慧练：沟通算理和算法的桥梁
——“有余数的除法练习”教学实录与评析

江苏南京市南师附中仙林学校小学部（210023）

江苏南京市栖霞区教师发展中心（210028） 张明红

【教学内容】

苏教版教材二年级下册第一单元“有余数的除法”整理与练习。

【教学目标】

1.进一步理解有余数除法以及余数的含义，体会余数要比除数小的道理；能应用有余数的除法解决相关的实际问题，能根据问题的实际背景合理确定问题结果。

2.在计算和解决问题的过程中，能有根据地思考并有条理地表达；能对商和余数的合理性做出正确判断，具有初步的推理能力；感受有余数除法的应用价值。

3.初步具有观察比较、独立思考等学习意识和习惯，感受数学是具有规律的科学；体会解决实际问题的数学处理方法，培养根据实际情况灵活解决问题的科学态度。

【教学过程】

师：猜一猜，这三道题中的桃子下面的数是几？在小组里说一说你是怎么想的。

生1：第（1）题中，桃子下面的数是 1，因为 7×6＝42，43－42＝1，所以余数是 1。

生2：第（2）题中，桃子下面的数是 34，我先算 5×6＝30,再算 30＋4＝34，被除数是 34。

生3：13－3＝10,5×2＝10，13÷5=2……3，所以第（3）题中，桃子下面的数分别是5和2。

生4：我也觉得第（3）题桃子下面的数是5和2，但我的算式跟生3的不同，我的算式是13÷2＝5……3。

生5：生4的算式不对，除数是2，余数怎么可能是3！

生6：对，余数要比除数小！

师：看来大家都认可“余数要比除数小”，谁能解释其中的道理呢？

生7：老师说过，在有余数的除法里，余数一定要比除数小。

生8：我们分过铅笔和小棒，分到最后，剩下来的一定是少的。因此余数是3，除数肯定不能是2。

师：为了能说得更清楚，请大家拿出13根小棒，先看着算式摆一摆，再说一说为什么余数是3，除数就不能是2。

生9：我摆的是 13÷5＝2……3，把 13 根小棒，平均分成5份，每份2根，还剩下3根。

生10：我摆的是 13÷2＝5……3，把 13 根小棒，平均分成2份，每份5根，还剩下3根。这剩下的3根还可以继续分的，所以如果把13根小棒平均分成2份的话，每份是6根，只能剩下1根。

师：余数如果比除数大还能接着分，那么余数与除数相等呢？

生11：也不行，也能再分，分完没有余数。

……

【评析：低年级学生以形象思维为主，观察事物不够精确。因此，教师在深入研读教材，充分了解学生已有经验的基础上，应精心设计有趣且有效的课堂练习。以猜数入手，利用题组练习实现了由浅入深、由易到难、由简到繁、循序渐进的训练目的。对于第（3）题，在两个桃子的下面是数字几这一问题上，学生产生了不同意见，但是他们在操作、讨论、交流，甚至“争吵”的过程中不仅厘清了有余数除法算式中各部分之间的关系，更对“余数要比除数小”的本质规律有了深入的理解，学生思维的深刻性得到了培养。】

师（出示四道竖式，如图1）：“粗心大王”小明做了4道题，却错了2题。请与同桌合作，先找出小明做错的题目，再给小明提点建议。

图1

（学生完成后汇报，教师补充有关计算有余数的除法的注意事项）

师（指着纠正之后的第3道竖式，如图2-1）：如果给这道算式加上单位名称，它就能帮助我们解决生活中的实际问题了。（课件出示横式和文字表述的题目：猴妈妈摘了15个桃，平均分给2只小猴，每只小猴能分几个？还剩几个？）请在图2-2的圈里画图表示分桃的结果，再想一想竖式中的14是指圈里的哪些桃？

图2-1

图2-2

生1：14指的“每只小猴分7个桃，2只小猴一共分走了14个桃”。

……

【评析：算理是算法的理论依据，算法是算理的提炼概括，它们是相辅相成的。找做错的题目，是让学生在运用所学的有余数除法的知识分析错因，通过观察、比较、判断将其改正的过程中，将有余数除法计算的算理和算法一一呈现出来。在解决实际问题的环节里，学生结合具体情境解说竖式中各数表示的含义，再次理解了除法竖式计算的算理。两道题目前后呼应、环环相扣，让算理与算法完美结合在一起。教师在了解学生思维水平的基础上，不但唤起了学生的已有学习经验，还让学生知道怎样算，更知道为什么这样算。】

师：生活中还有很多问题需要应用有余数的除法的知识来解决。请看题目：

同学们去划船，每条船最多坐6人。三（1）班有22人，至少需要租（ ）条船；三（2）班有26人，至少需要租（ ）条船；两个班共同租船，至少需要租（ ）条船。

生1：22÷6＝3（条）……4（人），3+1=4 条，三（1）班需要租4条船。

生2：26÷6＝4（条）……2（人），4+1=5 条，三（2）班需要租5条船。

生3：我想提醒大家，租船的时候遇到有余数时，要多加1条船。

生4：是的，余下的同学也要坐船，所以要再加一条船。

生5：两个班共同租船，需要租9条船。

生6：不对，8条船就够了。两个班共48人，6人一条船，8条船就够了。

生7：8条和9条都可以！

生8：9条不可以，题目问的是至少几条船。

师：“至少”是什么意思？没有这两个字会怎样？

生9：“至少”就是每个同学都能坐上船，也不能有太多空位，不能浪费！

生10：如果没有“至少”的要求，9 条、10 条、20 条船都可以了。

师：有道理，现在再想想，你们觉得至少要租几条船？

生（齐）：8条！

【评析：数学源于生活，应用所学知识分析和解决生活中的实际问题，是学习数学的出发点和归宿。租船问题是有余数除法训练中的常规问题，如果只是让学生按部就班地做题，他们往往提不起兴趣。为了让练习有新意，在完成两题常规练习后，教师借助两个班合租船的问题，引发学生的争议，既提升了问题的思维难度，又激发了学生的学习兴趣。这样，学生既巩固了计算方法，又在运用知识解决问题的过程中培养了分析、理解能力。】

【总评】

练习课在小学数学课程中占有较大比重，它是新授课的补充和延续，也是巩固与强化所学知识的重要手段。学生能力的提高和创新意识的培养都离不开练习。要让练习课精彩、高效，就得改变传统练习课的教学模式。教师在深入研读教学内容的基础上，应精心设计、创编练习题，让学生在有趣味、有意义、有挑战的练习过程中，透过现象看本质，逐步加深对数学知识的理解，以促进学生主动学习，让练习课更加精彩。

一、关注特点，有趣味性

“兴趣是最好的老师”，对于低年级学生来说，最重要的是让他们感到不但新授课有趣，练习课也很有趣。练习题型和练习方式的多样化，可以使学生学得主动、学得扎实、学得灵活。依据学生的年龄特征和认知水平，本课教学创编了一系列充满童趣的习题，如“桃子藏数”“帮猴妈妈解决问题”“帮‘粗心大王’小明查错纠错”“帮同学解决租船问题”等活动。这样既能减轻学生练习时的心理负担，又能提高练习的效率。整个练习过程中，没有生搬硬套，有的只是根据学生年龄特点和已有经验而精心设计的练习，这些练习有趣高效、层次分明，学生喜闻乐见，充分体现了数学课程标准要求的“学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的”这一基本理念。

二、紧扣本质，有针对性

练习课的设计应从教学内容和学生已有经验出发，针对各部分知识结构中的重点和难点，创编符合学生思维特点和认知发展的客观规律的练习题。掌握有余数的除法以及余数的概念，体会余数要比除数小的道理，是“有余数的除法”的教学重点，也是教学难点。教师针对本课的教学重难点创设不同的问题情境，练习题的设计环环相扣，由易到难。“桃子藏数”练习的目的有二：一是让学生掌握有余数除法算式中各部分之间的关系；二是加深学生对有余数的除法中“余数要比除数小”这一知识点的认识。经历了分小棒出现余数，学生就进一步理解了“余数要比除数小”的本质规律；帮粗心的小明找错、纠错，学生就掌握了有余数除法计算的算理与算法；帮猴妈妈分桃——学生在情境、竖式和图示的引领下，接触到问题的本质。这一系列的练习有效地实现了将有余数除法计算的算理和算法自然融合，让学生真正做到“知其然，更知其所以然”的目标。

三、联系生活，有实用性

荷兰数学教育家汉斯·弗赖登塔尔认为：“数学来源于现实，也必须扎根于现实，并且应用于现实，数学学习的过程应该是帮助学生把现实问题转化为数学问题的过程。”

教学实践告诉我们，练习课里如果只是不停地做题，学生会感到枯燥乏味，学习也只会盲目而低效。练习题的创编，要从学生的实际生活中挖掘素材，练习设计要具有开放性，要能直接反映学生的日常生活。租船问题是有余数除法训练中的常规问题，教师在两题常规练习后增加了两个班合租船的问题，学生在完成基础练习后，发现解决合租问题时不仅要考虑余数，还要考虑生活中的实际情况。这样的综合训练，不但拓展了学生对有余数除法的认知，还激发了学生的学习兴趣。同时，学生从中还学会用数学的思维方式去分析、解决问题，并深刻体会了数学与其他学科及生活的紧密联系。

总之，练习题型的创编要关注学生的已有学习经验，采用多种手段激发学生的求知欲，增强学生学习的主动性。结合学习内容用不同方式和板块呈现练习形式的多元化，丰富课程资源，开拓学生眼界，使其逐步形成并具有运用数学知识解决生活中实际问题的能力。练习题型的创编应力求突破传统教学思维，把学生数学学习的时空由课堂引向整个世界，坚持以学生为中心，培养学生的创新能力和思辨能力。

张明红.至理数学:一种直抵数学本质的教学主张［J］.中小学教师培训,2017（7）.