小学生数学问题理解的过程及教学启示

骆玉凤 于波

[摘要] “問题解决”一直是数学教育关注与研究的重点，而学生对数学问题的理解是问题解决的关键。数学问题理解是学习者以问题信息的输入和编码为基础，根据已有的知识和经验建构内部表征的过程。在信息加工理论的视角下，结合波利亚问题解决过程，构建小学生数学问题理解的认知过程：问题输入、选择性知觉、问题编码、问题表征等，并获得有关数学问题理解教学的启示。

[关键词]问题理解；小学数学；认知过程；问题解决教学

[中图分类号]G642.4[文献标识码]A[文章编号]1005-4634（2018）01-0120-05

0引言

自上世纪80年代初，美国数学教师委员会提出“问题解决”应作为数学教育的核心开始。“问题解决”不仅成为数学教育研究的重要内容，而且还是数学教育的主要内容与目标。在我国，“问题解决”作为义务教育数学课程标准的目标之一，贯穿在数学课程的学习过程中。

在实际的数学“问题解决”教学中，教师以解题策略与方法为重点，忽视了学生对数学问题的理解，导致学生常常因没有理解，而不能真正解决问题，最终导致学生无法从数学问题解决中获得思维的锻炼、知识的巩固、能力的提高。学生缺少对问题的理解表现在如下几个方面：（1）解决问题方法呆板，无法对数学问题形成正确且完整的表征。（2）学生的知识的迁移能力较弱，不能实现有效地举一反三，虽然做了许多练习题，但只是简单的公式套用。问题解决的教学导致学生常常以将问题中的数字套进公式为原则，有时使学生知其然而不知所以然。这种现象就让研究者不得不思考：学生是如何理解数学问题？教师应如何帮助学生理解数学问题？

1问题理解

数学的产生与发展围绕着问题。关于问题解决的定义众说纷纭，常与解决问题、解题、应用题相联系。问题解决又称为解决问题，是在已有知识经验基础上的一系列有目标指向的认知操作过程，问题解决的过程是学生主动认知、积极参与的过程。

波利亚在《怎样解题》一书中提到解题的第一环节就是“必须理解题目”，对自己所不理解的问题做出回答是不明智的，需要思考问题中的“未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？条件有可能满足吗？条件是否足以确定未知量？或者它不够充分？或者多余或者矛盾？”[1]。理解问题作为解决问题的第一步显得尤为关键。

由于对“理解”的认识与重视程度不同，所以存在着不同的观点。如行为主义强调刺激与反应之间的联结，大多不重视对理解的研究；认知主义强调个体的内部认知，重视理解性学习，认为“理解”就其实质而言，是将任务转换为内部心理表征的过程，也就是在短时记忆中形成问题表征[2]。而问题表征的过程是意义赋予的过程，把新的问题内容与主体已有知识和经验联系起来，注重主体的思维过程。根据认知主义对“理解”的概述，笔者将数学问题理解定义为学习者以问题信息（言语、符号、情景等）的输入和编码为基础，根据已有知识和经验建构内部表征的过程。

数学问题解决不能简单地理解为数学法则的运用，它是学生思维过程的体现。小学生思维方式具有极大的可塑性，数学教学要把握好此特点。数学问题的解决首先要理解问题，否则很难顺利有效地解决问题。理解问题是提高数学教学效果的必经之路，是避免使用题海战术的法宝，特别是当教授对象为正处于思维初级阶段的小学生时。回顾数学问题解决的研究文献，发现有关数学问题解决的研究多集中在问题解决的策略、能力与表现分析上，而忽视了对问题理解的思考。

2问题理解的认知过程

要对学生解决数学问题的内部与外部条件进行系统的分析，必须从学生学习行为的过程出发。阿特金森（Atkinson）与谢夫林（Shiffrin）提出将学习设想为由知觉与记忆之间的一系列阶段构成的信息加工的基础，并形成了阶段信息加工模型[3]，如图1所示。在这个信息加工模型中，感觉接受器把来自环境的信息传输到中枢神经系统。信息在感觉登记器暂时登记，然后转换成可识别的模式，进入短时记忆，在这一阶段出现的信息转换被称为选择性知觉，在短时记忆中的信息经过编码以一定的方式表征。

这个信息加工学习论的学习与记忆模型，得到了当代研究者的广泛认可，并且它融合了当代学习理论的主要观点。感觉接收器到感觉登记器是一个信息的输入过程，当信息输入后，主体会选择性地知觉信息，经过“过滤”的信息进入短时记忆进行编码存储。通过对学习模型的分析以及认知主义对“理解”的概述，笔者认为小学生对数学问题理解的认知过程要经过以下过程：问题输入→选择性知觉→问题编码→问题表征等，具体如图2所示。

2.1问题输入

问题输入是指问题解决者必须通过感受接收器（视觉、听觉等）接受刺激，将所感知的信息传入脑部神经系统，同时意识到自己正在面临的问题。在这个环节中，学生需要运用多种感官接收问题传达的信息，包括“已知数据”“未知量”“条件”。问题呈现的方式和情景影响学生对问题的注意。在问题输入环节，问题的刺激程度和学生的注意力都会影响下面步骤的进展情况。其中，学习者的注意力是进一步信息加工的前提条件。

2.2选择性知觉

选择性知觉就像一个过滤器，是问题解决者根据自己的已有经验、认知风格和解决问题的需要等方面，有目的地把刺激信息作为知觉的对象进行信息加工的过程。选择性知觉决定了认知主体将什么作为主要部分，将剩余的作为主体的背景，从而使知觉的对象能够得到清晰的反映，而背景只能得到比较模糊的反映。选择性知觉决定着问题中的哪些信息、多少信息会进入学习者的短时记忆中进行编码。波利亚强调，学生在理解问题时，应该将“已知数据”“未知量”“条件”以及它们之间的关系作为关注的主体，同时还应该考虑条件是否充分或者多余的情况。

2.3問题编码

问题编码是指对工作记忆中的问题信息进行加工并以一定形式储存的过程，其实质是对问题信息赋予意义的过程。问题解决者的已有知识、经验、记忆力等因素影响问题的编码，因此将当前问题与已有知识之间建立连接能够帮助问题解决者理清问题信息之间的关系，进而促进问题解决者对信息的有意义加工，比如已知数据与未知量、未知量与条件的关系等，同时也有益于选择适当的方式储存。

2.4问题表征

问题的内部表征是通过问题解决者对问题进行选择性知觉后，对进入工作记忆存储的信息以一定的方式形成问题空间的过程，也是把外部的物理刺激转变为内部心里符号的过程。“问题表征既是一种过程，即对问题的理解和内化；也是问题理解的一种结果，即问题在头脑中的呈现方式。问题表征质量的高低将会直接影响到问题的解决。”[4]问题内部表征的形式有两种：语言表征和表象表征，特别说明的是，在工作记忆中的问题信息是当前激活的对象，问题表征是将理解了的问题包含的信息，以语言信息与图像信息的形式存在。在教学中通常体现在学生借助语言或图像复述问题，以了解学生理解问题的情况。

整个认知过程需要学生执行控制和预期的参与，执行控制是指学生已有的知识对现在学习过程的影响，预期是指学生的动机系统对学习过程的影响。整个学习过程都是在“执行控制”和“预期”两个结构的作用下进行，体现了学生的主体性与主观能动性。

3“分数混合运算”问题理解的过程分析

笔者以北京师范大学版小学六年级上册第二单元“分数的混合运算”的例题一为例，对数学问题的理解过程进行分析。“分数的混合运算（一）”所要达到的教学目标是让学生在解决有关分数乘除混合运算的具体问题的过程中，会用画图的方式直观呈现数量关系；结合具体情境体会分数混合运算的顺序与整数混合运算一样，会正确计算分数混合运算；能解决有关分数混合运算的简单实际问题。需要解决的数学问题，例题如图3所示。

由图3所示，这个数学问题呈现的是将数学问题寓于一定的现实情境，学生需要从情境中选择问题信息，将问题信息与已知的认知建立联系。根据学生问题理解的认知过程分析如下。

第一步，问题输入，问题的呈现方式影响学生的输入方式，学生通过视觉接受图文所带来的刺激意识到一个问题的存在，“航模小组多少人？”，除此以外，整个图文所传达的信息都是学生可能接收到的，包括“我们气象小组12人”等，这时候学生对问题的态度与注意程度也影响问题输入。

第二步，选择性知觉，其作用体现在学生将问题的哪些部分当作认知的主体。如果学生将图画看成是主体，那么文字就是背景，其接收的信息就是来自图片情景，由图3呈现的航模小组的人数为3，得出答案。反之，如果其将文字作为知觉的主要对象，图片就是文字的背景，而在文字表达中，也存在选择性知觉，学生倾向于将他所熟悉的作为主体。在例题中，学生需要知觉的文字对象有“气象小组”“摄影小组”“航模小组”“12”“1/3”“3/4”等。

第三步，问题编码，学生对工作记忆中有关的问题信息进行加工并以一定形式储存。将选择性知觉的信息通过与已有知识、经验之间建立联系进行加工，等待提取、组织与处理。这个数学问题的编码需要学习者理清问题信息之间的关系，已知数据与未知量、未知量与条件的关系等，如未知量是要得到航模小组多少人？航模小组与摄影小组之间、摄影小组与气象小组之间的关系。因此，需要例题当中的关键信息，比如气象小组12人、摄影小组是气象小组的1/3、航模小组是摄影小组的3/4，存储在工作记忆中。

第四步，问题表征，表征是学生对于进入工作记忆中的信息的组织方式，一般有言语表征与表象表征。由于该数学问题的条件与目标之间有较为复杂的关系，又加之此阶段的学生处在具体到抽象思维的过渡阶段，因此问题的表征主要引导学生画关系图，通过抽象直观的表象进行表征，最终理解数学问题，具体如图4所示。

预期和执行控制也参与到小学生对数学问题的理解过程中。在例题中，如果学生认为自己有能力、有信心解决该问题，那么将在问题的理解处在积极主动的地位；反之，将会消极地排斥思考、理解问题。执行控制主要体现在学生利用已有知识进行问题理解。学生类似的经验将利用迁移到该问题的解决当中。如果学生解决过类似的问题，那么学生采用同样的方法可能也能够解决此题。从整个过程可以看出，教学的重点不仅仅为要求学生能解决这个数学问题，而是能够通过问题解决过程的教学，培养学生的理解能力与思维能力。

4教学启示

教学的目的在于激活和支持内部学习过程。数学问题理解是依附于数学问题解决的教学进行的。因此，教师要扮演好引导者和促进者的角色，为学生的学习搭建平台，优化数学问题解决的教学设计。

4.1顺应学生数学问题理解的认知过程

学生对数学问题的理解要经历数学问题输入、选择性知觉、问题编码以及问题表征等过程，教师是学生学习的引导者、合作者与支持者，学生的学习需要教师教学的激活与支持。学生理解数学问题的任何阶段都有其关键，当学生无法理解问题或者问题理解有困难时，教师需要明晰学生问题的理解过程，给学生提供理解的支持。首先，问题呈现的方式和情景影响问题输入，问题呈现应直观、清晰且符合小学生的认知水平。其次，选择性知觉决定哪些信息成为加工的主体，教师可以根据学生对问题的语言描述与问题主要部分的提取判断学生是否理解正确。波利亚指出在问题理解教学时，教师需要学生复述问题，学生应该能够流畅地阐述该题目；学生还应该能指出题目的主要部分，即未知量、已知数据以及条件，因此教师千万不能错过这样一些问题——已知数据是什么？条件是什么？学生应该仔细地、重复地从各个方面来考虑问题的主要部分。当学生对问题进行编码时，教师需要通过与学生交流，判断学生不能顺利编码的原因：是理不清问题的条件与条件之间、条件与目标之间的关系？还是由于信息量过大、关系复杂，难以将提取的信息储存在工作记忆中？

4.2问题呈现要符合小学生的内部表征

数学问题包由文字、图表、符号等构成，数学问题的理解其实也是对数学问题所呈现内容的理解，即能处理和加工数学言语、图表、符号传达的信息。其中，言语信息的掌握是关键，有助于学生获得外部表征，也是内部表征所需的工具。问题呈现方式直接可以影响学生的问题理解和解决，问题呈现依赖于问题情境，当问题情境能够刺激头脑已有的图式时，学生对问题能够做出快速积极的反应。因此，恰当的言语信息、问题情境的创设可以提高学生的问题解决能力。在教学中，教师可以通过创设与学生有联系的情境，呈现学生能够理解的语言等，帮助学生顺利地进行问题的内部表征。

4.3激活学生有益经验刺激编码

学生已有知识、经验、记忆力等因素影响问题的编码，因此数学的教学要注意在当前问题与已有知识、经验之间建立连接，以便能够促进信息的有意义加工与储存。学生的经验主要源于日常的生活经历与已经解决了的问题。经验利于学习解决问题，既有可能帮助学生进行问题理解，又有可能阻碍学生的理解，比如思维定势，当学生的思维陷入过去已经获得的无益经验时将无法继续正确地理解问题。因此，在教学中需要调动学生有益的经验，将问题与已知知识建立有意义的联系并进行加工，最后存储在工作记忆中进行有效编码，等待提取、组织与处理。

小学生的数学问题理解值得广大数学教师关注。理解问题的重要性不仅仅在于更好地解决数学问题，而且在于培养学生良好的思维习惯与问题理解的能力。教师在问题解决教学设计时，知识的巩固与运用固然重要，学生的认知水平与认知过程也需要特别关注。学生的认知是教学的起点，以学生的认知发展水平为基础是因材施教的体现。因此，对小学生数学问题理解过程的探究能够为教学提供一定支持。

参考文献

[1] 波利亚.怎样解题[M].北京：科学出版社，1982：6.

[2] 高文.教学模式论[M].上海：上海教育出版社， 2002：227.

[3] 罗伯特·米斯·加涅.教学设计原理[M].上海：华东师范大学出版社，2007：9.

[4] 胥兴春，刘电芝.问题表征方式与数学问题解决的研究[J].心理科学进展， 2002，10（3）：264-269.