让学生在探究中乐享精彩数学
——《等差数列的前n项和》教学设计及反思

◎阮波江

一、课程分析

《等差数列的前n项和》是高三数学必修5第二章第三节的学习内容。本节课的内容是建立在学生对等差数列的概念、等差数列的通项公式通项公式及其相关性质的基础上，对其展开的进一步的探索和研究。该部分知识内容的学习为下一步知识的学习奠定了坚实的基础，体现数学知识的由易到难、有基础到深入的层次性、逻辑性等特点。在具体的数学教学实践中培养学生的数学思维，提高学生的学习效果。

二、学情分析

该部分的学习是建立在学生对数列知识的有效认识的基础上，学生在具体的学习实践中已经掌握等差数列基本性质以及相关基础知识，本节课在此基础上，通过利用兴趣激励法，在激发学生的探索兴趣的基础上，引导学生展开积极的学习实践，使学生在积极的学习实践中，通过生活化的现象引发学生对其本质的探索的兴趣，引导学生根据所学知识，通过具体的自主观察、合作交流、探索等实践，在充分调动学生的积极性的基础上，引导学生形成对学习内容的形象生动的掌握过程。

三、学习目标

1.掌握等差数列的前n项和公式，并能够熟练地运用到学习实践中去。

2.理解等差数列的前n项涸公式的推导过程，能够熟练运用公式解决问题。

3.在具体的学习过程中发现数学与生活的密切关系，培养学生用数学的眼光看问题的习惯。

四、学习重难点

1.等差数列的前n项和的共识推导过程。

2.等差数列前n项和的应用。

3.等差数列前n项和公式的推导思路探索过程。

五、教学方法

故事法、情境教学法、启发式教学、小组合作法等。

六、教学媒体

多媒体课件。

七、教学过程

1.图片导入、激发兴趣。

图片展示泰姬陵，教师引导学生说出自己对泰姬陵的了解。（泰姬陵是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕溦纪念其爱妃所建，由纯白大理石建成主体建筑，陵寝部分用宝石镶嵌，图案精美绝伦，在陵寝中有这样一个引人瞩目的图案，该图案是由大小相同的圆形宝石镶钻而成，有100层）你能计算出这个图案一共用了多少块宝石吗？出示图示。

（从生活中的问题入手，激发学生的探索兴趣，并提出相关问题）

2.自主学习、发现线索。

列出算式：1＋2＋3＋4……＋100＝？，请同学们以自己的方式来求得问题的答案。我们比一比看谁最先算出问题的答案。教师利用启发法，引导学生通过高斯的故事中找到最佳计算的方式。在学生自学时间结束后，观察学生的求解方法，并通过高斯的故事来引发学生对等差数列前n项求和的学习兴趣。“数学王子”高斯，在他10岁的时候，他的算术教师就提出了这样的问题：1＋2＋3……＋100＝？当其他学生都忙于计算的时候，只有高斯不慌不忙，当他把答案交给了老师时，老师看都不看就让高斯回去再算算，高斯说出自己的答案是

高斯的算法：（1＋100）＋（2＋99）＋…… ＋（50＋51）＝101*50＝5050

很明显高斯利用的是配对求法来进行求和的，出示图片，原三角形和导致三角形图片，引导学生在具体的观察中，将抽象的数学知识转化为几何图形，通过数形结合的形式来激发学生的思维体验。

（利用知识竞赛形式来激发学生的好胜心，让学生在好胜心的驱使下，展开积极的探索实践。）

1.合作互动、有效体验。

学生求出问题的答案后，我们通过小组合作的模式来分析求解过程，得出等差数列前n项和求和公式的推导过程。

学生展示交流过程：

A组：S1＋S2＝（1＋100）＋（2＋99）＋（3＋98）＋…… ＋（100＋1）＝2S

＝（100＋1）*100

所以 S＝（100＋1）／2

A组代表发言：我组利用代入法，将具体的数字代入到求和的过程中去，（1～100相加）通过配对法，将这些数字以对称形式结合到一起，每组数字相加得到的和是相同的，总数再除以二，就是这些项相加的和。

B组：Sn＝1＋2＋3＋……＋n

同理：Sn＝n＋（n－1）＋……＋1

所以：2Sn＝n个（1＋n）＋（1＋n）…… ＋（1＋n）＝n（n＋1）／2

B组代表发言：我组利用的是字母代入法，从有限的数项的和，到无限项相加的和，也是在配对法的基础上，得出一般的、等差数列的前n项和的公式。

C组：Sn＝a1＋a2＋……＋an

同理：Sn＝an＋an－1＋…… ＋a2＋a1

所以2Sn＝（a1＋an）*n

得出：Sn＝（a1＋an）*n／2

把an＝a1＋（n－1）d带入公式，

得出：Sn＝na1＋n（n－1）／2

C组代表发言：我们组求得的结果不仅仅可以代表所有数字的前n项和的求法，同时可以代表单项式、多项式等的前n项和的求法，从特殊到一般的求法，涵盖了所有的表示等差数列的前n项和的求法公式。

师：同学们在具体的小组合作实践中将等差数列的推导公式推导得非常详细，从具体有限的数字、到由数字组成的无限数的组合，再到等差数列前n项和的一般式的推导过程，大家已经对等差数列的前n项和的计算公式有了初步的体验，集体的力量是强大的，大家将苦难的问题变得简单化、形象化，在具体的合作中实现对问题的有效理解和把握真的是非常优秀。（在学生的互助合作的学习实践中，推导出等差数列的前n项和的公式，推导过程由学生小组合作完成，并且在小组合作的过程中发现等差数列的性质和特点，从而有效地培养学生善于观察、乐于探究的精神。）

2.学以致用，巩固提高。

师：同学们在刚才的小组合作学习实践中对等差数列的前n项和的推导过程有了初步形象的认识体验过程，接下来我们学以致用，将公式运用到具体的数学学习实践中，以此来实现学习效果的有效提升。

例1.在等差数列{a}n中，已知a6＋a9＋a12＋a15＝34，求前20项之和。

A同学：由a6＋a9＋a12＋a15＝34，

得4a1＋38d＝34

又s20＝20a1＋20*19*d／2

＝20a1＋190d

＝5（4a1＋38d）

＝5*34

＝170

（在计算中给出了a6、a9、a12、a15四个项相加的和，可以根据等差数列的性质，利用等差数列的通项公式列出相应算式，求出相关信息即a1和公差d的值，在求出这两个值的基础上，再利用公式法求出等差数列前20项的和就可以直接根据公式来求解。）

B同学：S20＝（a1＋a20）*20／2

＝10（a1＋a20）

由等差数列的性质可得，

a6＋a15＝a9＋a12＝a1＋a20

所以，a1＋a20＝17

代入公式可得

S20＝10*17

＝170

（题目给出相应的数列，但是没有给出相应的a1和a20的值，但是给出了相关信息，根据等差数列的性质，利用倒序相加法，能够求出需要的值，在具体的学习实践中培养了学生将所学知识有效地运用到学习实践中的能力，有效地提高了学生在数学运算中将知识融会贯通的能力等，最后学生通过利用公式得出索求结论，实现了对学习内容的有效巩固和提高。）

例2.等差数列前10项的和为140，其中项数为奇数的各项和为125，求第6项。C同学：由题意可得：

1.10a1＋10（10－1）*d／2＝140

2.a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝5a1＋20d＝125

解得，a1＝113，d＝－22

所以，其通项公式为：

an＝113＋（n－1）.（－22）

＝－22n＋135

所以，a6＝－22*6＋135＝3

（该题目没有给出具体的每一项的数字，但是给出了等差数列的前n项和，考察到学生的逆向思维能力，因此，学生在具体的求解过程中，需要从逆向来考虑计算的过程，先求出第一项，求出公差，然后根据等差数列的通项公式来求出具体的数字的大小。在具体的计算实践中，有效地提高了学生的活学活用的能力。问题的设计从浅入深，从多个角度和方面考察了学生对等差数列前n项和公式的用法，在具体的学习实践中有效地巩固了学生的学习效果。）

3.知识梳理、形成系统。

本节课我们重点学习了以下内容：

（1）通过高斯的“配对法”或“倒序相加法”来推出等差数列前n项和的公式

（2）利用等差数列的性质、公式等展开具体的学习运用，在具体的实践中熟悉对等差数列前n项和的运用。

（3）根据给出条件对问题展开具体的分析，结合所学知识，实现对等差数列前n项和的各项条件的综合分析运用，能够调动一切已知条件展开具体的学习实践。

通过小组合作讨论本节课的学习内容，在小组长的组织下回顾公式、推导方式、在小组合作的基础上，展开积极的合作体验，形成对等差数列前n项和知识的有效认识。

4.作业布置，巩固强化。

（1）某长跑运动员7天里的训练量展示如下：7500m，8000m，8500m，9000m，9500m，10000m，10500m，这位运动员7天共跑了多少米？

（2）求2＋4＋7＋10＋13＋……＋80的和

（3）已知 a1＝100，d＝－2，n＝50，求 Sn

（4）一个首项为正数的等差数列中，前3项的和等于前11项的和，问此数列前多少项和最大？

教学反思：

1.新课程背景下的高中数学教学，应注重学生的学习主动性的激发，引导学生在积极、自主、合作、探究的学习实践中形成对学习对象的生动形象的认识体验，使学生在兴趣的基础上，以积极的姿态投入到学习实践的具体过程中去，在学生的主动参与、快乐学习的实践中，让学生在快乐学习、积极探究的过程中乐享数学学习的乐趣。

2.在自主学习、合作探究等学习实践过程中，引导学生形成对问题的深入地认识和理解过程，使数学课堂真正成为学生思维发展、认识提升的有效过程，在自主学习中培养学生提出问题、发现问题的能力，并能够在具体的学习实践中将学过的知识融入到新知识的求索实践中去，提高学生的实践运用能力；在合作交流中提高学生分析问题、解决问题等能力，使学生在互助交流、优势互补中实现学习效果的有效提升。

3.在教学实践过程中，需要在学生的主体性意识的有效激发方面做更多的努力，发挥教师的有效引导作用，让学生真正成为数学课堂的主人，让学生在快乐中享受学习的乐趣是我们的责任，让学生在欢乐的学习气氛中获得知识、丰富经验、促进交流是实现课堂教学效果的呈现的有效途径。