在初中数学中的应用[J].考试周刊，2011：77.

[2]王鑫.数形结合在初中数学课堂教学中的应用[J].考试周刊，2015：36.