三角形中的直线方程

刘卫东

本文将通过一系列与三角形相关的解析几何问题，来展现直线方程的性质与选择，两直线平行和垂直的性质等内容.希望能拓展同学们解这类题型的思路，掌握这类题型的解题方法，

一、直线过定点与坐标轴围成

三角形

1.已知三角形的形状，求解直线方程

这样的问题可以根据三角形的形状选择合适的直线方程来解决，其中用到了待定系数法求直线的方程.

例1 求经过A（3，4）且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形的直线方程.

分析 该直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，即该直线的斜率为±1.

解 方法一：由题意可知，所求直线的斜率为±1，义所求直线过A（3，4），由点斜式得V-4=±（x-3），

所求直线的方程为x-y+l=0或x+y-7=0.

方法二：由所求直线与两坐标轴围成一个等腰直角三角形可得，该直线的截距存在，分截距相等和截距互为相反数两种情况.

设直线为x/a+y/a=l或x/a+y/（-a）=l，

又因为直线过点A（3，4），代人方程三+y/a=l和x/a十y/（-a）=1得a=7及a=-1，

所求直线的方程为x-y+l=O或x+y-7=0.

点评 本题考查了五种直线选择，所求直线与坐标轴围成等腰直角三角形，故选择截距式或点斜式有利于快速解决.

2.已知三角形的面积，求解直线方程

这样的问题可利用直线在两坐标轴上的截距，再将截距转化为距离，从而得到三角形的面积来解决，

例2 求经过点A（3，4）与两坐标轴的正半轴所围成的三角形的面积为25的直线方程.

分析 直线过点，所求直线可以用点斜式或截距式求解.

解 方法一：设所求直线方程为x/a+y/b=1，则a>o，b>0.

由直线过A（3，4）且与两坐标轴围成的三角形的面积为25可得

3/a+4/b=1，

a=5，

a=15/2

1/2ab=25，

b=10，

b=20/3

所求直线的方程为x/5+y/10=1或2x/15+3y/20=1即2x+y-l0=0或8x+9y-60=0.

方法二：由题意设直线为y-4=k（x3），k<0，

令x=0得纵截距y=4-3k，令y=0得横截距x=（3k-4）/k，

由直线过A（3，4）且面积为25可得S=1/2/4-3k/×/（3k-4）/k/=25

由k<0，解之得k=-2或k=-8/9，

所求直线的方程为2r+y-10=O或8r+9y-60=0.

二、三角形中的特殊线段所在直线方程

三角形中有很多特殊线段，如中线、高线、角平分线、中位线等.其中，三角形中的高线、中位线所在直线方程的求法体现了两直线垂直和平行的相关性质.

例3 已知A（-1，1），B（3，1），c（1，3），求

（1）△ABC的BC邊上的高所在直线的方程；

（2）若D，E分别是AB，AC的中点，求DE所在直线的方程，

分析 （1）本题体现两直线垂直，斜率之积等于 1.（2）由题意知DE是三角形的中线，与BC平行，两直线平行，斜率相等.

解 （1）边BC所在直线的斜率是k_BC（3-1）/（1-3）=-1

根据BC边上高线的斜率与BC边所在直线的斜率之积等于1，可知BC边上的高线的斜率k=l，

义因为BC边上的高线经过点A（-l，1），

所以BC边上的高线方程为y-1=x+1，即x-y+2—0.

（2）因为D，E分别是AB，AC的中点，

所以DE∥BC，

所以k_DE=k_BC=（3-1）/（1-3）.

因为D是AB的中点，其中A（-1，1），B（3，1），所以D（l，1）.

又因为DE过D（l，1），所以DE所在直线的方程为y-1=-（x-1），即x+y2=0.

三、直线与圆相交构成三角形

此类问题涉及点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系的应用，如已知三角形的面积，则可利用点到直线的距离来转化问题.

例4 已知两点A（O，-3），B（4，o），若点P是圆x²+y²-2y=0上的动点，求△ABP的面积的最小值.

分析 △ABP的边AB的长度为5，要使△ABP的面积最小，底边为AB，只需要高最小，最小的高为圆心到直线AB的距离减去半径，

解 由两点A（O，-3），B（4，0）得直线AB的方程为x/4+y3=1，化为一般式即为3x-4-12=0.

三角形是平面几何中最简单的平面几何体之一，通过它来学习探究解析几何的知识，可以帮助我们熟悉数形结合、转化与化归等数学思想，从而加深对解析几何的理解，希望本文例题的展示能对同学们学习解析几何初步的内容有所帮助.endprint