从一些具体的线性方程组中了解线性代数中一些概念的产生

王文娅++郭仲凯

摘要：本文从一些具体的线性方程组的解法出发，考察线性代数中一些相关概念的提出。

关键词：线性方程组；行列式；矩阵；向量组

华罗庚曾经说过，从具体到抽象是数学发展的一条重要大道。因此教师在教授相关知识的时候也应该遵循这个原则，从具体的东西出发，一步一步的抽出其中包含的内在规律从而达到一般化，使学生对其所学的内容有着较为深刻的理解。本文从一些具体的线性方程组的解法出发，考察线性代数中一些相关概念的给出，使学生了解到一些概念的给出是自然的，是为了在线性方程组的解的问题上方法更为统一，从而提高学生对数学中一些问题的分析能力和认知能力。

线性代数教材的第一章一般都是讲行列式以及行列式的各种计算，行列式概念的提出应该不止一种原因，但我們应该选择一种学生已有知识结构的情况下从已有的知识过渡到行列式的概念。让学生了解原来所学的东西与我们以前的知识是相关的，并且比之前所学的更一般，得出这样一般的结论的原因是因为我们对过去所学的东西做了充分的观察与分析，正因为作了充分的观察与分析我们发现了一定的内在规律，为了把这些内在的规律显现出来我们需要一些新的概念，从而新的概念就诞生了，这是一个很自然的过程。

考虑线性方程组 ，很容易得出方程的解为 当然如果就此罢手则我们永远停留在如何解这种形式具体的方程组，这好像一个人每次碰到一个不同的圆时都能花时间求出这个圆的面积一样，但他却不知道圆面积的内在规律是半径的平方乘以π，类似的道理我们要问，有没有一种方法能够把这种形式为 个有效方程 个未知量的方程组统一解决呢？答案是肯定的，这就是克莱姆法则所所回答的，通过运算我们发现如下规律： 不难看出分子分母形式上看其实都一样，这可以说算得上是一个内在的规律，因此我们可以给一个统一的定义，这个定义就是行列式，定义如下： ，由此，方程的解为 ，

因此分母其实就是有方程组等式左边相应位置的系数构成的，而分子分别用方程组右端的数分别替换掉 的系数（当分别求解 时），这就是一种统一的方法，也是我们寻找的内在规律，当然我们如果需要解决这种类型更一般的方程组，我们需要给出一般方程组的系数所构成的行列式的定义，以及行列式的算法，为此会产生逆序等相关的概念以及一系列行列式的计算方法。

考虑方程组 ，对于这种方程组我们能不能利用克莱姆法则去解呢？显然不行，因为其系数行列式没有定义，因此处理这种方程组我们得寻求其他方法，或者寻找其他处理工具，为此我们引入矩阵，其实就是把方程组里的系数列成一个数表，如下：

，因此我们可以以这个角度来看线性方程组，即一个方程组对应一个矩阵。

考察线性方程组 ，其对应的矩阵为

利用初中解方程的方法可得原方程组等价于 ，其对应的矩阵为 再次做等价变换则原方程组等价于 ，其对应的矩阵为

再次做等价变换则原方程组等价于 ，其对应的矩阵为

再次做等价变换则原方程组等价于 ，其对应的矩阵为

从上面的过程可以看出，为了解出方程我们运用了交换两个方程，对应于矩阵中为交换两行；某一个方程乘以倍数，对应于对矩阵中某行乘以倍数；某个方程的倍数加减到另一行，对应到矩阵为某一行的倍数加到另一行，对于矩阵中这样的运算我们称为初等变换。由此看出初等变换这个概念其实就是我们初中解方程组的另一种描述而已。同时行阶梯行最简矩阵相应而生，因为行最简的形式就是与我们消元法中把方程组等价变形为最简单形式的等价方程组对应。

考虑方程组 ，对应的矩阵为

利用消元法的出其等价方程 ，无解，其对应矩阵为 ，即如果方程组对应的矩阵满足 这种情形则原方程无解，其特点除去最后一列则非零行为1行，加上最后一列，非零行为2不等于1，对于只考察通过初等变换化成行阶梯形式中的非零行的行数，书上给出的概念为秩（秩的大小可以理解为有效方程的个数），并且有相应的结论，即除去最后一列和加上最后一列两种情况的秩如果不同： 则方程无解，由此可以看出秩的这个概念对于方程组有解还是无解的判定有一定的方便，具体参看教材利用秩判定齐次方程和非齐次方程有解无解的条件。

考察方程组 ，不难计算该方程组等价于 ，即不存在 使得 成立，按照教材上的定义称向量 不能由 与 线性表示。

所以线性表示其实是非齐次方程有解无解的另一种描述。类似的，线性相关与线性无关对应于齐次方程是否有零解与非零解的另一种描述。

考虑方程 ，不难利用矩阵的运算可得方程组可化为 ，抽象为 ，其中 ，而 类似于初中的 ，对于 两边同时乘以 可得 即可解出未知量，那么对于 是否有类似的运算呢？使得 ，为此我们需给出 的定义，也就是矩阵逆的概念，当然需要注意只有可逆的方阵才能求逆，因此该方法只能处理一部分方程组。

一般的线性代数教材大部分内容其实都围绕线性方程组是否有解，如果有，解的具体形式是什么，如果没有，为什么没有等一系列问题展开，从而引入一系列相关的概念以及工具和结论，从而达到在统一的框架下解决所有线性方程问题。这与圆的面积有统一的计算公式是一个道理。所以数学学习还是要从具体出发，然后过渡到一般，最后再回到一般的具体（练习），从而熟能生巧，统一解决类似的问题。

参考文献：

[1]同济大学应用数学系 线性代数 （第四版） [M] 北京：高等教育出版社. 2003

[2]张军好， 余启港， 欧阳露莎. 线性代数 （第二版）[M] 北京：科学出版社. 2014

中南民族大学中央高校基本科研业务费专项资金项目 SCUEC：CZQ17005endprint