化繁为简：优化我们的运算

朱胜强

解析几何的本质特征是用代数方法研究几何问题，就是将几何问题转化为代数问题来研究.这就使得许多过去看起来充满技巧，没有多少共性规律的问题的求解变得有章可循.

由于将几何问题转化为代数问题后，求解主要依赖于代数手段，因此，运算在解析几何学习中所占分量极重，而运算的优化也显得更为重要.下面让我们来了解几种较常见的优化方法.

1.合理建系

将几何问题转化为代数问题，一般需借助坐标系.当题中没有给定坐标系时，则需建立坐标系.在不违反题意的前提下，适当选取坐标系，有时可以收到减少计算量的效果.

例1 如图1，正方形ABCD中，M是以AB的中点，MN⊥MD，BN平分∠CBE，其中E在AB的延长线上，试用解析法证明：MD=MN.

证法一 如图2，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立直角坐标系xAy.设正方形边长为a，则A（O，0），B（a，0），D（O，a），M（a/2，o）.

证法二 如果将坐标原点选为B，设正方形的边长为a，建立如图3所示的直角坐标系，则有D（-a，a），M（-a/2，o）.

由于BN平分∠CBE，故可设N（m，m）.由DM⊥MN，得k_DM.k_MN=-1.

从而有（a-0）/（（-a-（-a/2））·（m-0）/（（m-（-a/2））=-1，解得m=2.

再由两点间距离公式，可证得MD=MN.

比较两种不同的选取坐标系的方法，后一种运算量相对较小.事实上，在建立坐标系时，应认真观察图形，充分考虑图形的一些基本特征.比如将图形的对称轴放在坐标轴上，对称中心放在原点，特殊点尽可能多地放于坐标轴上等等.本题中，∠CBE的顶点相比较而言较为特殊，故放在原点，从而使角平分线条件变得更易于应用.

2.数形结合

虽然解析几何是用代数方法来研究几何问题，但并不排斥几何方法在解决问题中的应用，思考问题时，若能将代数、几何方法有机结合起来，会使原本复杂的计算变得简洁得多.

例2 如图4，已知点A（3，o）及圆O：x²+y²=25，以A为直角顶点作Rt△ABC，B，C在圆上.求BC的中点M的坐标满足的关系式.

解 如图4所示，设M（x，y），连结OC，OM，AM.在Rt△ABC中，因为M是BC的中点，所以MA=1/2BC=MC，OM⊥BC.在Rt△OCM中，MC²+OM²=0C².所以AM²+OM²=0C².

义因为MA²=（x-3）²+y²，OM²=x²+y²，OC²=25，

所以（x-3）²+y²+x²+y²=25.

所以点M的坐标满足的关系式是：x²+y²-3x-8=0.

评注 这里利用了直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半及过弦中点的直径与弦垂直等几何性质.先发现动点的几何特征，再将其化为代数关系，从而不必进行复杂的运算便将问题解决.

我们在初中学习过平面几何，对直线及圆的几何性质有一定的了解，因此，在遇到与它们有关的问题时，可以多想一想有没有几何方法可将问题先化简，然后再进行必要的代数运算.

3.利用直线系方程

解析几何中常常会遇到过两已知直线（曲线）交点的问题.习惯的做法是先求出交点的坐标，再以此为条件作进一步思考.事实上，可用直线系方程来回避求交点，简化计算.什么是直线系方程呢？

若l₁：A₁x+B₁y+C₁=0，l：A₂x+B₂y+C₂=0表示的是两条相交于点P的直线，则方程A₁x+B₁y+C₁+λ（A₂x+B₂Y+C₂）=o所表示的直线必定经过点P（这些直线中不包括直线l₂）.

例3 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点，且分别满足下列条件的直线的方程.

（1）过点A（2，1）；（2）与直线3x-4y+5=0垂直.

解 （1）点A不在直线x+y-2=0上，则设所求的直线方程为（x-2y+4）+λ（x+y-2）=0.

再将（2，1）代入，可得2-2+4+λ（2+1-2）=0，解得λ=-4.

故所求直线方程为x+2y-4=0.

（2）将（1）中所设直线系方程整理为（1+λ）x+（λ-2）y+（4-2λ）=O，得此直线的斜率为k=（-1-λ）/（λ-2）.

因为该直线与直线3x-4y+5=0垂直，所以-（1+λ）/（λ-2）·3/4=-1，

解得λ=11.故所求的直线方程为4x+3y-6=0.

如果将直线系中的直线改为网或其他曲线，也会得到类似的结论.

4.设而不求

在直线系方程中，我们通过合理地设直线方程，回避了求交点坐标.但有些问题中，可能需要用交点坐标来建立关系式，所以无法回避.此时可先将交点坐标设出来，但并不急于求出，只是让其参与代数变形.有时甚至问题已经解决了，也没有真的要求出交点坐标.这样的简化运算的策略称为“设而不求”.下面我们以大家熟悉的点到直线距离公式的推導为例，看看此法的运用.

例4 求点P（x₀，y₀）到直线l：Ax+By+C=O的距离.

分析 如图5，过点P作直线l₁⊥l，垂足为Q，则线段PQ的长就是点P到直线l的距离.

因为l₁⊥l，且过点（x₀，y₀），所以l₁：B（x-x₀）-A（y-y₀）=0.

此时需注意，我们并不需要求得x，y的值，只需求得（x-x₀）²和（y-y₀）²的值.那么有什么简单方法来得到它吗？可将Ax+Bx+C=0，Bx-Ay-Bx₀+Ay₀=0改写成A（x-x₀）+B（y-y₀）=-Ax₀-By₀-C，B（x-x₀）-A（y-y）₀=0

可以看出，设而不求的解题思路，需要在代数变形中充分关注结论的代数形式，主动地创造条件，实现条件与结论的联通.

当然，只要我们做学习的有心人，在学习中一定会发现更多的优化运算的方法，运算是解析几何学习乃至数学学习的不可或缺的基本功.简化运算只能作为一种辅助手段.更重要的是在解析几何的运算中能做到敢算、会算、善算，这样才能真正学好解析几何.endprint