数学通报2017年10月问题2387的另证及推广

陕西省岐山县蔡家坡高级中学(722405)公宽让

《数学通报》2017年10月号问题2387设a,b,c≥0,a+b+c=6,求证:

证法1 (反证法)当a,b,c＞0时,假设原不等式(1)不成立,即

结合已知a+b+c=6,由幂平均不等式

得a2+b2+c2≥12,从而有a2+6+b2+6+c2+6≥30,可见

不大于等于9,而由柯西不等式知

两结论矛盾,所以假设错误,不等式(1)成立.

当a,b,c中有一个为0时,同法可证明不等式(1)成立;

当a,b,c中有两个为0,一个为6;或a=b=c=2时,不等式(1)等号成立.

综上,不等式(1)成立.

证法2 (放缩法)不妨设a≥b≥c≥0,则

由a+b+c=6,知2≤a≤6,当a=2时,

所以

即不等式(1)成立.

问题2387按元数推广如下:

定理1 设则

问题2387按元数和指数推广如下:

定理2 设m∈N∗,则

下面用两种方法只证明(3):

证法1 (反证法)当xi＞0(i=1,2,···,n)时,假设原不等式(3)不成立,即两结论矛盾,所以假设错误,不等式(3)成立.

当xi(xi≥0,i=1,2,···,n)中有少于n-1个为0时,同法可证明知不等式(3)成立;

当xi(xi≥0,i=1,2,···,n)中有n-1个为0,一个为2n或x1=x2=···=xn=2时,不等式(3)等号成立.

综上,不等式(3)成立.

证法2 (放缩法)取x0=max{xi(xi≥0,i=1,2,···,n)},则

即不等式(3)成立.

同样用这两种方法可证(2)成立,这里不再重复.