二项分布中概率的最大值问题

李中朝 李连国

摘 要 剖析概率中的一种特殊分布——二项分布的特点，理论结合实际，说明二项分布的这些特点，本文借助例题，进一步挖掘二项分布的内涵，让读者对二项分布更进一步了解。

关键词 二项分布；概率；伯努利试验

中图分类号：F224.7 文献标识码：A 文章编号：1002-7661（2018）24-0229-01

二项分布是应用最广泛的离散型随机变量概率模型，也是高考常考的的重点内容之一。对其探究很有价值和意义。学生在学习此块内容时，往往会提出这样一个问题，服从二项分布的随机变量取何值时概率最大？实际上，高中数学教科书的选修2-3（人教A版）第58页思考题就是该问题。问题如下：如果ξ～B（n，p），其中0

我查阅了和本书配套教学参考书，教学参考书没有对此问题进行专门解释。下面对该问题进行研究。

一般地，在n次独立重复试验中，用ξ表示事件 发生的次数，如果事件发生的概率是p，则不发生的概率q=1-p，N次独立重复试验中发生K次的概率

那么就说ξ服从二项分布，其中P称为成功概率，记作ξ～B（n，p），其期望：Eξ=np

ξ的分布列如下：

容易验证其各项概率之和恒为1，即 =

由此可见，二项分布的概率 恰好是二项式 的展开式中的第 项，这也正是二项分布这个名称的由来。

二项分布是离散型分布，已知 ，x为不连续变量。下面用概率直方图研究。

图像有如下性质：

1.当 时，不论 大小，图形都是对称的。

例如， ， ，此时 。

=

2.当 时，概率直方图图形是偏斜的。当p<0.5时左偏，当p>0.5时右偏。如果 很大，即使 ，图像也逐渐趋于对称分布。随着n变大其图像逼近正态分布。何谓 很大呢？一般规定：當 且 ，或 且 时，认为 很大。可以用正态分布的概率作为其近似值。此时p（ξ=k）概率随 值增加而变大，其达到最大值后再递减，图像近似满足关于期望 对称。

下面解决开始的问题：一般地，如果 ，其中 。

k需满足{ 解得：

由结论可知：

（1）当 不为整数时，二项概率P{X=k}在k=[（n+1）p]时达到最大值；

（2）当 为整数时，二项概率P{X=k}在k=（n+1）p和k=（n+1）p-1时达到最大值。

注：[x]为不超过x的最大整数。

下面通过一个例题体会一下：

例1.当 ，试求 分别为以上五种情况时，服从二项分布的随机变量 取何值时，p（ξ=k）最大？

解：（因较好理解，本题不再配图。）由于

（1）当 时， ，所以 ，所以 .此时概率的最大值在左端点，图像严重左偏。

（2）当 时， ，所以 ，所以 。和（1）比较，此时图像左偏情况减弱。

（3）当 时， ，所以 ，所以 。此时图像比较对称，概率最大值分布在np= 两侧。

（4）当 时， ，所以 ，所以 。和（3）比较，图像向右偏移。

（5）当 时， ，所以 ，所以 。此时概率的最大值在右端点，图像严重右偏。

下面用概率条形图研究：

看 和 时，（1）n=5和（2）n=10 和（3）n=30共四个的频率分布条形图如下

说明：上图中的 就是 。

观察上面四个图，可以看出在概率分布条形图中，也呈现出和概率分布直方图相同的性质。

如果以上问题明白了，像下面的问题可以直接秒杀。

1.如果 ， 取得最大值时， ____

2.如果 ， 取得最大值时， _____

答案：1.8 2.6或7